内蒙古鄂尔多斯市西四旗2026届高三上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份内蒙古鄂尔多斯市西四旗2026届高三上学期期末考试数学试题（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三数学
一、单选题
1．已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数，则（ ）
A．1B．C．2D．
3．设是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ）
A．2B．C．D．
4．圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知是双曲线的左、右焦点，点在上，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．设各项为正数的等比数列中，，则取最小值时，等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（ ）
A．4B．6C．8D．12
二、多选题
9．若的终边与的终边垂直，且，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知向量，则（ ）
A．的最大值为B．曲线关于点对称
C．在上单调递增D．在上有5个零点
11．（多选）在三棱锥中，平面．若三棱锥的体积为，则（ ）
A．B．二面角的平面角小于
C．点到平面的距离为D．三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题
12．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯 盏．
13．函数在处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ．
14．设抛物线的焦点为，已知为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为 ．
四、解答题
15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若的面积为，求的值；
16．已知数列的首项，且满足.
(1)证明：是等差数列；
(2)记[x]表示不超过的最大整数，分别为和的前项和，求.
17．如图，在直三棱柱中，，是棱上一点（不包含端点），是的中点．
(1)若是的中点，求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
18．已知椭圆的右焦点为，过F的直线与E交于两点．当A为E的上顶点时，．
(1)求E的方程；
(2)过点A作的垂线，垂足为M．
（ⅰ）证明：直线过定点N；
（ⅱ）记的中点为，的斜率为，NB的斜率为，证明：是定值．
19．已知函数，．
(1)若是的极值点，求a的值并说明是极大值点还是极小值点；
(2)若时，，求a的取值范围；
(3)对的定义域内的任意，，证明：．
参考答案
1．B
【详解】已知全集，，则.
故选：B
2．C
【详解】由，可得，
故选：C.
3．B
【详解】由共线向量定理可知存在实数，使得，
即，又与是不共线向量，
所以解得.
故选：B．
4．B
【详解】由题意可得圆与圆的圆心分别为，半径分别为，
因为，所以，
所以两圆相交，其公切线条数为2，
故选：B.
5．D
【详解】由可得或，
由可得，故或，解得或，
因此由推不出，由也推不出，
故“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D
6．A
【详解】设的焦距为，则
，所以离心率．
故选：A．
7．B
【详解】设公比为，
所以，
当且仅当，即3时取等号，此时.
故选：B.
8．D
【详解】由知的图象关于直线对称，
又的图象也关于直线对称，
所以函数与的图象有6个交点，分3对分别关于直线对称，
每对交点的横坐标之和为4，所以.
故选：D.
9．AD
【详解】因为的终边与的终边垂直，所以，
又因为，当时，，满足条件，所以选项A正确；
，所以选项B错误；
，所以选项C错误；
，所以选项D正确.
故选：AD
10．ABC
【详解】由题意得，，
所以的最大值为，A正确；
因为，所以的图象关于点对称，所以B正确；
当时，，在上单调递增，C正确；
令，则，即.
所以在上的零点为，共4个，D错误．
故选：ABC．
11．ACD
【详解】设，
由平面可知，所以，
又，所以在中，，解得，
在中，，则，
所以的面积为，
三棱锥的体积为，
所以，解得，A说法正确；
因为平面平面，所以是二面角的平面角，
由A，所以，B说法错误；
因为的面积为，
由三棱锥等体积法可得点到平面的距离，C说法正确；
设三棱锥的外接球球心为，半径为，的外接圆圆心为，半径为，
所以平面，，
过作，因为，所以四边形是矩形，，
所以由可得，
则，
所以，球的表面积为，D说法正确；
故选：ACD
12．26
【详解】依题意，9层塔从上层到下层挂灯盏数依次排成一列可得等差数列，
所以，解得，
所以，即塔的底层共有灯26盏．
故答案为：26.
13．2
【详解】由，则，
而，则，
所以函数在处的切线方程为，
令，得；令，得，
则切线与坐标轴所围成的三角形的面积为.
故答案为：2.
14．
【详解】过作准线的垂线，垂足为，由图可知，，
根据抛物线的定义可知，所以．
在中，根据余弦定理可知，
所以．
根据基本不等式的性质，当且仅当，等号成立，
所以上式可化为，即，所以．
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由可得，
故，
由于,故，
（2）由，故，
又得，故，
故，
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为，显然，所以，
所以，
即，
又，所以是以2为首项1为公差的等差数列.
（2）由（1）得，，
所以，
所以，
所以
因为，
所以，
所以.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：取的中点，连接，则．
又在直三棱柱中，，所以．
因为为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，所以平面．
（2）由题知两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
．
设平面的一个法向量为，则
取，则，所以．
设，直线与平面所成角为，
则，
解得或（舍去），所以，
即直线与平面所成角的正弦值为时，的长为．
18．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）记E的半焦距为c，由右焦点为可得：，而，
故，于是E的方程为．
（2）
（ⅰ）不妨设，，
设，联立，
有，可得，，
即，
易知，直线MB的斜率为，
故直线MB的方程可表示为，
当时，显然，
故
，
所以直线过定点．
而当AB斜率为0时，直线就是轴，也过点．
综上，直线MB过定点．
（ⅱ）由（ⅰ）可得，所以，
则，
所以有，即是定值．
19．(1)，是的极大值点．
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）的定义域为，，
因为是函数的极值点，所以，解得，
当时，，
因为，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点.
（2），
当时，，，
时，；时，，
在上单调递减，在上单调递增，
所以时，，不合题意.
当时，由得，
当，即时，对成立，
所以在上单调递减，所以时，合题意；
当，即时，对成立，
所以在上单调递增，
所以当时，，不合题意.
综上，a的取值范围是.
（3）因为，
所以要证成立，
只要证成立，
因为，所以只要证成立，
因为，，
所以只要证成立.
记，
则，对成立，
所以在上单调递减，
当时，，所以，
取，由知，从而，