四川省宜宾市第一中学2025-2026学年高二上学期期末冲刺（三）数学试题（Word版附解析）

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1. 直线的斜率为（ ）
A. 不存在B. 0C. 3D. 1
【答案】B
【解析】
【详解】的倾斜角为，斜率,故
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由双曲线渐近线方程的求法得出答案.
【详解】由题意得，，则其渐近线方程.
故选：C.
3. 甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，则其中至少有1人击中目标的概率是（ ）
A. 0.12B. 0.56C. 0.44D. 0.88
【答案】D
【解析】
【分析】求出两人均没有击中目标的概率，再根据对立事件的概率即可求出答案.
【详解】因为甲乙两人击中目标的概率分别为0.8和0.4，
所以两人均没有击中目标的概率为，
所以至少有1人击中目标的概率是.
4. 在等比数列中，，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】设等比数列的公比为，
因为，，则，得到，
所以.
5. 已知椭圆的焦点在x轴上，直线被该椭圆截得的弦被点平分，则该椭圆的焦距为（ ）
A. B. 9C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】设直线与椭圆的交点并代入椭圆方程，通过点差法结合弦中点坐标、直线斜率求出，再利用椭圆中、、的关系计算出焦距.
【详解】设直线与椭圆的交点为，，①，②，
①－②可得，，则，
点为点，的中点，则，，
直线的斜率为，则，故，解得，经验证符合题意，
所以椭圆方程为：，即，解得，故该椭圆的焦距为．
故选：C
6. 已知直线过定点且方向向量为则点到的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出，利用空间中点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由题可得，又直线的方向向量为，
所以点到的距离为；
故选：A
7. 已知函数，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先对函数求导，再求，进而可得所求函数值.
【详解】函数，所以，，
解得，，
所以.
8. 点是直线上的动点，与圆分别相切于两点，则四边形面积的最小值为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：设，由题意，，，当垂直于直线时，最小，所以，所以．
考点：直线与圆的位置关系、点到直线的距离、最值等．
二、多选题（共3个题，每个题6分）
9. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的周长为8B. 椭圆的离心率为
C. 的最小值为D. 若，则的面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A、B和C，利用椭圆的定义、性质，即可求解；对D，根据条件，利用余弦定理求出，再由三角形面积公式，即可求解.
【详解】A，由题知，则的周长为，故A正确；
B，因为椭圆的离心率为，故B错误，
C，易知，即，当且仅当为椭圆长轴顶点时取等号，所以C正确，
D，在中，由余弦定理得，
所以，得到，
所以的面积为，故D正确.
10. 等差数列中，为的前n项和，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，且，则取得最大值时，或
D. 必为等差数列
【答案】AD
【解析】
【分析】根据等差数列的性质即可判断A；根据等差数列前项和公式即可判断B；由，且，得出及时的范围，即可判断C；根据等差数列前项和公式结合等差数列的定义即可判断D.
【详解】对于A，在等差数列中，
因为，所以，则，
则，故A正确；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，设公差为，
由，得，
则，又因，所以，
则当时，，当时，，
所以当或时，取得最大值，故C错误；
对于D，，
则，
因为，所以必为等差数列，故D正确.
故选：AD.
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点是棱的中点，则以下结论正确的是（ ）

A. 三棱锥的体积是定值
B. 存在点，使得平面
C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D. 若平面，则点的轨迹长度为
【答案】ACD
【解析】
【分析】由等体积法可判断A，建系，由向量法逐项判断BCD.
【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
是定值，A正确；
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
对于B，设，则，
若存在点，使得平面，则，
解得：不符合，故不存在点，使得平面，故B错误，
对于C，，易知平面一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则，
因为，所以，
所以，所以，
即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故C正确；
对于D， ，
则，
所以，又平面，
所以平面，若平面，则，
即，即，则，
即，如下图：取正方体的上底面，建立平面直角坐标系，
设直线与交于，线段（不包括端点）即为点的轨迹，
由直线方程为，直线方程为，可得，则

故D正确，
故选：ACD
三、填空题（共三个题，每个题5分）
12. 已知直线，若，则a的值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据两直线平行的条件列式求解，即可得答案.
【详解】由题意直线，，，
得且，
即且
解得.
13. 已知数列的前n项和为，满足，则________．
【答案】243
【解析】
【详解】令，得，得，
由，当时，，
两式相减得，，即，
即，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以.
14. 被誉为“数学之神”的阿基米德（前287—前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二．这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，已知直线：y＝8与抛物线C：交于A，B两点，则弦与抛物线C所围成的封闭图形的面积为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】首先根据导数的几何意义求点处的切线方程，再根据阿基米德定理求面积.
【详解】首先得到弦的两个端点的坐标分别为，，
，，，
该两点处的抛物线的切线方程分别为，，联立两条切线求得交点坐标为，
从而抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为，
故弦与抛物线C所围成的封闭图形的面积为．
故答案为：
四、解答题
15. 一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小和质地完全相同的小球.
（1）从盒中任取两球，求“取出的两球编号之和大于5”的概率；
（2）从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，求事件“”发生的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用列举法，以及古典概率公式，即可求解；
（2）首先求样本空间，再列举基本事件个数，结合古典概型概率公式，即可求解
【小问1详解】
从盒中任取两球的所有等可能基本事件有：
，，，，，，共6个，
记取出的两球编号之和大于5的事件为，
则事件包含，，共2个等可能基本事件
所以；
所以取出的两球编号之和大于5的概率为.
【小问2详解】
有放回地连续抽取两球的所有等可能基本事件有：
，，，，，，，，，，，，，，，共16个，
记的事件为，
则事件包含，，，，，，，，，共10个等可能基本事件，
所以，
所以事件“”发生概率为.
16. 已知函数
（1）若，求函数在原点处的切线方程；
（2）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式即可求出答案；
（2）不等式可化为，求出函数在上的最小值即可求出答案.
【小问1详解】
当时，，
，所以，
即函数在原点处的切线斜率为，
所以函数在原点处的切线方程为.
【小问2详解】
函数的定义域为，
，
不等式即，即，
令，
当时，函数在上单调递减，
所以当时，函数取得最小值，
所以，即实数的取值范围为.
17. 如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角为60°，如图2，M为CD的中点．
（1）求三棱锥的体积．
（2）求平面MAB和平面DAB所成角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，再由平面，得到，利用等体积法计算即可得出结果；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
在图1中的等腰直角中，为的中点，可得，
所以在图2中，可得，
因为，且平面，所以平面，
所以是二面角的平面角，即，
所以为等边三角形，所以.
所以.
【小问2详解】
以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
所以，
所以平面和平面所成角的余弦值为.
18. 已知数列是单调递增的等差数列，数列为等比数列，且，是和的等差中项，是和的等比中项．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若为数列的前n项和，求证：．
（3）是数列的前n项和，若，证明．
【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）分别求出两数列的公差和公比即可求解；
（2）由错位相减法即可计算求证；
（2）求出，由裂项相消法即可计算求证.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
则由题意可得即，
所以（舍去）或，
所以；
【小问2详解】
证明：由（1）可得，
所以
所以，
所以
，
所以，
【小问3详解】
证明：由（1）得，
所以时，
时
.
19. 已知平面上动点到定点的距离与点D到直线的距离比为．动点D的轨迹为曲线E
（1）求曲线E的方程；
（2）已知点P为直线上任一点，过点P作曲线E的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，过曲线E的右顶点Q作垂直于x轴的直线与直线PA，PB分别交于M，N两点，点M，N的纵坐标分别为m，n．求mn的值．并求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据动点所满足的条件直接可得曲线的方程；
（2）先设切点，进而可得切点连线的方程为，结合根与系数的关系可得故，再用基本不等式可得最小值.
【小问1详解】
根据题意，动点满足：,​​ 两边平方整理得： ,
展开化简得：，即 .所以曲线E的方程为.
【小问2详解】
设，切点，因为双曲线过切点的切线方程为，
因此： 切线：​，切线：.
因为在两条切线上，代入得，，故直线的方程为.所以直线过定点.
将代入双曲线方程，整理得关于的二次方程： ,
由韦达定理：,.如图：
右顶点，过垂直轴的直线为​，代入切线方程得： ​，
所以
代入韦达定理得：
因为，，故，
由均值不等式： ,
当且仅当时等号成立，代入，解得时等号成立，
因此的最小值为.
【点睛】