【数学】辽宁铁岭市2025-2026学年高二下学期3月质量检测试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知数列的前4项为1，2，5，12，则的通项公式可以是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 设随机变量，若，则（ ）
A. 1B. 0C. D. -1
4. 已知双曲线的实轴长为10，则该双曲线的离心率（ ）
A. B. C. D.
5. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. 7B. 15C. 30D. 65
6. 在圆锥中，是底面圆的直径，为线段上的一点，且是的中点，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 某社区组织文化活动，现有书法艺术展示､传统戏曲表演､民间手工艺制作､古典诗词朗诵､现代音乐赏析这5个文化活动项目.社区安排6名志愿者负责这5个项目的活动组织，若每个项目的活动都至少有1名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中1个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知抛物线，为它的焦点，过的直线交抛物线于两点，过两点分别作垂直于准线的直线，垂足分别为，其中，，则值为（ ）
A. B. C. D. 6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知变量x和y满足经验回归方程，且变量x和y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是（ ）
A. m＝5B. 当x＝13时，
C. 变量x和y呈负相关D. 该经验回归直线必过点（9,5）
10. 在平行六面体中，，点是上靠近的三等分点，设，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知点，动点满足，记点的轨迹为曲线.点，直线，则（ ）
A. 曲线的方程为
B. 当最小时，
C. 当最大时，
D. 若曲线上仅有一点到直线的距离为2，则的值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，，则的余弦值是__________.
13. 进入冬季，流感在很多地区爆发.某市医疗部门统计该市的，两个区分别有，的人患了流感，已知，两区的人口数的比为，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自区的概率为______.
14. 已知点是椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一个动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列是等差数列，且，．
（1）求通项公式；
（2）记的前项和为，求的最小值．
16. 某学校每天中午都将学校阅览室提供给中午不出校园的学生自习，并且安排有关的老师在阅览室值班．学校的食堂每天中午为不出校园的学生提供午餐，午餐分为、两种套餐，每个学生可以选择其中一种套餐，套餐素菜多，套餐荤菜多．
（1）本学期食堂对套餐的菜品种类与品质等方面进行了进一步的改善，学校为了解就餐的学生对于改善前后的套餐的满意度，对就餐的学生进行了调查，并从中随机抽取了名就餐学生对于套餐的满意度的数据，如下表（单位：人）：
根据表中数据判断是否有把握认为学生对于套餐的满意度与套餐的改善有关联？
（2）若套餐拟提供种品类的素菜，（是不小于的正整数）种品类的荤菜，供就餐的学生自由选择其中的种菜品，记学生小李选择两个荤菜两个素菜的事件为，求的最大值，并求此时的值．
参考数据：，其中．
17. 如图，在菱形中，，是线段的中点，将沿折起到的位置．
（1）若，证明：平面平面；
（2）若二面角是，求点到平面的距离．
18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，点在上，直线与交于两点．
（1）求的方程；
（2）若线段中点坐标为，求直线的方程；
（3）若为的左顶点，直线过的右焦点，，都在的右支上，的面积为，为坐标原点，求．
19. 2025年12月10日和11日，中央经济工作会议在北京召开.会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”.为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满500元可抽奖一次，抽奖方案有以下两种（顾客只能选择其中的一种）.
方案1：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，有放回地依次摸出3个球.每摸出1次红球，优惠100元，若3次都摸到红球，则额外再优惠100元（即总共优惠400元）；
方案2：从装有4个红球，3个蓝球（形状、大小完全相同）的抽奖盒中，不放回地依次摸出3个球.中奖规则为：若摸出3个红球，享受免单优惠；若摸出2个红球，则享受打5折优惠；其余情况无优惠.
（1）已知顾客选择抽奖方案2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率；
（2）已知顾客恰好消费了500元，
（i）若他选择抽奖方案1，求顾客所获得的优惠金额的分布列和期望（结果精确到整数位）；
（ii）试从顾客所获得的优惠金额的期望值分析顾客选择何种抽奖方案更合理.
x
5
6
9
12
y
8
7
m
24
套餐改善后
套餐改善前
合计
满意
不满意
合计