【数学】辽宁省铁岭市2025-2026学年高二上学期期末质量监测试题（学生版+解析版）

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 下列是离散型随机变量的是（ ）
A. 车载大灯的使用寿命X1
B. 从1至4这4个数字随机抽取一个数字，记抽出数字1的次数为X2
C. 某次物理实验测量所得的实验误差X3
D. 某培养皿上细菌个数X4
2. 若服从两点分布，且，则（ ）
A. B. C. D.
3. 直线与圆的公共点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
4. 已知平面，的法向量分别为，，若，则k=（ ）
A. B. C. D.
5. 已知抛物线的焦点为F，，点P在抛物线上，则的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
6. 已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，若l与所成角的正弦值为，则（ ）
A B. C. 2D. 4
7. 已知双曲线的右焦点为，右顶点为，一条渐近线为，过点作的垂线，垂足为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆的左焦点为F，以F为圆心，为半径的圆与E交于M，N两点，若，则E的离心率为（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知双曲线E：（，）的渐近线方程为，其焦点分别为F1，F2，点P在E上，则（ ）
A.
B. E的离心率为
C. 当时，F1到渐近线的距离为4
D. 当时，
10. 已知空间向量，，，则（ ）
A. B. 当时，
C. D.
11. 已知函数，其展开式中x项的系数为，则（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 其展开式中所有项的系数之和为
D. 当，时，
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 圆：与圆：的公切线条数为________.
13. 将小明，小红等5人分成A，B，C三组，要求小明与小红一组，且每组至少有一人，则不同的分法总数为________.
14. 某工厂有甲、乙两个批次零件，某次破坏性检查中按比例分层抽样的结果如下：批次甲共50个零件，抽样后的一级品与二级品各2个；批次乙抽样后的一级品为2个，二级品数量未知.（两个批次的零件只有一级品和二级品）若在复查过程中，从为此次检查抽取的甲、乙两个批次的样本中各随机抽取2个零件进行检测，且至少检测到2个一级品的概率为0.75，则批次乙的总零件个数为________.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 某公司招募了A、B两位员工完成对应工作，且A，B两位员工必定至少有一位完成工作，已知A员工完成工作的概率为0.5，B员工完成工作的概率为0.8.
（1）求A，B两位员工均能完成工作概率；
（2）证明：事件“A员工完成工作”与“B员工完成工作”不相互独立；
（3）求在B员工完成工作的前提下，A员工也完成工作的概率.
16. 如图，为圆柱的母线，为圆柱的底面直径，点在底面圆周上（不与重合），为中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
17. 已知抛物线E：的焦点为，其上两点P，Q满足.
（1）求E方程；
（2）若PQ的斜率为1，求其与x轴的交点坐标；
（3）求PQ与x轴交点横坐标的最大值，并求当取得最大值时△PQF的面积.
18. 现有一口袋内有4个黑球，3个白球和2个灰球，这些球除颜色外完全相同，现随机抽取球并进行记录，每次只抽取一个球.
（1）若抽完球记录后放回口袋，进行n次抽取（），求摸到黑球的次数不超过次的概率；
（2）若抽完球记录后不放回口袋.
（ⅰ）若抽完所有球时抽取结束，求第二次抽到灰球且第三次抽到黑球的概率；
（ⅱ）若当抽到灰球时抽取结束，记抽取次数为X，求X的分布列.
19. 在直角坐标系xOy中，，点P到l：的距离为，记P的轨迹为E.
（1）求E的方程；
（2）已知l与x轴交于点T，过点F的直线与E交于A，B两点，点M，N满足，，直线MN与E交于C，D两点.
（ⅰ）证明：直线CD过定点；
（ⅱ）若直线AB斜率存在且不为0，记AT，BT，AB的斜率分别为，，k，证明：是定值.