2025~2026学年吉林省长春市十一高中高二上册第三学程考试（期末）数学试卷（原卷）

这是一份2025~2026学年吉林省长春市十一高中高二上册第三学程考试（期末）数学试卷（原卷），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2. 已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（ ）
A B. C. D.
3. 已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（ ）
A. B. C. 3D. 9
4. 某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ）
A. 24B. 48C. 144D. 240
5. 已知等差数列前n项和为，，，则使取得最大值时n的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
6. 若圆上有且只有两个点到直线的距离等于，则半径的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线与圆交于A，B两点，且圆C在A，B两点处的切线交于点M，若为正三角形，则（ ）．
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 已知数列满足（且），且数列是递增数列，数列是递减数列，又，且，则（ ）
A B. 5050C. D. 4950
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 将5封信投入3个邮筒，不同投法共有种
B. 有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是
C. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有种选法
D. 有5名老师去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有72种
10. 已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），分别以A，B两点为切点的两条切线交点为，若，则以下结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的面积为
11. 如图，曲线上的点与轴非负半轴上的点，构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，，（为坐标原点）．设的斜边长为，点，的面积为，则下列说法中正确的是（ ）

A. 数列的通项公式B. 数列的通项公式
C. D.
第Ⅱ卷（共92分）
一、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 10080有________个不同正因数.
13. 已知，求数列__________.
14. 椭圆具有特殊的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.对于椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆C上任意一点，面积的最大值为，椭圆C在点P处的切线为l，过点P且与l垂直的直线与椭圆的长轴交于点M（M与O不重合），且，若，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.
15. 已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线与圆相交于两点，且面积为8，求直线的方程.
16. 在数列中，，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式；
（3）若，记数列的前n项和，求．
17. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）若点，过点的直线与抛物线交于，两点，且，求的面积．
18. 已知数列满足：，正项数列满足：，且．
（1）求数列、的通项公式；
（2）若，求数列的前2n项的和；
（3）记，为数列的前n项积，证明：．
19. 如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点，称点为点的“伴随点”．已知椭圆上的点的一个“伴随点”为．

（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，点与点关于轴对称．
（ⅰ）证明：直线恒过定点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的直线所过的定点为，若在直线上的射影分别为（，为不同的两点），记，，的面积分别为，求的取值范围．