2026娄底一中高二上学期9月月考数学试题含解析

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式得到，利用交集概念求出答案.
【详解】，
故.
故选：C
2. 直线：的倾斜角为（ ）
A. 45°B. 60°C. 120°D. 135°
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系即可求解.
【详解】因为直线的斜率为-1，所以的倾斜角为135°.
故选：D
3. 已知直线与平行，则实数a的值为
A. －1或2B. 0或2C. 2D. －1
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线平行，列方程，求的a的值.
【详解】已知两直线平行，可得a•a -（a+2）=0，即a2-a-2=0，解得a=2或-1．
经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．
∴a=-1．
故选D
【点睛】对于直线
若直线
4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用投影向量的计算公式计算即可.
【详解】向量在向量上的投影向量
故选：C
5. 已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若函数为奇函数，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移变换知识先求出的解析式，再根据三角函数的奇偶性得关于的方程即可计算求解.
【详解】由题意，
因为函数为奇函数，所以，，
又，所以当时，有最小值是.
故选：C.
6. 已知是上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分段函数是减函数，就要求每一段都是减函数，并且要把段与段之间的衔接点处理好，使得整体也是减函数.
【详解】当，是减函数，所以，即……①；
当，也是减函数，故……②；
在衔接点x=1，必须要有成立，才能保证在上是减函数，即……③，
∴由①②③取交集，得：；
故选：C.
7. 点P在直线上运动，，则的最大值是（ ）
A B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】作出点关于直线的对称点，然后利用两点距离公式求解即可.
【详解】设关于的对称点为，
则，解得，即
故,
,
当且仅当，三点共线时，等号成立.
故选：A
8. 在三棱锥中，两两垂直，且．若M为该三棱锥外接球上的一动点，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将三棱锥放入正方体中建立空间直角坐标系，表示出相关点坐标，再结合空间向量的线性运算将用三角函数表示，最后利用余弦函数的有界性求解即可.
【详解】如图，将三棱锥放置在正方体中，三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
球心为正方体对角线的交点，以为原点建立空间直角坐标系，
得到，，，，，，
设三棱锥外接球的半径为R，则，则，
故，，，
故，，，
由向量模长公式得，
而，
，
，
设，
由数量积的定义得，
所以，由余弦函数性质得当时，
取得最小值，故B正确.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.某地8月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）分别为36，32，38，34，32，88，42，36，30，32，则关于这10天中PM2.5日均值的说法正确的是（ ）.
A. 众数为32
B. 第80百分位数是38
C. 平均数是40
D. 前4天的方差比后4天的方差小
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知数据，由众数、百分数的定义判断A、B；应用均值、方差公式判断C、D.
【详解】这10天PM2.5日均值从小到大为30，32，32，32，34，36，36，38，42，88，
所以众数为32，故A正确；
由，则第80百分位数为，所以B错误；
因为平均数为，所以C正确；
因为前4天均值为，所以前4天的方差为，
因为后4天的均值为，所以后4天的方差为，故D正确.
故选：ACD
10. （多选题）已知点A(－3,－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据和到直线的距离相等，利用点和点到直线的距离公式，由求解.
【详解】因为和到直线的距离相等，由点和点到直线的距离公式，
可得，
化简得，
所以，
解得或，
故选：BC.
【点睛】本题主要考查点到直线距离，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
11. 如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD位置，连结PC，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A. PC与平面BCD所成的最大角为45°
B. 存在某个位置，使得PB⊥CD
C. 当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，PC
D. 存在某个位置，使得B到平面PDC的距离为
【答案】BC
【解析】
【分析】A，取BD的中点O，连接OP、OC，则OP＝OC．可得PC与平面BCD所成的角为∠PCO，
当PC时∠PCO＝60°＞45°，即可判断；
B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，可得PB⊂平面PBQPB⊥CD，即可判断；
C，当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，平面PBD⊥平面BCD，即可得△POC为等腰直角三角形，即可判断；
D，若B到平面PDC的距离为，则有DB平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾．
【详解】解：选项A，取BD的中点O，连接OP、OC，则OP＝OC．
由题可知，△ABD和△BCD均为等边三角形，
由对称性可知，在翻折的过程中，PC与平面BCD所成的角为∠PCO，
当PC时，△OPC为等边三角形，此时∠PCO＝60°＞45°，即选项A错误；
选项B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，有PQ⊥平面BCD，BQ⊥CD，∴PQ⊥CD，
又BQ∩PQ＝Q，BQ、PQ⊂平面PBQ，∴CD⊥平面PBQ，
∵PB⊂平面PBQ，∴PB⊥CD，即选项B正确；
选项C，当二面角P﹣BD﹣C的大小为90°时，平面PBD⊥平面BCD，
∵PB＝PD，∴OP⊥BD，
∵平面PBD∩平面BCD＝BD，∴OP⊥平面BCD，∴OP⊥OC，
又OP＝OC，∴△POC为等腰直角三角形，
∴PCOP，即选项C正确；
选项D，∵点B到PD的距离为，点B到CD的距离为，
∴若B到平面PDC的距离为，则平面PBD⊥平面PCD．平面CBD⊥平面PCD，
则有DB⊥平面PCD，即DB⊥CD，与△BCD是等边三角形矛盾．
故选：BC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知复数是纯虚数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用复数的四则运算化简，再利用复数的分类求解即可.
【详解】因为为纯虚数，
所以，则.
故答案为：.
13. 在直三棱柱中，，，为的中点.直线与直线所成角为______.
【答案】
【解析】
【分析】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成的角．
【详解】解：在直三棱柱中，，
是棱的中点，且．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
， ， ， ，， ，
设异面直线与所成的角为，
则，
，
异面直线与所成的角为．
故答案为：．
【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．
14. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______．
【答案】5
【解析】
【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.
【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线：，：，其中为实数.
（1）当时，求直线，之间的距离；
（2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可；
（2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可.
【小问1详解】
由得，解得，
此时直线：，：，不重合，
则直线，之间的距离为；
【小问2详解】
当时，：，
联立，解得，
又直线斜率为，
故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为，
即.
16. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的数量积的定义，结合三角恒等变换公式，即可求解；
（2）根据余弦定理列方程，再利用基本不等式可求最值.
【小问1详解】
由，可得，
即，
所以，
，因为，
所以，又，所以．
【小问2详解】
由余弦定理可得，
因为，所以，即，
当且仅当时，等号成立．
故△面积的最大值为．
17. 如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．
（1）以为一组基底表示向量；
（2）若，，，求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）直接利用向量的数乘运算及加减运算求解；
（2）由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解．
【小问1详解】
∵为线段的中点，∴，
∵，∴，
∴
；
【小问2详解】
．
18. 如图，四面体ABCD中，，，，E为AC的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）设，，点F在线段BD上，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）记CF与平面ABD所成角为，求的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i），（ii）
【解析】
【分析】（1）根据线线垂直可证明平面，即可由面面垂直的判定求解，
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解.
【小问1详解】
由于，
故，则，
由于E为AC的中点，所以，
因为平面，
故平面，又平面，
故平面平面.
【小问2详解】
（i）因为，
所以为边长为2的等边三角形，则，
，
，
又平面，
故平面，故建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的法向量为，
令，则，
平面的一个法向量为，
所以，
由图可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为；
（ii）设则，
所以，
则，
当且仅当时取到等号，故的最大值为
19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线l以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为．
（1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；
（2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离；
（3）（ⅰ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积；
（ⅱ）若集合．记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．
【答案】（1）
（2）
（3）（i）；（ii）.
【解析】
【分析】（1）求出直线的一个方向向量以及平面的一个法向量，利用空间向量法可求得结果；
（2）求出平面的一个法向量，以及该平面内一点的坐标，利用空间向量法可求得点到平面的距离；
（3）（i）先建立等式，然后画出所表示的面，计算所围成的图形的面积即可；（ii）因为是一个完全对称的图形，只需计算第一卦限内相邻面的二面角，我们需要画出第一卦限内图象，得到其二面角为钝角.
【小问1详解】
因为已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，
则直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
所以，，
所以，直线与平面所成角的余弦值为.
【小问2详解】
由题意可知，平面的一个法向量为，
在平面内取一点，则，
所以，点到平面的距离为.
【小问3详解】
（i）建立空间直角坐标系，分别画平面，
然后得到几何体为
几何体是底面边长为的正方形，高为的长方体，故几何体的体积为；
（ii）由（i）可知的图象是一个完全对称的图像，
所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，
此时，得，
画出第一卦限图象，
显然其二面角为钝角，计算平面得二面角，
所以两个平面的法向量分别为，
所以其二面角的余弦值为，所以二面角为.
【点睛】思路点睛：我们需要按照解析式画出平面，在空间中三点确定一个平面，可以直接找三个点即可，找到的点，最好是三个平面的交点，一般直接建立方程求解即可.