四川省宜宾市兴文第二中学校2023-2024学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省宜宾市兴文第二中学校2023-2024学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合集合交、并、补的基本运算计算即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：D
2. 如果，那么下列不等式中正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据特殊值排除选项A、B、C；根据不等式的基本性质判断选项D.
【详解】当时，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，所以，即，则，故D正确.
故选：D.
3. 已知，都是实数，那么“”是“”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】通过举反例说明由前者推不出后者,由后者也推不出前者,利用充分条件、必要条件的定义得到结论.
【详解】若“”成立推不出“”成立,例如
满足“”但不满足“”
反之,若“”成立,也推不出“”成立,例如
满足“”但不满足“”
所以“”是“”的既不充分也不必要条件
故选D.
【点睛】判断一个条件是另一个条件的什么条件,应该先化简各个条件,再利用充分条件、必要条件的定义加以判断.
4. 若角为第四象限角，且，则（ ）
A B. C. 2D. -2
【答案】D
【解析】
【分析】根据角是第四象限的角，，利用平方关系得到，然后再利用诱导公式求解.
【详解】∵角是第四象限的角，，
∴，
∴.
故选：D.
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式和诱导公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5. 若且，则的最小值为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意取值条件.
【详解】由题设，，
当且仅当，即时等号成立.
故选：C
6. 塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达200~400年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委、生态环境部等9部门联合发布《关于扎实推进污染物治理工作的通知》明确指出，2021年1月1日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过（ ）年，其残留量为初始量的10%.（参考数据：，）
A. 20B. 16C. 12D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】由，解方程即可.
【详解】依题意有时，，则，
当时，有，，
.
故选：B
7. 设，且1是关于的一元二次方程的一个实根，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由题意得到，再结合，从而关于的不等式组，再分析的正负，从而得解.
【详解】因为1是一元二次方程的一个实根，则，
所以有，则，
又，所以，
即，则，
又因为，所以，即，所以，
则不等式等价为，即，则；
所以的取值范围为，即.
故选：A.
8. 已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，.当时，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由及函数是定义在上的偶函数可得周期为2，即可求解.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且对任意，，
所以，
所以，
即函数的周期为，
故，
由时，得：，
令，由得：，
所以
故选：D
【点睛】本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，考查了推理计算能力，属于中档题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知集合，，则（ ）
A. 0不可能属于BB. 集合可能是
C. 集合不可能是D. 集合
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题可得，然后根据集合的关系及集合元素的特点进行逐一判断即可．
【详解】∵，∴，故D正确．
∵集合，
∵，∴集合可能是，故B正确；
∵，∴集合不可能是，故C正确；
∵，∴0可能属于集合，故A错误.
故选：BCD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 是奇函数B. 的最小正周期为π
C. 的图象关于点对称D. 在上是增函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用诱导公式整理可得，结合正弦函数性质逐项分析判断.
【详解】∵，
对于A：∵，
故是奇函数，A正确；
对B：的最小正周期为，B正确；
对C：，
故点不是的对称中心，C错误；
对D：∵，则，且在上是增函数，
∴在上是增函数，D正确；
故选：ABD.
11. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（ ）
A. 的值域为B. 的定义域为
C. 为周期函数D. 为偶函数
【答案】BCD
【解析】
【分析】由所给定义求出函数定义域与值域，即可判断A、B，根据周期性的定义判断C，根据偶函数的定义判断D.
【详解】因为，所以的值域为，定义域为，故A错误，B正确；
对于任何一个非零有理数，若为有理数，则也为有理数，
则，
若为无理数，则也为无理数，则，
即任何一个非零有理数都是函数的周期，即为周期函数，故C正确；
当为有理数时，为有理数，则，
当为无理数时，为无理数，则，
故为偶函数，故D正确；
故选：BCD
12. 若，则下列不正确是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】构造函数，利用单调性可得，据此可判断AB，根据与1大小不确定，可判断CD.
【详解】,
令，
因为在为增函数，
所以为增函数，
因为，即，
故，则，
所以，则，故A错B对；
因为，不能确定与1的大小关系，故CD错误.
故选：ACD
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知角的始边与轴正半轴重合，终边在射线上，则__________．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】对于角终边上取一点，由三角函数的一般定义，可得的值
【详解】在角终边上取点，由三角函数的一般定义得，所以.
故答案为：．
14. 已知函数，若，则_______．
【答案】9
【解析】
【分析】对函数值进行分段考虑，代值计算即可求得结果.
【详解】当时，则，则不成立
当时，则，则成立
∴
故答案为：9.
15. 函数落在区间上的所有零点之和为______.
【答案】2
【解析】
【分析】将问题转化为函数与的图象在上的所有交点的横坐标和，根据两函数图象都关于对称，即可由对称的性质得出横坐标和.
【详解】函数落在区间上的所有零点
等价于函数与的图象在上的所有交点的横坐标，
在同一平面直角坐标系中作出与的图象如下：
由图知两函数图象在上有两个交点，设其横坐标为
因为点即是函数的图象的对称中心，也是的图象的对称中心，
所以，即，
则函数落在区间上的所有零点之和为2，
故答案为：2.
16. 已知奇函数在定义域上是减函数，且，则实数m的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知奇函数是定义在上的减函数,我们可以将不等式,转化为一个关于m的不等式组，解不等式组，即可得到实数m的取值范围.
【详解】因为奇函数是定义在上的减函数,
所以不等式可转化为:
可得
解得:
故答案为: .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 化简与求值：
（1）计算；
（2）已知，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据对数的运算法则及对数恒等式即可求出答案；
（2）利用平方法根据，可求出，，从而可求出答案.
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
因为，所以两边平方，得，
因为，，所以，
所以原式.
18. 设集合,.
(1)若,求;
(2)若,求的取值范围，
【答案】(1)；(2) 或.
【解析】
【分析】（1）求解指数不等式化简集合A，代入m=3求得B,再求并集和补集
（2）对集合B分类讨论，当B为空集时满足题意，求出m的范围，当B≠∅时，由两集合端点值间的关系列不等式求解．
【详解】（1），当时，，
∴,∴.
（2）若，则，即，;
若，即时，要使，则,解得,
综上可得或.
【点睛】本题考查子集与真子集，考查了集合的包含关系及其应用，训练了指数不等式的解法，是中档题．
19. 已知幂函数为偶函数．
（1）求的解析式；
（2）若，求函数在区间上的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数为幂函数可得出实数的值，结合函数为偶函数可得出的值，由此可得出函数的解析式；
（2）利用二次函数的单调性可求得函数在上的值域.
【小问1详解】
解：因为函数为幂函数，则，解得或.
当时，函数为奇函数，不合乎题意；
当时，函数为偶函数，合乎题意.
综上所述，.
【小问2详解】
解：由（1）可得，
所以函数在上为减函数，在上为增函数，
所以，，.
因此，函数在区间上的值域为.
20. 已知函数（，，）的最大值为，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
（1）求的解析式；
（2）求的单调递增区间．
条件①：的最小正周期为；
条件②：.
注：如果选择的条件不符合要求，本题得分．
【答案】（1）
（2）（）．
【解析】
【分析】（1）选择合适的条件分别求解即可得的解析式；
（2）根据正弦函数的单调性整体法代入求解即可得求的单调递增区间．
【小问1详解】
选条件①：因为的最小正周期为，所以.
又，所以．
因为的最大值为，所以.
又，所以．所以.
因为，所以.
又，所以．
所以．
选择条件②：因为的最大值为，所以.
又，所以．所以.
又，则，又，故不符合题意；
【小问2详解】
因为函数的单调递增区间为（）．
所以由（），得（）．
所以的单调递增区间为（）．
21. 某森林出现火灾，火势正以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到警报后立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁森林损失费为60元.
（1）设派名消防员前去救火，用分钟将火扑灭，试建立与的函数关系式，并求出的取值范围；
（2）问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？（总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备费用＋森林损失费）
【答案】21. 与的函数关系式为，的取值范围为
22. 27
【解析】
【分析】（1）根据题意可直接得出，从而可求出的取值范围；
（2）根据题意得到，再利用基本不等式即可求出结果.
【小问1详解】
由题意知，，即，
易知，所以与的函数关系式为，的取值范围为.
【小问2详解】
设总损失为，则，
当且仅当，即时，有最小值
所以应该派27名消防队员前去救火，才能使总损失最少.
22. 已知函数，.
（1）若函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（2）若函数在区间上单调递减，求a的最小值；
（3）若，对任意均有，求实数m的取值范围.
【答案】（1）
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）求出函数的定义域，有两个不同的零点，即关于x的方程有两个不等的实根，即关于x的方程在函数的定义域内有两个不等实根，列出不等式组，解之即可得解；
（2）设对任意的，，且，利用作差法，根据函数在区间上单调递减，，分离参数即可得出答案；
（3）由（2）得当时，在上单调递减，所以，分，两种情况讨论，从而可得出答案.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，
因为有两个不同的零点，所以关于x的方程有两个不等的实根，所以，
因为关于x的方程有两个大于的不等实根，
所以，，解得；
【小问2详解】
解：设对任意的，，且，
.
因为在上单调递减，所以，
又因为，所以，
所以恒成立，
因为，
所以，，
所以，
因此a的最小值是1；
【小问3详解】
解：由（2）得当时，在上单调递减，所以，
即当时，，
当时，
设，
由，得，
①当时，在上单调递增，
所以成立，
②当时，，
因为二次函数的对称轴，
所以在上单调递增，
所以，当时，，
所以成立，
综上，实数m的取值范围是.