辽宁省辽阳市2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份辽宁省辽阳市2025-2026学年高二上学期1月期末考试数学试题（Word版附解析），共2页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A．B．C．1D．2
2．从甲地到乙地有4条不同的路线，从乙地到丙地有3条不同的路线，则从甲地经过乙地，到达丙地不同的路线有（ ）
A．7条B．12条C．64条D．81条
3．设随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知变量x，y的数据如下：
若x与y的回归直线方程为，则（ ）
A．3.5B．4C．4.2D．5
5．某学校组织研学活动，现有自然生态与地质科考、红色爱国主义教育、历史文化与文物考古、民族文化与非遗传承、蓝色海洋文化教育这5个研学方向．学校安排6名教师负责这5个方向的研学活动，若每个研学方向的研学活动都至少有1名教师负责，每名教师均需要负责且只负责其中1个研学方向的研学活动，则不同的分配方法种数为（ ）
A．2400B．1800C．1500D．2100
6．已知直线l：与圆C：，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．不确定的
7．从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．在正三棱柱中，，P是线段上的一动点，则点P到直线的距离的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知展开式中各项的二项式系数之和为64，则（ ）
A．B．展开式中所有项的系数之和为64
C．展开式中的常数项是D．展开式中含的项是
10．甲盒中有4个红球和3个白球，乙盒中有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其他都相同，分两次从盒子中取球，第一次从甲盒中随机取出1个小球放入乙盒中，第二次再从乙盒中随机取出2个小球.记事件表示从甲盒中取出的小球是红球，事件表示从甲盒中取出的小球是白球，事件表示从乙盒中取出2个颜色相同的小球，事件表示从乙盒中取出2个颜色不同的小球，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知双曲线（）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，是的平分线，且，为坐标原点，是双曲线上的一点，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．双曲线的离心率是
C．
D．点到双曲线的两条渐近线的距离之积是
三、填空题
12．若直线与直线平行，则 .
13．某航天测控中心监测到一颗人造卫星的运行轨迹近似为椭圆，其方程为.该人造卫星（视作质点）在椭圆轨道上的A，B两点进行变轨操作，若线段AB的中点为，则直线AB的斜率为 ， .
14．在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是 .
四、解答题
15．某马拉松赛事组委会为研究选手赛前是否进行热身训练与比赛中是否受伤的关联性，随机抽取了200名参赛选手的相关数据，整理得到如下2×2列联表.
单位：人
(1)从这200名参赛选手中随机抽取1人，已知此人赛前进行了热身训练，求此人在比赛中受伤的概率;
(2)能否有99.9%的把握认为选手赛前是否进行热身训练与比赛中是否受伤有关？
参考公式：，其中.
参考数据：
16．如图，正三棱柱的各棱长均为8，D为棱BC的中点，点E，F在棱上，且．

(1)证明：平面．
(2)求直线CB与平面所成角的正切值．
17．已知椭圆：（）过点与，是椭圆的左焦点，是椭圆上的一动点（点不在轴上），直线交椭圆于另一点.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求的取值范围.
18．为提高学生学习数学的积极性，某校举办数学竞赛并且设置奖项.现从参加初赛的学生中选拔出男生20名、女生20名参加此次数学竞赛决赛，根据这40名学生的得分情况绘制如图所示的频率分布直方图.规定得分不低于80分即可获得奖励，其中获得奖励的男学生有7人.

(1)求图中n的值;
(2)从获得奖励的学生中任取2人，求这2人中至少有1人获得奖励的概率;
(3)现从获得奖励的学生中随机抽取4人，记其中女学生的人数为X，求X的分布列与期望.
19．已知双曲线的左、右焦点分别是，其实轴长为，，点在双曲线的右支上，且的最小值是5.
(1)求双曲线的标准方程.
(2)过点的直线与双曲线的右支交于两点，与双曲线的两条渐近线交于，两点，均在第一象限.
①若，求直线的方程；
②求面积的取值范围.
x
3
4
6
7
y
2.5
3
m
5.9
比赛中受伤
比赛中未受伤
合计
赛前进行热身训练
10
90
100
赛前未进行热身训练
30
70
100
合计
40
160
200
（）
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1．D
根据抛物线的焦点到准线的距离为即可得解.
【详解】将化为，
对比抛物线的标准方程，可得，解得，
所以焦点到准线的距离是2.
故选：D
2．B
由分步乘法计数原理计算即可求解.
【详解】由题意可知所求不同的路线有条.
故选：B
3．C
根据正态分布的对称性及概率加法公式计算可得.
【详解】因为随机变量，所以.
因为，所以，所以.
所以.
所以.
故选：C.
4．B
求出，，x与y的回归直线方程为过点，将代入计算得到的值.
【详解】由题意可得，，
则，解得.
故选：B.
5．B
根据题意分组分配，结合排列组合知识计算即可求解.
【详解】由题意可得其中一个研学活动有2名教师负责，剩下四个研学活动有1名教师负责，
故不同的分配方法种数为.
故选：B
6．C
由直线方程确定所过的定点坐标，再判断该点与圆的位置关系，即可得.
【详解】因为直线为，即，
由，得，则直线过定点.
因为，所以点在圆的内部，则直线与圆相交.
故选：C
7．A
首先列举出不大于30的10个素数，再分别求出从10个素数中任取两个素数的情况，以及这些情况中两个素数之和为30的情况，再根据古典概型的概率公式计算即可得解.
【详解】不大于30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个.
从中随机选取两个素数有种情况，
其中被选取的两个素数之和为30的有，，共3种情况，
故所求概率为.
故选：A
8．A
利用空间向量法求出，，，设（），求出，利用点到直线的距离公式求出点P到直线的距离.
【详解】以A为原点，AB，所在直线分别为x轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，，，，
所以，，.
设（），则，
故点P到直线的距离
.
故选：A.

9．ABD
由，求得，再由二项式定理通项公式，和赋值法逐项判断即可.
【详解】由题意可得，解得，A正确.
令，得，B正确.
展开式的通项.
令，得，则，C错误.
令，得，则，D正确.
故选：ABD
10．ACD
由条件概率公式和组合数可得A；由独立事件的乘法公式结合组合数可得B错误；利用条件概率公式和组合数可得C；由全概率公式结合组合数可得D
【详解】由题意可得，，则，A正确.
，B错误.
，C正确.
，D正确.
故选：ACD.
11．BCD
由题意可得，根据双曲线的性质可得渐近线方程和离心率，判断AB；延长，交于点，由题意可得，结合双曲线性质可判断C；利用点到直线距离公式计算可判断D.
【详解】因为点在双曲线上，
代入可得，解得（舍去），
所以双曲线，则.
对于A，双曲线焦点在轴上，渐近线方程为，即，故A错误；
对于B，双曲线的离心率为，故B正确；
对于C，分别延长，，交于点.
因为是的平分线，且，
则，所以，是线段的中点，
因为是线段的中点，所以，
由双曲线的定义可得，
则，故C正确.
对于D，设，则，即，
故点到双曲线的两条渐近线的距离之积是，故D正确.
故选：BCD
12．
由直线平行的判定列方程求参数值.
【详解】由题意，则，
所以，解得.
故答案为：
13．
根据点差法，结合斜率公式即可求解空1，联立直线与椭圆方程得韦达定理，根据弦长公式即可求解空2.
【详解】设，，则，.
由得，
则直线AB的斜率，
故直线AB的方程为，即.
由得，
方程的判别式，
则，，
所以，
故.
故答案为：，
14．
设正方体的中心为，连接，设，连接，由已知线面关系可证得平面，从而可得，，根据空间向量的数量积计算，从而可得其最小值.
【详解】设正方体的中心为，连接，设，连接，

因为正方体中，所以平面，
因为平面，，
又平面，所以平面，
因为P是棱的中点，正方体的中心为，
所以，则四边形为平行四边形，则，
故平面，由于平面，
则，，
所以，
因为，，所以，
因为，所以|，所以，
因为E，F是矩形内的任意两点，所以，当且仅当E，F为或的两端点时，等号成立，
则，即的最小值是.
故答案为：.
15．(1)
(2)有99.9%的把握
（1）记事件A表示此人赛前进行了热身训练，事件B表示此人在比赛中受伤，由即可求解；
（2）求得，对比参考数据，即可判断.
【详解】（1）记事件A表示此人赛前进行了热身训练，事件B表示此人在比赛中受伤，
则，，
故.
（2）由题意可得.
因为，所以有99.9%的把握认为选手赛前是否进行热身训练与比赛中是否受伤有关.
16．(1)证明过程见解析
(2)
（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，故，所以平面，
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，并求出平面的法向量，利用线面角的正弦夹角公式求出正弦值，从而求出余弦和正切值.
【详解】（1）取的中点，连接，
因为正三棱柱的各棱长均为8，D为棱BC的中点，
所以，，
又，故，所以，
又，故，故四边形为平行四边形，
故，
因为平面，所以平面，

（2）取的中点，的中点，连接，，
则⊥平面，
因为为等边三角形，所以⊥，
且，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，故，
设直线CB与平面所成角的大小为，
则
，
故，.
17．(1)
(2)
（1）将点的坐标代入椭圆方程即可联立方程求解，即可利用离心率公式求解，
（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而由弦长公式，结合不等式的性质即可求解.
【详解】（1）设椭圆的焦距.
由题意可得，解得.
因为，所以，
则椭圆C的离心率为.
（2）由椭圆的对称性不妨设点，，直线的方程为，.
由得，则，，
故.
因为，所以，所以，
所以，所以，
则，即的取值范围为
18．(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）由频率分布直方图可得，则；
（2）由频率分布直方图可知获得奖励的学生有人，
故这2人中至少有1人获得奖励的概率为；
（3）获得奖励的女学生有3人，男学生有7人，则X的所有可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
，
则X的分布列为
故.
19．(1)
(2)①②
【详解】（1）因为双曲线的左、右焦点分别是，其实轴长为，
所以，所以.
的最小值是5即当三点共线时，取最小值为.
因为，所以，解得.
所以，所以双曲线的标准方程为.
（2）①由（1）知，
当直线的斜率不存在时，其方程为，
因为双曲线的渐近线方程为，联立直线与渐近线方程得，
所以，因为双曲线的焦点坐标为，
所以，此时不满足题意，所以直线的斜率存在.
设直线的方程为，
与双曲线的渐近线方程联立得和，
解得和，所以.
因为，所以即，解得.
所以直线的方程为，即.
②当直线的斜率不存在时，其方程为，代入双曲线方程中得.
所以，此时；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
与双曲线方程联立得.
判别式，.
设，则.
由于，所以或.
所以
，
令，
由于，所以.
所以，
所以.
综上，所以面积的取值范围为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
B
B
C
A
A
ABD
ACD
题号
11









答案
BCD









X
0
1
2
3
P