【数学】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试试卷（解析版）

这是一份【数学】辽宁省辽阳市2024-2025学年高二上学期1月期末考试试卷（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 小青计划从北京乘坐高铁、长途汽车或火车到山东，再从山东乘坐轮船或飞机到辽宁，则小青从北京出发，途经山东再到辽宁的交通工具乘坐方式共有（ ）
A. 5种B. 6种C. 8种D. 9种
【答案】B
【解析】小青从北京到山东有3种乘坐方式，从山东到辽宁有2种乘坐方式，
所以共有种．
故选：B.
2. 若双曲线满足，则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由双曲线的渐近线方程为，
由，得，则的渐近线方程为，
故选：D.
3. 下表是离散型随机变量的概率分布，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：，解得，
所以．
故选：B.
4. 已知播种用的盘锦水稻种子中混有60%的盐丰47种子，40%的辽盐2号种子，盐丰47种子的结实率为85%，辽盐2号种子的结实率为90%.现从这批种子所长出的穗中随机抽取一穗这一穗结实的概率为（ ）
A. 0.86B. 0.87C. 0.88D. 0.89
【答案】B
【解析】根据全概率公式可得，
这一穗结实的概率为．
故选：B.
5. 已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，即，
则，整理可得．
故选：C.
6. 元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 1280B. 300C. 1880D. 1560
【答案】D
【解析】将6名导游分成四组，各组人数分别为1，1，1，3或1，1，2，2．
当各组人数为1，1，1，3时，共有种安排方法；
当各组人数为1，1，2，2时，共有种安排方法．
故不同安排方法有种．
故选：D.
7. 已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，为坐标原点，为上一点，且位于第二象限，直线，分别与轴交于点，．若为线段的中点，为线段的中点，则点到轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过点作轴，垂足为．
由题意可得，，
即，，
两式相乘，化简得，
所以，
则．
故选：D.
8. 在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制．已知甲在每局比赛中获胜的概率均为，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】若比赛进行了三局，甲获得冠军的概率为；
若比赛进行了四局，甲获得冠军的概率为；
若比赛进行了五局，甲第五场赢，甲获得冠军的概率为．
设甲获得冠军为事件，比赛进行了五局为事件，
所以甲获得冠军的概率为，
比赛进行了五局且甲获得冠军的概率为,
故甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为．
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某手机商城统计的2024年5个月手机的销量（万部）如下表所示：
根据表中数据用最小二乘法得到的关于月份编号的回归直线方程为，则（ ）
A.
B. 与正相关
C. 当月份编号增加1时，销量增加0.5万部
D. 预测2025年2月份该手机商城的销量约为4万部
【答案】AB
【解析】由表中数据，计算得，
所以，
则，
解得，A说法正确；
由回归直线方程中的系数为正可知，与正相关，且其相关系数，B说法正确；
当月份编号增加1时，销量不一定增加0.5万部，C说法错误；
2025年2月份对应的月份编号，，D说法错误；
故选：AB.
10. 已知在三棱台中，平面，，
，．以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距离为
【答案】ABD
【解析】根据题意可得，，，则，故A正确；
A0,0,0，，，
则，
因为，所以，故B正确；
，A10,0,4，则，，设异面直线与所成的角为，
则，故C错误；
，则点到直线的距离为，故D正确．
故选：ABD.
11. 笛卡尔叶形线是一个代数曲线，首先由笛卡尔在1638年提出．如图，叶形线经过点，点Px0,y0在C上，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线与C有3个公共点
B. 若点P在第二象限，则
C.
D.
【答案】BCD
【解析】因为叶形线经过点，所以．
联立，解得，所以直线与C只有1个公共点，A错误．
．
因为点P在第二象限，所以，，
所以，B正确．
若点P在第四象限，则，可推出 ．
因，
所以．当点P在第二、四象限时，，
所以．当点P是原点或在第一象限时，易得，
所以，C正确．
由，可得，解得，
所以，D正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知为抛物线的焦点，为抛物线上一点．若，则点的坐标为___________，点的横坐标为___________．
【答案】 2,0 9
【解析】由题意得抛物线的焦点为．
设，因为，所以．
13. 的展开式中含项的系数为___________．（用数字作答）
【答案】
【解析】的展开式中含的项为，
故的展开式中含项的系数为．
14. 在正六棱柱中，，，分别为，的中点，则点到平面的距离为___________．
【答案】
【解析】连接，，设其交点为．由正六棱柱的性质知，，且，取的中点，连接，则平面．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．
因为，，分别为，的中点，
所以，，，，
则，，．
设平面的法向量为，
则令，则．
故点到平面的距离．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知直线，直线平分圆．
（1）若，直线与圆交于，两点，求的周长；
（2）若直线过定点，过点作圆的切线，求定点的坐标及切线方程．
解：（1）当时，直线的方程为，
圆心在直线上，则，解得，
所以圆心的坐标为，半径为2．
圆心到直线的距离，
所以，
所以的周长为．
（2）直线的方程为，即，
由得，
所以定点的坐标为．
当切线斜率不存在时，到的距离为2，
易得直线为圆的一条切线．
当切线斜率存在时，由，解得，
则直线的方程为．
故所求切线的方程为或．
16. 为了了解某社区消费者网上购物的情况，该社区采用问卷调查形式对800名消费者进行调查，这800名消费者中中老年人的人数为300，青年人的人数为500，其中中老年人喜欢网上购物的人数是中老年人不喜欢网上购物的人数的2倍，青年人喜欢网上购物的人数是中老年人喜欢网上购物的人数的2倍．
（1）请将上面列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为该社区消费者是否喜欢网上购物与年龄有关；
（2）按人数比例采用分层随机抽样的方法从该社区喜欢网上购物的消费者中抽取6人对网上购物方向进行调查，再从这6人中随机抽取4人进行合影，记这4人中青年人的人数为，求随机变量的分布列和期望．
附：，．
解：（1）根据题意可得列联表如下：
，
所以有99.9%的把握认为该社区消费者是否喜欢网上购物与年龄有关．
（2）根据题意可得从该社区喜欢网上购物的消费者中抽取的6人中，4人是青年人，2人是中老年人，
再从这6人中随机抽取4人，则的可能取值为2，3，4．
，，，
所以的分布列为
则，即随机变量的期望为．
17. 如图，在多面体中，平面，平面平面，，，等腰直角三角形，且，．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
（1）证明：取的中点，连接，．
因为为等腰直角三角形，且，所以．
又平面平面，平面平面，所以平面．
因为平面，平面，所以．
又平面，平面，所以平面．
因为，所以，
又，
所以四边形为平行四边形，则．
因为平面，平面，
所以平面．
又，平面，
所以平面平面．
因为平面，所以平面．
（2）解：由题可知，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则由得
令，得．
设平面的法向量为，
则由得
令，得．
所以，则平面与平面的夹角的余弦值为．
18. 小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布．
（1）若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，
则随机变量服从正态分布．
（i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求．
（ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由．
（2）若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数）
附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生.
解：（1）（i）因为，所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
（ii）由（i）得．
因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，
，，
所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，
小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由．
（2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则．
由，，得．
根据题意易得随机变量，
．
19. 已知椭圆的长轴长为，且经过点．椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，且的离心率与的离心率相等，的短轴长与的长轴长相等．
（1）求椭圆与的标准方程．
（2）若为上的点，过点作的切线，设切点分别为，，试问直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
（3）若（异于的左、右顶点，）为椭圆上的点，直线与交于点，，直线与交于点，，求的值．
解：（1）根据题意可得．
将点的坐标代入，得，解得，
所以椭圆的标准方程为．
设椭圆的标准方程为，则．
由，解得，
故椭圆的标准方程为．
（2）根据题意易得经过点且与椭圆相切的直线斜率存在，可设为．
由得，
所以，
化简可得．
设直线与的斜率分别为，，
则，是关于的方程的两个实根，
所以，
因为为椭圆上的点，所以，
所以，
故直线与的斜率之积是定值，且该定值为．
（3）设，由题意得，，
则，，
得．
又因为，所以，所以．
不妨设，，，，
直线方程为，则直线的方程为，
联立可得，
所以，，
所以，
同理，将代得，
故．1
2
3
4
月份
7月
8月
9月
10月
11月
1
2
3
4
5
2
2
3
4
喜欢网上购物
不喜欢网上购物
合计
青年人
中老年人
合计
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
喜欢网上购物
不喜欢网上购物
合计
青年人
400
100
500
中老年人
200
100
300
合计
600
200
800
2
3
4