湖南省部分重点高中2024-2025学年高二下学期期中考试试卷 数学（含解析）

这是一份湖南省部分重点高中2024-2025学年高二下学期期中考试试卷 数学（含解析），共51页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则（ ）
A.B.C.D.
2．已知，若复数，则（ ）
A.2B.3C.D.
3．已知直线与圆相交于两点，，则（ ）
A.1B.2C.3D.4
4．已知锐角满足，则（ ）
A.B.C.D.-1
5．已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为是双曲线上的一点，且，则（ ）
A.B.5C.D.或
6．已知函数，则使成立的的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
7．已知，函数的最小正周期为，若，且的图象关于直线对称，则（ ）
A.-1B.-2C.-3D.-4
8．甲、乙、丙三人各自计划去上海旅游，他们在4月21日到4月23日这三天中的一天到达上海，他们在哪一天到达上海相互独立，且他们各自在4月21日到4月23日到达上海的概率如下表所示：
若甲、乙两人在同一天到达上海的概率小于甲、丙两人在同一天到达上海的概率，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.2020至2024年我国快递业务量及其增长速度如图所示，则（ ）
A.2020至2024年我国快递业务量逐年增长
B.2020至2024年我国快递业务量的中位数是1106亿件
C.2020至2024年我国快递业务量增长速度的极差是19.4％
D.估计我国2019年的快递业务量大于500亿件
10．已知边长为2的正方形ABCD的边CD上有一点（不含端点），边BC上有一点，且，如图1所示．现把沿EF折起到的位置，得到棱锥，如图2．设，棱锥的体积的最大值为，则（ ）
A.是单调递增函数
B.函数先单调递增后单调递减
C.当平面平面ABFED时，AP的长有最小值2，没有最大值
D.函数有最大值，没有最小值
11．已知不等式对任意成立，则实数的取值可以为（ ）
A.B.C.D.e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量，且，则____________．
13．已知某圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则该圆锥的外接球的表面积为____________．
14．已知有穷数列的各项均不相等，将的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列，称数列为数列的“序数列”．例如数列满足，则其“序数列”为2，3，1．若有穷数列满足，且数列的“序数列”单调递减，数列的“序数列”单调递增，则____________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若，求的面积；
（3）若，求的周长．
16．（15分）已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的右顶点为．
（1）求的方程；
（2）设过点且倾斜角为的直线与交于两点，求．
17．（15分）如图，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，是BC的中点，是侧面内的一点（含边界）．
（1）若是侧面的中心，证明：．
（2）若平面，试求点的轨迹的长度．
（3）求平面与平面夹角的余弦值．
18．（17分）已知一个盒中装有3个大小、形状完全相同的小球（1个红球和2个黑球），从盒中每次随机不放回地取出1个小球，若取出的是红球，则将1个黑球放入盒中；若取出的是黑球，则将1个红球放入盒中，以上取1个球再放1个球的过程称为1次操作．假设每次取球相互独立．
（1）经过2次操作后，记盒中红球的个数为，求的分布列；
（2）求第3次操作取到红球的概率；
（3）设经过次操作后，盒中全是黑球的概率为，求数列的前项和．
19．（17分）已知函数，且的图象在点处的切线方程为．
（1）求的解析式；
（2）若是在上的一个极值点，证明：．
高二数学试卷参考答案
1．D ．
2．C 因为，所以，则．
3．B 设圆心到直线的距离为，则．因为，所以，解得．
4．C 因为，所以，所以．
5．A 由双曲线的离心率为2，可得，所以的方程为．
当点在双曲线的左支上时，．
当在双曲线的右支上时，，因为点到焦点距离的最小值为，所以不符合题意，舍去．
6．B 易知是偶函数，当时，，则在上单调递增．由，得，解得．
7．D 因为，所以，解得．又的图象关于直线对称，所以，解得．因为，所以，所以.
8．C 设甲、乙两人在同一天到达上海的概率为，甲、丙两人在同一天到达上海的概率为．根据全概率公式可得．由，得，即，又，所以．
9．ABD 2020至2024年我国快递业务量逐年增长，A正确．
2020至2024年我国快递业务量的中位数是1106亿件，B正确．
2020至2024年我国快递业务量增长速度的极差是，C错误．
设我国2019年的快递业务量为亿件，则，D正确．
10．BD 依题意得平面平面ABFED，且棱锥的高为，棱锥的底面面积，所以．由，知在上单调递增，在上单调递减，所以A错误，B正确．因为，所以D正确．
因为，令，易知在上单调递减，所以AP的长度没有最值，C错误．
11．ABD 原不等式可化为．令，则原不等式等价于，易知在上单调递增，所以不等式可化为，两边取对数即得，所以恒成立．令，则，可知在上单调递增，在上单调递减，所以，故，即实数的取值范围为．故选ABD.
12．2 因为，所以，解得．
13． 设该圆锥的高为，外接球的半径为，则．由，解得，所以该圆锥的外接球的表面积．
14． 因为的“序数列”单调递减，所以数列单调递增，则，所以．又因为，所以，所以，所以①．同理可得②，由①②得，所以.
15．解：（1）因为，
所以，…………………………………………………………2分
则，
即，即，………………………………………………5分
在中，，则．………………………………………………………………6分
（2）在中，由，得，…………………………………………………7分
所以的面积．…………………………………………9分
（3）由，…………………………………………………11分
得，………………………………………………………………………………………………12分
所以的周长为．…………………………………………………………………………13分
16．解：（1）因为，所以的右焦点坐标为，………………………………………2分
所以，即，…………………………………………………………………………………4分
所以的方程为．………………………………………………………………………………5分
（2）依题意可得直线的方程为．…………………………………………………………7分
由得．……………………………………………………………………10分
设，则，………………………………12分
则．………………………15分
17．（1）证明：如图1，取CD的中点，连接，
则平面ABCD，所以．……………………………………………………1分
因为PM是的中位线，所以．…………………………………………………………2分
因为ABCD是菱形，所以，从而．…………………………………………………3分
又，所以平面MPQ，从而……………………………………………4分
（2）解：如图2，取CD的中点的中点，连接，，
则．………………………………………………………………………………………5分
又平面平面，所以平面．…………………………………6分
同理平面，又，所以平面平面．………………………7分
因为平面平面，所以MN就是点的轨迹．
因为，所以点的轨迹长度为．…………………………………………………9分
（3）解：设AC与BD交于点，由题设可知，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图3所示，
则，，）．………………………………………………………………………………………………………11分
设平面的法向量为，
由得
令，得．……………………………………………………………………………13分
设平面的法向量为，则，
由得令，得．………………………………14分
设平面与平面的夹角为，则…………………15分
18．解：（1）的所有可能取值为1,3，…………………………………………………………………1分
,……………………………………………………………3分
故的分布列为
……………………………………………………………………………………………………………………4分
（2）（方法一）设事件表示第次取到红球，
则
.………………………………………………………………8分
（方法二）由（1）知第3次操作取到红球的概率为．…………………………………8分
（3）设次操作后，盒中全是黑球、1个红球和2个黑球、2个红球和1个黑球、全是红球的概率分别为．
由操作规则可知，当为奇数时，盒中全是黑球或2个红球、1个黑球，当为偶数时，盒中全是红球或1个红球、2个黑球，
即，其中．…………………………10分
因为，……………………………………12分
所以，………………………………………………………………………13分
所以是以为首项，为公比的等比数列，……………………………………………14分
则．………………………………………………………………………15分
故．……………………………………………………17分
19．（1）解：由题可知，解得．…………………………………………1分
，由，解得，………………3分
.…………………………………………………………………………………4分
（2）证明：由（1）得．
（i）当时，，所以，则，所以在上单调递增．………………………………………………………………………5分
（ii）当时，．
令，则．
因为，所以，则在上单调递减．…7分
因为，所以存在，使得，即，也即，
则在上，，在上，，所以在上单调递增，在上单调递减．………………………………………………………………………………………9分
（iii）当时，，所以．又，所以，故在上单调递减．……………………………………………………………11分
因为是在上的一个极值点，所以，由上知在上单调递增，在上单调递减，则，从而．……………………………………………13分
因为，所以……………………15分
所以，即．
…………………………………………………………………………………………………………………17分
4月21日
4月22日
4月23日
0.2
0.3
0.5
1
3