湖南多校2025-2026学年下学期高二数学3月阶段检测试卷（含答案）

这是一份湖南多校2025-2026学年下学期高二数学3月阶段检测试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了 考试结束后, 请将答题卡上交， 已知抛物线 C， 已知椭圆 C， 下列说法中, 正确的有， 已知圆 C1等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号；回答非选择题时,用 0.5 mm 的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 请将答题卡上交。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系 Oxyz 中, P1,2,−3 关于 y 轴的对称点为 Q ,则 Q 的坐标为
A.(1, - 2, - 3) B.(1,2,3) C.(1,3, - 2) D.(-1,2,3)
2. 直线 l1:ax+2a−1y−1=0 与直线 l2:x+y−2=0 垂直,则 a=
A. 13 B. 1 C. 0 D.-2
3. 已知数列 an 满足 an+1=11−an,a1=2 ,则 a10=
A. -1 B. 12 C. 2 D. −12
4. 如图,在三棱锥 P−ABC 中, E 为 PA 中点, F 为 BC 中点,则 EF=
A. 12PA+12PB+12PC
B. −12PA−12PB+12PC
C. −12PA+12PB+12PC
D. −12PA+12PB−12PC
5. 已知双曲线 x2m−y2n=1 的一条渐近线为 y=3x,mn=3 ,则该双曲线的方程是
A. x23−y2=1 或 y2−x23=1 B. x2−y23=1 或 y23−x2=1
C. x23−y2=1 D. x2−y23=1
6. 已知抛物线 C:y2=4x ,过其焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,点 A 在第一象限, 且满足 AF=4FB ,则直线 l 的方程为
A. 2x−y−2=0 B. x−2y−1=0
C. 3x−4y−3=0 D. 4x−3y−4=0
7. 已知数列 an 满足 an+−1n+1an+1=2n ,记 an 的前 n 项的和为 Sn ,则 S40=
A. 241−23 B. 241+23 C. 241−215 D. 240−215
8. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,椭圆 C 上存在一点 P 使 ∠PF2F1=2∠PF1F2 ,且 △F1PF2 为锐角三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是
A. 32,1 B. 22,32 C. 2−1,3−1 D. 0,22
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法中, 正确的有
A. 直线 x−3y−1=0 的倾斜角为 π3
B. 直线 l1:x−3y−3=0 ,直线 l2:3x−3y−6=0 ,则 l1 和 l2 之间的距离为 32
C. 直线 2x−3y−6=0 与坐标轴围成的三角形的面积为 3
D. 直线 m+2x−3+my+6=0 恒过的定点在圆 x2+y2=72 上
10. 已知圆 C1:x2+y2=1,C2:x−42+y2=1 ,下列说法正确的是
A. C1,C2 是外离的关系
B. P 是圆 C1 上的动点, Q 是圆 C2 上的动点,则 PQ∈2,6
C. 已知圆 C3 与 C1,C2 均有交点,则 C3 的面积的最小值是 4π
D. y=33x−233 是 C1,C2 的公切线
11. 已知点列 Anxn,yn 在函数 fx=x 上,点列 Bnxn,0 在 x 轴上,如图所示,以 AnBn 为边长作正方形,依次向右排列,即 AnBn=BnBn+1 ,已知 x1=1 ,数列 yn 的前 n 项的和为 Sn ,则

A. y2=2 B. xn+1=xn+xn
C. Sn=yn+12−1 D. Sn>n2+3n4
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 双曲线 x2−y22=1 的右顶点与抛物线 y2=2pxp>0 的焦点重合,则 p= _____.
13. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一, 现为世界文化遗产, 龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟. 现有一石窟的某处 “浮雕像” 共 n 层,每上层的 “浮雕像” 数量比下层少的个数是定值,记最上层浮雕个数为 a1 ,依次往下每层的浮雕个数组成数列 an ,其前 n 项的和为 Sn ,若 Sn=90,Sn−1=70,Sn−2=52 ,则 n= _____.

14. 如图所示,已知一正四面体 P−ABC,P 在平面 α 内,点 A,B,C 均在 α 同侧, A,B,C 三点到平面 α 的距离分别是3,3,4,则正四面体的边长是_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知正项递增数列 an 为等比数列,满足 a1+a3=103a2,a4=81 ,数列 bn 满足 bn=lg3an.
(1) 求 an,bn 的通项公式;
(2) 数列 cn 满足 cn=anbn ,求 cn 的前 n 项的和 Sn .
16. (本小题满分 15 分)
如图,已知正四棱台 ABCD−A1B1C1D1,AB=12A1B1=2 ,四棱台的高为 2 .
(1) 证明: CC1// 平面 AD1B1 ;
(2)求平面 BB1C1C 与平面 ABB1A1 夹角的正弦值.

17. (本小题满分 15 分)
古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点的距离之比为定值 λλ>0,λ≠1 的点的轨迹是圆,后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆. 已知在平面直角坐标系 xOy 中, A12,0,B2,0 ,若点 P 满足 PAPB=12 ,记 P 的轨迹为圆 C .
(1)求圆 C 的方程；
(2)已知动点 Qx0,y0,y0>1 ,过 Q 作圆 C 的两条切线(两条切线的斜率都存在),分别交 x 轴于 M,N 两点,求 △QMN 的面积的最小值.
18.(本小题满分 17 分)
已知椭圆 C1:x2a2+y2b2=1a>b>0 ,其中焦距与短轴长相等,左、右顶点分别为 A,B ,动直线 l:x=t−a