2026娄底部分普通高中高二上学期2月期末考试数学含解析

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命题人：梁小建 审稿人：李跃清 考试时量：120 分钟
一､单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1. 若直线 与 互相垂直，则 （ ）
A. B. C. 4 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线垂直的充要条件列式求解.
【详解】由题意知 ，所以 .
故选：C.
2. 在等差数列 中， ，则 的公差为（ ）
A. -3 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式列式运算得解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，
所以 .
故选：B
3. 在正方体 中，则直线 与直线 所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据异面直线所成角的定义，结合正方体的性质即可求解.
【详解】在正方体中， ,
故直线 与直线 所成的角即为直线 与直线 所成的角,
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由于 ，故直线 与直线 所成的角为 ,
故选：A
4. 已知某质点 位移函数为 ，则当 时，该质点的瞬时速度为（ ）
A. -3m/s B. 3m/s C. -4m/s D. 1m/s
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数求出 的值，即可得出答案.
【详解】因为 ，则 ，故 .
当 时，该质点的瞬时速度为 .
故选：A.
5. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用裂项相消法求解即可.
【详解】由题知
.
故选：C.
6. 在正方体 中， 分别为 中点，则在正方体的八个顶点中任取两
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个顶点确定的直线中，与平面 平行的条数有（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，然后根据直线的方向向量与平面的法向量垂直，
则直线与平面垂直，逐一判断即可.
【详解】设正方体的棱长为 2，以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
所以
，所以 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，解得 ，所以 .
在正方体的 8 个顶点中任取两点，可以得到 12 条棱，12 条对角线，4 条体对角线.
欲求与平面 平行的直线，应满足直线的方向向量与平面的法向量垂直，
因为棱的方向向量分别是 ，显然与 都不垂直；
面对角线的方向向量 ，
显然 满足题意，同理可验证只有 ， ，
直线 显然都在面 外，所以满足题意，
同理体对角线 均不满足题意，
所以满足条件的直线有
故选：C
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7. 已知 ，则“ ”是“ 在 上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数的导数，将问题转化为 在 上恒成立，求出 的范围，与 进行
比较判断即可.
【详解】函数 在 上单调递增的充要条件为 在 上恒成立.
，因此需要 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
当 时， ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 .
所以“ ”是“ 在 上单调递增”的充要条件，
故选：C.
8. 已知抛物线 和 所围成封闭曲线 ，点 在曲线 上，给定点 ，则
下列说法中正确的是（ ）
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A. 存在 ，对所有点 ，均不存在 使得
B. 任意 ，恰有三对不同的点 ，满足每对点 关于点 对称
C. 存在 ，曲线 上恰有四个点满足到 的距离等于
D. 任意 ，当点 运动时，都满足
【答案】C
【解析】
【分析】首先确定两抛物线交点，根据抛物线对称轴为 轴可确定 A 错误；设 ， ，
讨论 在同一条抛物线上和分别在两条抛物线上的情况，可求得当 时，不存在三对不同的点
满足条件，知 B 错误；取 即可验证得到 C 正确；取 ， ， 可验证得到 D 错误
.
【详解】由 ，得： 或 ，即两抛物线交点为 和 ；
对于 A， 与 图象均关于 轴对称，点 在 轴上，
当 关于 轴对称时， ，A 错误；
对于 B，若 关于点 对称，则可设 ， ，
若 均在 上，则 ，解得： ；
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即当 时，存在一组关于 对称的点 和 ；
若 分别在 和 上，
不妨令 在 上， 在 上，
由 得： ，则 ，
若 ，则 ，方程组无解，此时不存在关于 对称的点 ；
当 时，不存在三对不同的点 ，满足每对点 关于点 对称，B 错误；
对于 C，当 时，到点 的距离等于 的点的轨迹为 ；
由 得： ，满足 ，
此时存在两点到点 的距离等于 ；
由 得： ，满足 ，
此时存在两点到点 的距离等于 ；
当 时，曲线 上恰有四个点满足到 的距离等于 ，
即存在 ，曲线 上恰有四个点满足到 的距离等于 ，C 正确；
对于 D，当 时， ，取 ， ，
此时 ，
此时不满足 ，D 错误.
故选：C.
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二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
9. （多选题）已知数列 的前 4 项分别为 ， ， ， ，则下列各式中，可以作为数列 的通项公
式的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】C 选项中，当 时， ，不满足题意，其余选项均满足.
【详解】对于 A， ，故 A 符合；
对于 B， ，故 B 符合；
对于 C， ，不满足题意；
对于 D， ，故 D 符合.
故选：ABD.
10. 下列式子求导正确的有（ ）
A
B
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可.
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【详解】对于 A， ，故 A 错误，
对于 B， ，故 B 正确，
对于 C， ，故 C 正确，
对于 D， ，故 D 错误.
故选：BC.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则 的夹角是钝角
B. 若 是空间的一个基底，则 也是空间的一个基底
C. 直线 经过点 ，则点 到 的距离为
D. 直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】对 A，由 ，得到 为钝角或平角判断；对 B，假设 三个向量共面，则
是否成立判断；对 C，根据 ，可得 为所求；对 D，根据 与 是否共
线判断.
【详解】对 A：由 ，所以 为钝角或平角，故 A 错误；
对 B：假设 共面，则存在 ，使得 成立.
则 ，无解，所以假设不成立，即 不共面，所以 也是空间的一个基底，
故 B 正确；
对 C：因为 ， ， ，所以
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，
所以 即为点 到 的距离，又 ，故 C 正确；
对 D：因为不存在实数 使得 ，所以 与 不共线，所以 不成立，故 D 错误.
故选：BC
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 各个表面的对角线中，与直线 异面的有__________条
【答案】6
【解析】
【详解】试题分析：根据题意，由于在正方体 ABCD—A1B1C1D1 各个表面的对角线中，与直线 既不相
交且不平行的直线中得面对角线共有 6 条，分别是在上下底面各有一条，左右各有 1 条，前后各有一条，
故可知答案为 6.
考点：异面直线的概念
点评：主要是考查了异面直线的概念的运用，利用反证法来说明是解题的关键，属于基础题．
13. 在一组互不相同的有序数组 中定义：在 的右边比其
大的数的个数称为 的“顺序数”，在 的右边比其小的数的个数称为 的“逆序数”，我们把有序数组
的 所 有 元 素 的 “顺 序 数 ”与 “逆 序 数 ”之 和 记 为 ． 则
____________________．
【答案】
【解析】
【分析】利用有序数组来计算 的“顺序数”和“逆序数”，即可求得 ，然后利用裂项相消法来
求和即可.
【详解】对于一组互不相同的有序数组 ，不妨设 ，
则可知道 的“顺序数”是 个， 的“逆序数”是 0 个，所以 的“顺序数”与“逆序数”的和为 ，
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则 ，
所以 ， ，
即 ．
故答案 ：
14. 已知点 ，点 在双曲线 上，记 的面积为 的
面积为 ，则 的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式、两点间距离公式及三角形面积公式表示出三角形面积，进而表示出三
角形面积和，结合基本不等式计算即可.
【详解】设点 ，则 .
直线 的方程： ，即 ；直线 的方程： ，即 .
， 点 到直线 的距离： ，
.
，点 到直线 的距离： ，
.
所以 .
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设 ， ，则 ， .
，当且仅当 ，即
时，等号成立.
因此 的最小值为 .
故答案为： .
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 的三个顶点是 ．求：
（1）边 的垂直平分线的方程；
（2） 的外接圆的方程．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）求出 BC 中点，由直线 BC 斜率得其垂直平分线斜率，点斜式写出方程；
（2）由待定系数法列方程组求解圆的方程.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 BC 中点坐标为 ，即 ，
又 ，所以所求直线的斜率 ，
所以所求直线方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
设 的外接圆方程为 ，
则 ，解得 ，
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所以所求圆的方程为 .
16. 等差数列 的前 项和为 ， ，其中 成等比数列，且数列 为非常数数列.
（1）求数列通项 ；
（2）设 ， 的前 项和记为 ，求证： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由已知条件列出关于公差的方程求解即可得到通项公式；
（2）由（1）求得 得到 ，利用裂项求和法求出 即可证明.
【详解】解：（1）因为 成等比数列，所以 ， 即 ，
解得 或 （舍去），所以 .
（2）由（1）知： .则
， .
【点睛】本题主要考查等比中项、等差数列的通项公式和前 项和公式以及裂项相消法求和，还考查了运
算求解的能力，属于中档题.
17. 如图，已知三棱柱 中，侧棱与底面垂直，且 ， ， ､
分别是 ､ 的中点，点 在线段 上，且 .
（1）求证： 面 ；
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（2）求平面 与平面 所成二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明即可；
（2）分别计算平面 ，平面 的一个法向量，然后使用空间向量的夹角公式计算即可.
【小问 1 详解】
以点 为坐标原点，以 所在直线分别为 轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
又 ，所以 为 中点， ，
因为 ，且易知平面 的一个法向量为 ，
，
所以 ，
所以 面 ；
【小问 2 详解】
， ，
设平面 的一个法向量为 ，
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则 ，即 ，
令 ，得 ，则 ，
又平面 的一个法向量 ，
设 为平面 与平面 所成的锐二面角，则 .
因此，平面 与平面 所成二面角的余弦值是 .
18. 在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，以线段 为直径的圆与 轴相切．
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）设 是 上横坐标为 2 的点， 的平行线 交 于 ， 两点，交曲线 在 处的切线于点 ，
求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先设 ，然后利用题里面给的条件计算即可；（2）先确定 的坐标，然后求出 的
斜率，设出 的直线方程，然后求出切线，然后利用切线方程和 的直线方程求出点 ，然后计算 ，
然后联立 ，利用韦达定理得到 ， ，再利用两点的距离公式得到 与
的长度，然后计算 ，找到和 的关系，证明结束.
【小问 1 详解】
设点 ，因为 ，
所以 的中点坐标为 ，
因为以线段 为直径的圆与 轴相切，
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所以 ，即 ，
故 ，化简得 ，
所以 的轨迹 的方程为 .
【小问 2 详解】
因为 是 上横坐标为 2 的点，所以由(1)得 ，所以直线 的斜率为 1,
因为 ，所以可设直线 的方程为 ,
由 ，得 ，得 ，则曲线 在 处的切线的斜率为 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，
联立 ，得 ，
所以 ，所以 ，
联立 ，化简得 ，有 ，解得 ，
设 ， ，则 ， ，
因为 ， ， 在 上，所以 ， ，
所 以 ， 因 为
，所以 .
19. 已知函数 ．
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（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的极值；
（3）函数 ，若 在定义域内有解，求 的范围．
【答案】（1）
（2）函数 的极大值为 ，极小值为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导研究函数得单调区间，进而根据单调区间确定函数的极值；
（3）根据题意转化为 在 内有解，进而构造函数求解最大值即可.
【小问 1 详解】
解：由题知 ，
所以 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为： .
【小问 2 详解】
解：由（1）知 ，定义域为 ，
令 得 ，
所以，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
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所以当 时，函数 有极大值 ；
当 时，函数 有极小值 .
综上，函数 的极大值为 ，极小值为
【小问 3 详解】
解：函数 ， 在定义域内有解，
故 在 内有解，
即 在 内有解，
所以 在 内有解，
所以
令
令 ， ，则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，所以 在 上的值域为 ，
令 ，则 ，
显然当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，
所以 有最大值 ，
所以 ，即 的取值范围为
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