湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试卷（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，则（ ）
A B. C. D.
2. 设，则的共轭复数的虚部为（ ）
A. B. 2C. D.
3. 现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. DeepSeek是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：，）
A. 3B. 4C. 5D. 6
5. 甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（ ）
A. 甲比较经济B. 甲和乙一样经济C. 乙比较经济
D. 不能确定
6. 在中，，，N为BC的中点，且外接圆的圆心为M，则（ ）
A. 10B. 20C. D.
7. 已知四面体的各顶点均在球O的球面上，平面，，，三角形的外接圆半径是，则球O的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 定义：给定一个正整数，如果两个整数满足能够被整除，就称整数对模同余，记作.若，，则的一组值可能为（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A. ，
B. 函数既有极大值又有极小值
C. 函数有三个零点
D. 过可以作三条直线与图象相切
10. 下列说法正确的是（ ）
A.
B. 被8除的余数为1
C. 甲、乙、丙、丁等6人排成一排，甲、乙、丙按从左到右、从高到低的固定顺序，共有120种排法
D. 现有6本不同的书，分成三份，每份2本，共有90种分法
11. 如图，由开始，作一系列的相似三角形，，.设第个三角形的斜边长为，面积为，前个三角形的面积之和为，其中，，则（ ）
A. 为等差数列B. 为等比数列
C. 递增数列D.
第Ⅱ卷
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 《哪吒之魔童闹海》票房大卖，其中蕴含的很多人生道理引起共鸣，如哪吒与命运抗争的顽强，李靖对哪吒不离不弃的关爱.因此哪吒系列手办盲盒深受欢迎，其中共有包含哪吒，敖丙，哪吒父母，四大龙王共个人物手办，小明从个盲盒中（个盲盒内的人物一定不同）任意抽取个盲盒，则包含哪吒和至多一位龙王的概率是_____.
13. 已知函数，若对，且，都有，则的取值范围是___________．
14. 平面内有A、B、C、D四点，任意三点不共线，且，若分别是、的角平分线，线段的最大值为________．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知数列的前项和为，且.
（1）求的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求.
16. 已知单位圆O与x，y轴正半轴分别交于A，B两点，过线段OA上一点Q作x轴的垂线交单位圆于点P（P在第一象限），延长QP至点N，使得P为QN的中点，连接BN，AP，BP，OP．设．
（1）若，求；
（2）求取得最大值时的值．
17. 已知是边长为的等边三角形，为中点，，为靠近的三等分点．连接．将沿折起，使得．
（1）若，求翻折前的值；
（2）证明：翻折后，；
（3）若，求翻折后二面角正弦值．
18. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左右焦点，过的直线交于两点，点在第一象限，为中点，交于点，的周长为．

（1）求的方程；
（2）求证：直线与的斜率乘积为；
（3）若分别记的斜率为，求的最大值．
19. 已知对，定义的余切值为，函数在处的切线为直线．
（1）求切线的方程；
（2）证明：对始终在切线下方；
（3）证明：至少存在3个整数，使得恒成立．
（参考：）