湖南长沙市长郡中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试卷（含答案）

这是一份湖南长沙市长郡中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第 1 卷
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 已知 M=x 2x+75-x≥0 ,则
A. 5∈M B. π∈M
C. -π∉M D. 3∉M
2. (★) 设 z=2+i1+i2+i5 ,则其共轭复数 z 的虚部为
A. -2i B. 2i C. -2 D. 2
3. 现有一个迷宫如图所示，小球 Ω 从 B,C,D 三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则 “小球 Ω 从 C 口滚动进入”是“小球 Ω 从 D 口滚动出来”的

A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. (★) DeepSeek 是人工智能的一种具有代表性的实现方法, 它是以神经网络为出发点. 在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为 L= L0Dαα0 ,其中 L 表示每一轮优化时使用的学习率, L0 表示初始学习率, D 表示衰减系数, G 表示训练迭代轮数, G0 表示衰减速度. 已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.6 , 衰减速度为 20 , 且当训练迭代轮数为 10 时,学习率衰减为 0.3 , 则学习率衰减到 0.4 以下 (不含 0.4 ) 所需的训练迭代轮数至少为 (参考数据: lg2≈0.3,lg3≈0.477 )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 甲、乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次加油谷量一定. 乙不考虑油价升降, 每次加油所花的钱数一定, 多次加油之后, 甲、乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济?
A. 甲比较经济 B. 甲和乙一样经济
C. 乙比较经济 D. 不能确定
6. (★)在 △ABC 中， AB=4 ， AC=8 ， N 为 BC 的中点，且 △ABC 外接圆的圆心为 M ,则 AM⋅AN=
A. 10 B. 20
C. 352 D. 894
7. (★)已知四面体 P-ABC 的各顶点均在球 O 的球面上， PA⊥ 平面 ABC,PA=3,AB⊥BC,△ABC 的外接圆半径是3，则球 O 的表面积为
A. 83π3 B. 28π3 C. 18π D. 21π
8. 定义:给定一个正整数 m ，如果两个整数 a ， b 满足 a-b 能够被 m 整除， 就称整数 a,b 对模 m 同余,记作 a≡b md m . 若 Cn02xn+Cn12xn-1 +Cn22xn-2+⋯+Cnn-22x2≡Cnn-1-2x md 5,x,n∈N* ,则 x,n 的一组值可能为
A. x=1,n=6 B. x=2,n=6
C. x=3,n=18 D. x=4,n=16
二、选择题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. ★ 定义: 设 f'x 是 fx 的导函数, f''x 是函数 f'x 的导数,若方程 f''x=0 有实数解 x0 ,则称点 x0,fx0 为函数 y=fx 的“拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都有“拐点”, 且“拐点”就是三次函数图象的对称中心，已知函数 fx=ax3+bx2+53ab≠0 图象的对称中心为 1,1 ,则
A. a=13,b=-1
B. 函数 fx 既有极大值又有极小值
C. 函数 fx 有 3 个零点
D. 过点 -1,13 只可作 1 条直线与 y=fx 图象相切
10.(★)下列说法正确的是
A. C82+C83=C93
B. 5555 被 8 除的余数为 1
C. 甲、乙、丙、丁等 6 人排成一排，甲、乙、丙按从左到右、从高到低的固定顺序, 共有 120 种排法
D. 现有 6 本不同的书, 分成三份, 每份 2 本, 共有 90 种分法

如图,由 Rt △OAB 开始,作一系列的相似三角形, OA=1,∠AOB=30∘ . 设第 n 个三角形的斜边长为 ln ,面积为 Sn ,前 n 个三角形的面积之和为 Tn ,其中 l1=OB,S1=S△OAB ,则
A. ln 为等差数列
B. Sn 为等比数列
C. TnSn 为递增数列
D. ln+Tn0 的离心率为 22,F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点, O 为坐标原点,过 F1 的直线交 E 于 A,P 两点,点 P 在第一象限, M 为 AP 的中点, PF2 交 E 于点 B,△PF1F2 的周长为 2+22 .
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)求证:直线 AP 与 OM 的斜率乘积为 -12 ；
(3)若分别记 OP,AB 的斜率为 k1,k2 ，求 1k2-1k1 的最大值.
19. (本小题满分 17 分)
已知 ∀θ∈{θ∈R∣θ≠kπ,k∈Z} ,定义 θ 的余切值为 ctθ=csθsinθ ,函数 fx=ctπ2x 在 1,0 处的切线为直线 l .
(1)求切线 l 的方程；
(2)证明: ∀x∈1,2,y=fx 始终在切线 l 下方；
(3)证明:至少存在 3 个整数 a ，使得 lnx2+1+a2csπ2x≥0 恒成立. (参考数据: 1.60 ,所以 Pφ>Pz ,所以乙比较经济,故选 C.

6. B 因为 N 为 BC 的中点,则 AN=12AB+AC ,
所以 AM⋅AN=AM⋅12AC+AB=12AC⋅AM+AB⋅AM .
如图，分别取线段 AB,AC 的中点为 E,F ，因为 M 为 △ABC 的外接圆圆心，
所以 AC⊥MF,AB⊥ME ,则
AC⋅AM=AC⋅AF+FM=AC⋅AF=12AC=32,
AB⋅AM=AB⋅AE+EM=AB⋅AE=12AB​2=8 ,
因此 AM⋅AN=12AC⋅AM+AB⋅AM=12×32+8=20 . 故选 B.
7. D 因为 AB⊥BC,△ABC 的外接圆半径是 3 ，则斜边 AC=23 .
因为 PA⊥ 平面 ABC,AB⊥BC ,则可将四面体 P-ABC 补形为长方体,长方体的休对角线 PC=PA2+AC2= 32+232=21 ,设球 O 的半径为 R ,则 R=212 ,所以球 O 的表面积 S=4πR2=21π . 故选 D.
8. D 依题意得 Cn02xn+Cn12xn-1+Cn22xn-2+⋯+Cnn-22x2-Cnn-1-2x 能够被 5 整除.
而 Cn02xn+Cn12xn-1+Cn22xn-2+⋯+Cnn-22x2-Cnn-1-2x
=Cn02xn+Cn12xn-1+Cn22xn-2+⋯+Cnn-22x2+Cnn-12x1
=Cn02xn+Cn12xn-1+Cn22xn-2+⋯+Cnn-22x2+Cnn-12x1+Cnn-1
=2x+1n-1 ,
所以 2x+1n-1 能够被 5 整除.
对于 A,x=1,n=6 ,则 36-1=33-133+1=26×28 ,不能被 5 整除, A 不正确;
对于 B,x=2,n=6 ,则 56-1 显然不能被 5 整除, B 不正确;
对于 C,x=3,n=18 ,则 718-1=499-1=50-19-1=C90×509+C91×508×-11+⋯+C98×501×-18+C99× -19-1=50k-2k∈Z ,不能被 5 整除, C 不正确;
对于 D,x=4,n=16 ,则 916-1=10-116-1=C160×1016+C161×1015×-11+⋯+C1615×101×-115+ C1616×-116-1=10pp∈Z ,能被 5 整除, D 正确. 故选 D.
9. AB 因为 fx=ax3+bx2+53ab≠0 ,
所以 f'x=3ax2+2bx ,
从而 f''x=6ax+2b ,由题意 f''1=0,f1=1, 即 6a+2b=0,a+b+53=1, 解得 a=13,b=-1, 故 A 正确；
因为 fx=13x3-x2+53 ，所以 f'x=x2-2x ，
当 x∈-∞,0 时, f'x>0,fx 单调递增;
当 x∈0,2 时, f'x0 时,要使 hx=ax2-2x-1 在区间 1,3 上单调递减,则 1a≥3 ,解得 0