九年级下学期数学同步提升训练——相似单元检测题（含答案）

这是一份九年级下学期数学同步提升训练——相似单元检测题（含答案），共61页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A．·B．点C、点O、点三点在同一直线上
C．D．
2．如图，D、E是AB的三等分点，DF∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=（ ）
A．1：2：3B．1：2：4C．1：3：5D．2：3：4
3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺
4．如图，△ABC中AB两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．已知≠0且a+b﹣2c＝9，则a的值为（ ）
A．3B．12C．15D．18
6．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点E，若AB＝4，BM＝2，则△DEF的面积为（ ）
A．9B．8C．15D．14.5
7．如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠D＝∠BB．∠E＝∠CC．D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（ ）
A．B．2C．2D．3
9．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC=∠AED=90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD=2BE；③MP•MD=MA•ME；④2CB2=CP•CM．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②③④D．①③④
10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=3，AD=4，BC=，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
11．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF＝AE，其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②③④
12．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，边长为2的正方形的边，分别在轴，轴上，点在第一象限，正方形绕点逆时针旋转，的对应边恰好落在直线上，则的值为（ ）
A．B．C．5D．6
13．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③MD=2AM=4EM；④AM=MF．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
14．如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点(与B、C不重合)，连结AE，作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F，设BE＝x，△ECF的面积为y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
15．如图，在中，．点是的中点，连结，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连结．给出以下四个结论：①；②点是的中点；③；④，其中正确的个数是( )
A．4B．3C．2D．1
二、填空题
16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝6，AD＝1，BC＝2，P为AB边上的动点，当△PAD与△PBC相似时，PA＝_____．
17．如图，在直角坐标系中，点，点，过点的直线垂直于线段，点是直线上在第一象限内的一动点，过点作轴，垂足为，把沿翻折，使点落在点处，若以，，为顶点的三角形与△ABP相似，则满足此条件的点的坐标为__________．
18．如图，AG∥BC，如果AF：FB＝3：5，BC：CD＝3：2，那么AE：EC＝_____．
19．若，则＝___________．
20．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则______．
21．已知，如图，中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝1∶2∶3，若EG＝3，则AC＝___．
22．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为________
23．如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，若AB＝2，CD＝3，则EF＝_____．
24．如图，△ABC是边长为2的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作；取中点，作∥，∥，得到四边形，它的面积记作．照此规律作下去，则=____________________ .
25．如图，已知O是△ABC中BC边的中点，且，则＝________．
26．如图，面积为1的等腰直角△OA1A2，∠OA2A1=90°，且OA2为斜边在△OA1A2外作等腰直角△OA2A3，以OA3为斜边在△OA2A3外作等腰直角△OA3A4，以OA4为斜边在△OA3A4外作等腰直角△OA4A5，…连接A1A3，A3A5，A5A7，…分别与OA2，OA4，OA6，…交于点B1，B2，B3，…按此规律继续下去，记△OB1A3的面积为S1，△OB2A5的面积为S2，△OB3A7的面积为S3，…△OBnA2n+1的面积为Sn，则Sn=__（用含正整数n的式子表示）．
27．如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AD、BE、CF相交于点O，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则DE＝_____，OA＝_____，OF＝_____，∠DEF＝∠_____．
28．如图，在三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm．点P从A沿AB以1厘米/秒的速度移动，点Q从C沿CA以2厘米/秒的速度向A移动．如果两点同时出发，经过_____秒后，△APQ与△ABC相似．
29．如图，为斜边中点，，，，在边上，，若与相似，则___.
30．如图，中，已知是的中点，则________
三、解答题
31．如图，在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点．．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的值．
32．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．
33．如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，，且∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：△AEF∽△BFC．
34．如图，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AE·AB＝AD·AC，连接DE，BD.
（1）求证：ADE~ABC.
（2）若点E为AB为中点，AD：AE＝6：5，ABC的面积为50，求BCD面积.
35．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE
（1）求证：△BDE∽△BCA；
（2）如果AE=AC，求证：AC2=AD•AB．
36．如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒2的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，设运动时间为()，连接．
（1）若，求的值；
（2）若与相似，求的值；
（3）当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值．
37．在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上，且是和的比例中项．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当点在线段之间，联结，且与互相垂直，求的长；
（3）联结，如果与以点、、为顶点所组成的三角形相似，求的长．
38．（1）问题 ：如图1，在四边形中，点为上一点，∠=∠=∠=90°，求证：．
（2）探究：如图2，在四边形中，点为上一点，当∠=∠=∠时，上述结论是否依然成立？说明理由．
39．如图，已知平行四边形中，，，，点在射线上，过点作，垂足为点，交射线于点，交射线于点，联结，设.
（1）当点在边上时，
①求的面积；（用含的代数式表示）
②当时，求的值；
（2）当点在边的延长线上时，如果与相似，求的值.
40．如图，在平面直角坐标系xy中，直线与x 轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
相似单元检测
一、单选题
1．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ）
A．·B．点C、点O、点三点在同一直线上
C．D．
【答案】C
【分析】
根据位似的性质解答即可．
【详解】
解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大为原图形的2倍得到△A′B′C′，
∴与是位似三角形，
∴，点C、点O、点三点在同一直线上，，故A、B、D正确；
∵△AOB∽△A′OB′，
∴OA：OA′=AB：A′B′=1：2，
∴OA：AA′=1：3，故C错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，位似变换的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过位似中心；对应边平行．
2．如图，D、E是AB的三等分点，DF∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=（ ）
A．1：2：3B．1：2：4C．1：3：5D．2：3：4
【答案】C
【分析】
根据平行线分线段成比例的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方进行计算可得解.
【详解】
∵D、E是AB的三等分点，且DF∥EG∥BC，
∴△ADF∽△AEG，
∴，
∴，即S1：S2=1：3，
∴
同理，
∴S1：S3=1：5，
∴S1：S2：S3=1：3：5，
故选C
考点：平行线分线段成比例；相似三角形的性质．
3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺
【答案】B
【分析】
根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】
设竹竿的长度为x尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，
∴，
解得x=45（尺），
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
4．如图，△ABC中AB两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．
【详解】
设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（﹣1﹣x）＝a+1，
解得x＝﹣（a+3），
故选：D．
【点睛】
本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
5．已知≠0且a+b﹣2c＝9，则a的值为（ ）
A．3B．12C．15D．18
【答案】D
【分析】
利用已知用同一未知数表示出a，b，c的值，进而计算得出答案．
【详解】
解：∵≠0，
∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，
∵a+b﹣2c＝9，
∴6x+5x﹣8x＝9，
解得：x＝3，
故a＝18．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
6．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点E，若AB＝4，BM＝2，则△DEF的面积为（ ）
A．9B．8C．15D．14.5
【答案】A
【分析】
由勾股定理可求AM的长，通过证明△ABM∽△EMA，可求AE=10，可得DE=6，由平行线分线段成比例可求DF的长，即可求解．
【详解】
解：∵AB＝4，BM＝2，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B＝∠C＝90°，
∴∠EAM＝∠AMB，且∠B＝∠AME＝90°，
∴△ABM∽△EMA，
∴
∴
∴AE＝10，
∴DE＝AE﹣AD＝6，
∵AD∥BC，即DE∥MC，
∴△DEF∽△CMF，
∴，
∴＝3，
∵DF+CF＝4，
∴DF＝3，
∴S△DEF＝DE×DF＝9，
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理；熟练掌握相似三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.
7．如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠D＝∠BB．∠E＝∠CC．D．
【答案】D
【分析】
根据∠1＝∠2，可知∠DAE＝∠BAC，因此只要再找一组角或一组对应边成比例即可．
【详解】
解：A和B符合有两组角对应相等的两个三角形相似；
C、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；
D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似．
故选D．
【点睛】
考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′．设点Q运动的时间为t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为（ ）
A．B．2C．2D．3
【答案】B
【分析】
首先连接PP′交BC于O，根据菱形的性质可得PP′⊥CQ，可证出PO∥AC，根据平行线分线段成比例可得，再表示出AP、AB、CO的长，代入比例式可以算出t的值．
【详解】
解：连接PP′交BC于O，
∵若四边形QPCP′为菱形，
∴PP′⊥QC，
∴∠POQ=90°，
∵∠ACB=90°，
∴PO∥AC，
∴
∵设点Q运动的时间为t秒，
∴AP=t，QB=t，
∴QC=6-t，
∴CO=3-，
∵AC=CB=6，∠ACB=90°，
∴AB=6，
∴
解得：t=2，
故选B．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例；等腰直角三角形及菱形的性质．
9．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，其中∠ABC=∠AED=90°，CD与BE、AE分别交于点P、M．对于下列结论：①△CAM∽△DEM；②CD=2BE；③MP•MD=MA•ME；④2CB2=CP•CM．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②③④D．①③④
【答案】D
【分析】
①求出∠CAM=∠DEM=90°，根据相似三角形的判定推出即可；
②求出△BAE∽△CAD，得出比例式，把AC=AB代入，即可求出答案；
③通过等积式倒推可知，证明△PME∽△AMD即可；
④2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．
【详解】
∵在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，∠ABC=∠AED=90°，
∴∠BAC=45°，∠EAD=45°，
∴∠CAE=180°-45°-45°=90°，
即∠CAM=∠DEM=90°，
∵∠CMA=∠DME，
∴△CAM∽△DEM，故①正确；
由已知：AC=AB，AD=AE，
∴，
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD，
∴，即，即CD=BE，故②错误；
∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA=∠CDA
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴，
∴MP•MD=MA•ME，故③正确；
由②MP•MD=MA•ME
∠PMA=∠DME
∴△PMA∽△EMD
∴∠APD=∠AED=90°
∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°
∴△CAP∽△CMA
∴AC2=CP•CM
∵AC=AB，
∴2CB2=CP•CM，故④正确；
即正确的为：①③④，
故选D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形等知识点，在等积式和比例式的证明中应注意采用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．
10．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=3，AD=4，BC=，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分两种情况：（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离不变，恒为4；（2）当点P在BC上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出△PAB∽△ADE，即可得出y（3＜x≤6），据此判断出y关于x的函数大致图象是哪个即可．
【详解】
根据题意，分两种情况讨论：
（1）当点P在AB上移动时，点D到直线PA的距离为：y=DA=4（0≤x≤3），即点D到PA的距离为AD的长度，是定值4；
（2）当点P在BC上移动时．△ADP的面积不变，
为
又∵
∴y（3＜x≤6）．
综上，纵观各选项，只有D选项图形符合．
故选D．
【点睛】
本题考查了动点问题函数图象，关键是利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．
11．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF＝AE，其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．②③D．②③④
【答案】D
【分析】
首先证明，推出，再证明，可得②③正确，利用直角三角形斜边中线的性质即可判断④正确.
【详解】
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确，
，，
，，
，
，
，
，
，
，故③正确；
在中，，，
，
，
，
，
，
，故④正确；
，
，
无法判断，故①错误.
故选.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
12．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，边长为2的正方形的边，分别在轴，轴上，点在第一象限，正方形绕点逆时针旋转，的对应边恰好落在直线上，则的值为（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
连接GB并延长交x轴于点D，过点D作DM⊥GH于点M..利用角平分线的判定定理易证GD平分∠OGH，再根据角平分线的性质证明DO=DM，根据直线解析式解得OG=b=MG，OH=b，由勾股定理得GH=b，因为CB∥OD，所以△GCB∽△GOD，根据相似三角形的性质可得：，即，解得OD==DM， 再证明△HDM∽△HGO，所以，即，解得：b1=0（舍去），b2=5。
【详解】
解：连接GB并延长交x轴于点D，过点D作DM⊥GH于点M..
∵BC⊥OG于点C，BA′⊥GH于点A′,BC=BA′=2，DO⊥OG于点O，DM⊥GH于点M，(易证M与O′重合)
∴GD平分∠OGH，DO=DM，
又∵GD=GD，
∴Rt△GOD≌Rt△GMD(HL)
∴OG=MG
∵直线与轴，轴分别交于，两点，
∴OG=b=MG，OH=b，由勾股定理得GH=b，
∴MH=GH- MG=b，
∵CB∥OD，
∴△GCB∽△GOD
∴，即，解得OD==DM，
易证△HDM∽△HGO，
∴，即，解得：b1=0（舍去），b2=5，
故选：C.
【点睛】
本题考查一次函数的图形性质，勾股定理，相似三角形判定定理和性质定理，解题关键是熟练掌握相似三角形判定定理和性质定理.
13．如图，已知E、F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③MD=2AM=4EM；④AM=MF．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根据中点定义求出AE=BF，然后利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，从而求出∠AMD=90°，再根据邻补角的定义可得∠AME=90°，从而判断①正确；根据中线的定义判断出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判断出②错误；根据直角三角形的性质判断出△AED、△MAD、△MEA三个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例可得，然后求出MD=2AM=4EM，判断出③正确，设正方形ABCD的边长为2a，利用勾股定理列式求出AF，再根据相似三角形对应边成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=
MF，判断出④正确.
【详解】
解：在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
∵E、F分别为边AB，BC的中点，
在△ABF和△DAE中，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF）=180°-90°=90°，
∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正确；
∵DE是△ABD的中线，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；
∵∠BAD=90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴
∴AM=2EM，MD=2AM，
∴MD=2AM=4EM，故③正确；
设正方形ABCD的边长为2a，则BF=a，
在Rt△ABF中，
∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，
∴△AME∽△ABF，
即
，故④正确
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，勾股定理逆定理的应用，综合性较强，难度较大，仔细分析图形并作出辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键．
14．如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点(与B、C不重合)，连结AE，作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F，设BE＝x，△ECF的面积为y，下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：如图，过点E作EH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCH=90°.
∵CE平分∠DCH，∴∠ECH=∠DCH=45°.
∵∠H=90°，∴∠ECH=∠CEH=45°．∴EH=CH.
∵四边形ABCD是正方形，AP⊥EP，∴∠B=∠H=∠APE=90°.
∴∠BAP+∠APB=90°，∠APB+∠EPH=90°．∴∠BAP=∠EPH.
∵∠B=∠H=90°，∴△BAP∽△HPE． ∴，即．∴EH=x.
∴，它的图象是抛物线的一部分.
故选B．
考点：1.单动点问题；2.由实际问题列函数关系式；3.正方形的性质；4.相似三角形的判定和性质.
15．如图，在中，．点是的中点，连结，过点作，分别交于点，与过点且垂直于的直线相交于点，连结．给出以下四个结论：①；②点是的中点；③；④，其中正确的个数是( )
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】
用特殊值法，设出等腰直角三角形直角边的长，证明△CDB∽△BDE，求出相关线段的长；易证△GAB≌△DBC，求出相关线段的长；再证AG∥BC，求出相关线段的长，最后求出△ABC和△BDF的面积，即可作出选择．
【详解】
解：由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
设AB＝BC＝2，则AC＝2，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝1，
在Rt△DBC中，DC＝，（勾股定理）
∵BG⊥CD，
∴∠DEB＝∠ABC＝90°，
又∵∠CDB＝∠BDE，
∴△CDB∽△BDE，
∴∠DBE＝∠DCB， ,即
∴DE＝ ，BE＝,
在△GAB和△DBC中，
∴△GAB≌△DBC(ASA)
∴AG＝DB＝1，BG＝CD＝，
∵∠GAB+∠ABC＝180°，
∴AG∥BC，
∴△AGF∽△CBF，
∴，且有AB＝BC，故①正确，
∵GB＝，AC＝2，
∴AF＝＝，故③正确，
GF＝，FE＝BG﹣GF﹣BE＝，故②错误，
S△ABC＝AB•AC＝2，S△BDF＝BF•DE＝××＝，故④正确．
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的相关性质，中等难度,注意合理的运用特殊值法是解题关键．
二、填空题
16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝6，AD＝1，BC＝2，P为AB边上的动点，当△PAD与△PBC相似时，PA＝_____．
【答案】2或3+或3﹣
【分析】
根据题意可知由于∠A=∠B=90°，故要使△PAD与△PBC相似，分两种情况讨论：①△APD∽△BPC，②△APD∽△BCP，两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出AP的长即可．
【详解】
解：∵∠A＝∠B＝90°，AB＝6，AD＝1，BC＝2，
∴设AP的长为x，则BP长为6﹣x，
若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：
①当∠APD＝∠BPC时，△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，即x：（6﹣x）＝1：2，解得：x＝2，
②当∠APD＝∠BCP时，△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，即x：2＝1：（6﹣x），解得：x＝3±，
③当∠APD＝∠B时，此时不符合题意，舍去，
故答案为：2或3+或3﹣．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质进行分类讨论是解题的关键．
17．如图，在直角坐标系中，点，点，过点的直线垂直于线段，点是直线上在第一象限内的一动点，过点作轴，垂足为，把沿翻折，使点落在点处，若以，，为顶点的三角形与△ABP相似，则满足此条件的点的坐标为__________．
【答案】或
【分析】
求出直线l的解析式，证出△AOB∽△PCA，得出，设AC=m（m＞0），则PC=2m，根据△PCA≌△PDA，得出 ，当△PAD∽△PBA时，根据，，得出m=2，从而求出P点的坐标为（4，4）、（0，-4），若△PAD∽△BPA，得出，求出，从而得出，求出，即可得出P点的坐标为．
【详解】
∵点A（2，0），点B（0，1），
∴直线AB的解析式为y=-x+1
∵直线l过点A（4，0），且l⊥AB，
∴直线l的解析式为；y=2x-4，∠BAO+∠PAC=90°，
∵PC⊥x轴，
∴∠PAC+∠APC=90°，
∴∠BAO=∠APC，
∵∠AOB=∠ACP，
∴△AOB∽△PCA，
∴，
∴，
设AC=m（m＞0），则PC=2m，
∵△PCA≌△PDA，
∴AC=AD，PC=PD，
∴，
如图1：当△PAD∽△PBA时，
则，
则，
∵AB=，
∴AP=2，
∴，
∴m=±2，（负失去）
∴m=2，
当m=2时，PC=4，OC=4，P点的坐标为（4，4），
如图2，若△PAD∽△BPA，
则，
∴，
则，
∴m=±，（负舍去）
∴m=，
当m=时，PC=1，OC=，
∴P点的坐标为（，1），
故答案为：P（4，4），P（，1）．
【点睛】
此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是相似三角形和全等三角形的判定与性质、勾股定理、一次函数等，关键是根据题意画出图形，注意点P在第一象限有两个点．
18．如图，AG∥BC，如果AF：FB＝3：5，BC：CD＝3：2，那么AE：EC＝_____．
【答案】3:2；
【解析】
【分析】
由AG//BC可得△AFG与△BFD相似 ,△AEG与△CED相似，根据相似比求解.
【详解】
假设：AF＝3x,BF＝5x ,
∵△AFG与△BFD相似
∴AG＝3y,BD＝5y
由题意BC:CD＝3:2则CD＝2y
∵△AEG与△CED相似
∴AE:EC＝ AG:DC＝3:2.
【点睛】
本题考查的是相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.
19．若，则＝___________．
【答案】
【解析】
【分析】
由，可设x=2k，y=3k，代入，即可求得答案.
【详解】
解：∵，
∴设x=2k，y=3k,
∴ ===-．
故答案为：-.
【点睛】
此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意根据比例式，设x=2k，y=3k.
20．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则______．
【答案】
【分析】
利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．
【详解】
四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，
，
则，
故答案为．
【点睛】
本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键.
21．已知，如图，中，DE∥FG∥BC，AD∶DF∶FB＝1∶2∶3，若EG＝3，则AC＝___．
【答案】9
【解析】
试题分析：根据DE∥FG∥BC可得△ADE∽△AFG∽ABC，根据题意可得EG：AC=DF：AB=2:6=1:3，根据EG=3，则AC=9．
考点：三角形相似的应用．
22．如图，在一块斜边长30cm的直角三角形木板（Rt△ACB）上截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为________
【答案】100cm2
【分析】
设AF＝x，根据正方形的性质用x表示出EF、CF，证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质求出BC，根据勾股定理列式求出x，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．
【详解】
设AF＝x，
∵AF：AC＝1：3，
∴AC＝3x，CF＝2x，
∵四边形CDEF为正方形，
∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝＝，
∴BC＝6x，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即302＝（3x）2+（6x）2，
解得，x＝2，
∴AC＝6，BC＝12，
∴剩余部分的面积＝×12×6﹣4×4＝100（cm2）
故答案为：100cm2.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
23．如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，若AB＝2，CD＝3，则EF＝_____．
【答案】1.2．
【分析】
根据AB∥CD∥EF可证明△AEB∽△DEC、△BFE∽△BDC，利用比例的性质以及相似三角形的性质得出，求出EF即可．
【详解】
∵AB∥CD，
∴△AEB∽△DEC，
∵AB＝2，CD＝3，
∴，
∴
∵EF//CD，
∴△BFE∽△BDC，
∴，
解得：EF＝．
故答案为：1.2
【点睛】
本题考查比例的性质及相似三角形的判定与性质，平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
24．如图，△ABC是边长为2的等边三角形．取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作；取中点，作∥，∥，得到四边形，它的面积记作．照此规律作下去，则=____________________ .
【答案】
【分析】
先求出△ABC的面积，再根据中位线性质求出S1，同理求出S2，以此类推，找出规律即可得出S2019的值.
【详解】
∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴△ABC的高=
∴S△ABC=，
∵E是BC边的中点，ED∥AB，
∴ED是△ABC的中位线，
∴ED=AB
∴S△CDE= S△ABC，
同理可得S△BEF=S△ABC
∴S1=S△ABC==，
同理可求S2=S△BEF=S△ABC==，
以此类推，Sn=·S△ABC=
∴S2019=.
【点睛】
本题考查中位线的性质和相似多边形的性质，熟练运用性质计算出S1和S2，然后找出规律是解题的关键.
25．如图，已知O是△ABC中BC边的中点，且，则＝________．
【答案】
【详解】
分析：过B作BF平行于AC，交DE于点F，由两直线平行内错角相等得到两对内错角相等，再由O为BC的中点，得到BO=CO，利用AAS可得出三角形BOF与三角形COE全等，根据全等三角形对应边相等可得出BF=EC，再由BF平行于AE，得到△DBF∽△DAE，利用相似三角形的性质列出比例式，根据已知AB与AD的比值求出BD与AD的比值，即可得到BF与AE的比值，将BF等量代换为EC，可得出EC与AE的比值，根据比例的性质即可求出AE与AC的比值．
详解：过B作BF∥AC，交DE于点F，
∵BF∥AC，∴∠FBO=∠C，∠BFO=∠CEO，
又O为BC的中点，∴BO=CO，
在△OBF和△OCE中，
，∴△OBF≌△OCE（AAS），∴BF=CE，
∵=，∴=，
又∵BF∥AE，∴△DBF∽△DAE，∴===，
则==．
故答案为．

点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及比例的性质，其中根据题意作出辅助线BF∥AC是解答本题的关键．
26．如图，面积为1的等腰直角△OA1A2，∠OA2A1=90°，且OA2为斜边在△OA1A2外作等腰直角△OA2A3，以OA3为斜边在△OA2A3外作等腰直角△OA3A4，以OA4为斜边在△OA3A4外作等腰直角△OA4A5，…连接A1A3，A3A5，A5A7，…分别与OA2，OA4，OA6，…交于点B1，B2，B3，…按此规律继续下去，记△OB1A3的面积为S1，△OB2A5的面积为S2，△OB3A7的面积为S3，…△OBnA2n+1的面积为Sn，则Sn=__（用含正整数n的式子表示）．
【答案】
【分析】
先根据等腰直角三角形的定义求出∠A1OA3=∠OA3A2=90°，得A2A3∥OA1，根据同底等高的两个三角形的面积相等得：，所以，同理得：A4A5∥A3O，同理得：，根据已知的1，求对应的直角边和斜边的长：OA2=A1A2，A2A3=OA3=1，OA1=2，并利用平行相似证明△A2B1A3∽△OB1A1，列比例式可以求A2B1，根据面积公式计算S1，同理得：S2，从而得出规律．
【详解】
∵△OA1A2、△OA2A3是等腰直角三角形，∴∠A1OA2=∠A2OA3=45°，∴∠A1OA3=∠OA3A2=90°，∴A2A3∥OA1，∴（同底等高），∴，∴，
同理得：A4A5∥A3O，
，
∵1，∴OA2•A1A2=1．
∵OA2=A1A2，∴OA2=A1A2，∴A2A3=OA3=1，OA1=2．
∵A2A3∥OA1，∴△A2B1A3∽△OB1A1，∴，
∵A2O，∴A2B1，∴S1A1A2•A2B1，
同理得：OA4=A3A4，A4A5，∴△A4A5B2∽△OA3B2，∴，∴A4B2，∴S2，
所以得出规律：SnSn﹣1．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定以及三角形面积的计算问题，比较复杂，书写时小下标较多，要认真书写，先根据等腰直角三角形的面积求各边的长，利用同底等高的三角形面积相等将所求的三角形进行转化，从而解决问题，并发现规律．
27．如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AD、BE、CF相交于点O，AB＝6，AC＝8，BC＝10，则DE＝_____，OA＝_____，OF＝_____，∠DEF＝∠_____．
【答案】3 ABC
【分析】
易得DE是△ABC的中位线，那么DE等于AB的一半；可证得△ABC是直角三角形，那么AD等于BC的一半；AO等于AD的三分之二；利用勾股定理可得求得FC的长，则OF等于CF的三分之一；各对应边成比例，那么△ABC∽△DEF，那么∠DEF=∠ABC.
【详解】
解：∵D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，
∴DE是ABC的中位线，
∴DE＝AB＝3；
∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴∠A＝90°，
∴AD＝BC＝5，
同理DE∥AB
∴△DOE∽△AOB，
∴,
∴AO＝AD＝；
∵CF＝＝，
同理可得OF＝CF,
∴OF＝CF＝，
∵△ABC和△DEF各对应边之比均为1：2，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠DEF＝∠ABC．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定；三角形的中位线等于第三边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的重心把三角形的中线分为1：2两部分．
28．如图，在三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm．点P从A沿AB以1厘米/秒的速度移动，点Q从C沿CA以2厘米/秒的速度向A移动．如果两点同时出发，经过_____秒后，△APQ与△ABC相似．
【答案】3或
【分析】
分两种情形利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可．
【详解】
解：由题意AP＝t，CQ＝2t，
∵AC＝12cm，
∴AQ＝（12﹣2t）cm，
当＝时，△APQ∽△ABC，
∴＝，
解得t＝3．
当＝时，△APQ∽△ACB，
∴＝，
解得t＝，
故答案为3或．
【点睛】
本题题考查了相似三角形的判定和性质，即①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长所组成的三角形与原三角形相似.相似三角形的对应边成比例，对应角相等.
29．如图，为斜边中点，，，，在边上，，若与相似，则___.
【答案】或
【分析】
要求CM，可直接求CM，或间接求，先求AM，再用AC-AM，若是直接求，必须找到以CM为边的三角形，图中有△CMO，若是间接求，必须找到以AM为边的三角形，图中有△AOM，但已知中给出的长度都是与△ABC有关，所以需要寻找与△ABC之间是否相似，下一步寻找相似的条件即可.
【详解】
∵∠ACB=90° AO=BO
∴OC=OA=OB
∴∠B=∠OCB
∵∠MON=∠B
若△OMN与△OBC相似，有两种情况
（1）当∠MON=∠OMN时
∵∠MON=∠B ∠MON=∠OMN
∴∠B=∠OMN
∵∠A=∠A
∴△AOM∽△ACB
∴
∴
∴
∴
（2）若∠MON=∠ONM时，
∵∠BOC=180°-2∠B，∠OMN=180°-2∠MON,∠B=∠MON
∴∠BOC=∠OMN
∴∠A+∠ACO=∠ACO+∠MOC
∴∠A=∠MOC
∵∠MCO=∠ACO
∴△OCM∽△ACO
∴
∴
∴
故CM的值为或
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质及判定，根据已知条件找出与所求有关的相似三角形是解题的关键，另外需要注意分情况讨论，而分类讨论是一种重要的数学方法.
30．如图，中，已知是的中点，则________
【答案】
【分析】
过点F作AE的平行线交BC的延长线于点H，易证△ABE∽△FCH，得出两个三角形的相似比，再根据GE∥FH，得出△BGE∽△BFH，可得，再根据，可得出，即可得出，得出答案.
【详解】
过点F作AE的平行线交BC的延长线于点H，
∵AB∥FC，AE∥FH，
∴△ABE∽△FCH，
∵F为CD中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵GE∥FH，
∴△BGE∽△BFH，
∴，
∵，
∴，
∴
∴.
故答案为：.
【点睛】
本题考查相似三角形的综合题型，根据题中的线段比例只有，所以要根据这两个式子构造相似三角形，所以本题作出辅助线，构造相似三角形是解题关键，要抓住平行四边形中有的平行线来构造相似三角形.
三、解答题
31．如图，在锐角三角形中，点，分别在边，上，于点，于点．．
（1）求证：∽；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据题意由垂直得出∠AFE=∠AGC=90°，则∠AEF+∠EAF=90°，∠GAC+∠ACG=90°，由∠EAF=∠GAC得出∠AEF=∠ACG，即可得出结论；
（2）由△ADE∽△ABC得出，求出AC，则有.
【详解】
解：（1）证明：，，
∴，
∴∠AEF+∠EAF=90°，∠GAC+∠ACG=90°，
∴，
∴∠AEF=∠ACG，
∵∠EAD=∠CAB，
∴∽
（2）∵，，
∴．
由（1）知∽，
∴
∴
∴
∴.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
32．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）CD＝2．
【解析】
【分析】
（1）根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】
解：（1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB，
∴△BDC∽△ABC；
（2）∵△BDC∽△ABC，
∴，
∵BC＝4，AC＝8，
∴CD＝2．
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质.
33．如图，点B、D、E在一条直线上，BE交AC于点F，，且∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：△AEF∽△BFC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由已知先证明∠BAC=∠DAE，继而根据两边对应成比例且夹角相等即可得结论；
（2）根据相似三角形的性质定理得到∠C=∠E，结合图形，证明即可．
【详解】
证明：如图，
（1）∵∠BAD＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD
即∠BAC＝∠DAE
在△ABC和△ADE中
，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴∠C＝∠E，
在△AEF和△BFC中，∠C＝∠E，∠AFE＝∠BFC，
∴△AEF∽△BFC．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
34．如图，在ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AE·AB＝AD·AC，连接DE，BD.
（1）求证：ADE~ABC.
（2）若点E为AB为中点，AD：AE＝6：5，ABC的面积为50，求BCD面积.
【答案】(1)详见解析； (2)14
【分析】
（1）根据可得，又因，由相似三角形的判定定理即可证；
（2）设，根据得，由点E是AB的中点得，可求出的值，根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方可得的面积，因等底等高得，的面积等于的面积，从而可得答案.
【详解】
（1）
在和中，
（两边对应成比例且夹角相等的三角形相似）
（2）设
又点E是AB的中点
由题（1）知
又
又和的边，且边上对应的高是同一条高
答：的面积为14.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理和性质，熟记判定定理和性质是解题关键.
35．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE
（1）求证：△BDE∽△BCA；
（2）如果AE=AC，求证：AC2=AD•AB．
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由BA•BD=BC•BE得，结合∠B=∠B，可证△ABC∽△EBD；
（2）先根据BA•BD=BC•BE，∠B=∠B，证明△BAE∽△BCD，再证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的对应边长比例可证明结论.
【详解】
（1）证明：∵BA•BD=BC•BE．
∴，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BCA；
（2）证明：∵BA•BD=BC•BE．
∴，
∵∠B=∠B，
∴△BAE∽△BCD，
∴，
∵AE=AC，
∴，
∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，
∴∠B=∠ACD.
∵∠BAC=∠BAC
∴△ADC∽△ACB，
∴.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键．相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③根据两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例得两个三角形相似.
36．如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒2的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，设运动时间为()，连接．
（1）若，求的值；
（2）若与相似，求的值；
（3）当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值．
【答案】（1） ；（2）或；（3） 当时，取最小值，．
【分析】
（1）由已知条件得出AB=10，BC＝5，由题意知BM=2t，CN＝t，BN＝5−t，由BM=BN得出方程2t＝5−t，解方程即可；
（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；
②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；
（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t；四边形ACNM的面积y=△ABC的面积-△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．
【详解】
解：（1）在中，∵，，，
∴，．
由题意知，，
∴．
由，得．
解得；
（2）①当∽时，
得，即
解得；
②当∽时，
得，即
解得
∴当或时，与相似；
（3）如图，过点作于点，则．
设四边形的面积为．
由题意，得
∵
∴当时，取最小值，.
【点睛】
本题是相似形综合问题，考查相似三角形的判定与性质和含30°角的直角三角形的性质以及三角形面积的计算；本题综合性强，注意分类讨论以及证明三角形相似是解决问题的关键．
37．在矩形中，，，点是边上一点，交于点，点在射线上，且是和的比例中项．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当点在线段之间，联结，且与互相垂直，求的长；
（3）联结，如果与以点、、为顶点所组成的三角形相似，求的长．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）的长分别为或3．
【分析】
（1）由比例中项知 ，据此可证 得，再证明 可得答案；
（2）先证 ，结合 ，得 ，从而知 ，据此可得 ，由（1）得，据此知 ，求得 ；
（3）分 和 两种情况分别求解可得．
【详解】
（1）证明：∵是和的比例中项
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：∵与互相垂直
∴
∵
∴
∴
由（1）得
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴
由（1）得
∴
∴
∴
∵
∴
∴
（3）∵，
又，由（1）得
∴
当与以点、、为顶点所组成的三角形相似时
1) ，如图
∴
由（2）得：
2），如图
过点作，垂足为点
由（1）得
∴
∴又
设，则，，
又
∴，解得
∴
综上所述，的长分别为或3．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定定理，利用三角形相似以及相关的等量关系来求解MN和DE的长．
38．（1）问题 ：如图1，在四边形中，点为上一点，∠=∠=∠=90°，求证：．
（2）探究：如图2，在四边形中，点为上一点，当∠=∠=∠时，上述结论是否依然成立？说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）上述结论依然成立，理由见解析.
【分析】
（1）如图1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）如图2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
【详解】
解：（1）如图1， ∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，
∴，
∴AD•BC=AP•BP；
（2）∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．
∵∠DPC=∠A=∠B=θ，
∴∠BPC=∠ADP，
∴△ADP∽△BPC，
∴，
∴AD•BC=AP•BP
【点睛】
本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等角的余角相等、三角形外角的性质等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．
39．如图，已知平行四边形中，，，，点在射线上，过点作，垂足为点，交射线于点，交射线于点，联结，设.
（1）当点在边上时，
①求的面积；（用含的代数式表示）
②当时，求的值；
（2）当点在边的延长线上时，如果与相似，求的值.
【答案】（1）①，②3：1；（2）m=或.
【分析】
(1)①作EM⊥AB，DN⊥AB，由，即可求解；
②易证：∆AEF~∆BGF，得：，即：=，结合，，即可得到答案；
(2)由∠AEF=∠FGC=90°，与相似，分两种情况讨论：①当~时，②当~时，分别求出答案，即可.
【详解】
(1) ①作EM⊥AB，DN⊥AB，如图1，
∵，
∴EM：AM：AE=2：1：，DN：AN：AD=2：1：，
∵，
∴EM=，DN=，
∵，
∴，即：EF=2m，AF=，
∴，
即：
②∵在平行四边形中，AD∥BC，
∴∆AEF~∆BGF，
∴，
∴==，
∵，
∴当时，=，解得：，（舍）
∴AE=，DE=，
∴=3：1；
(2)∵∠AEF=∠FGC=90°，
∴与相似，分两种情况讨论：
①当~时，如图1，
∴∠AFE=∠FCG，
∵∠AFE+∠GBF=90°，
∴∠FCG+∠GBF=90°，
∴∠BFC=90°，
∴BF：CF：BC=1：2：，
∵BC=AD=，
∴BF=1，
∴AF=AB+BF=5+1=6，
∵AE：EF：AF=1：2：，
∴AE=6÷=，即：m=；
②当~时，如图3，
∴∠AFE=∠CFG，
在∆BFG和∆CFG中，
∵
∴∆BFG≅∆CFG(ASA)，
∴BG=CG=，
∵BG：GF：BF=1：2：，
∴BF=，
∴AF=5+=，
∵AE：EF：AF=1：2：，
∴AE=÷=，即：m=；
综上所述：m=或.
图1
图2
图3
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，根据题意，进行分类讨论，画出图形，是解题的关键，体现了数形结合和分类讨论的数学思想.
40．如图，在平面直角坐标系xy中，直线与x 轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①B（1,0）②（2）4,P（－2，3）;（3）存在M1（0，2）,M2（－3,2）, M3（2，－3）,M4（5，－18）, 使得以点 A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．
【详解】
试题分析：（1）①先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；
（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=-m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；
（3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．
试题解析：（1）①y=x+2
当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，
∴C（0，2），A（﹣4，0），
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣对称，
∴点B的坐标为（1，0）．
②∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），
∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1），
又∵抛物线过点C（0，2），
∴2=﹣4a
∴a=-
∴y=-x2-x+2．
（2）设P（m，-m2-m+2）．
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，
∴Q（m，m+2），
∴PQ=-m2-m+2﹣（m+2）
=-m2﹣2m，
∵S△PAC=×PQ×4，
=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，
∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4，
此时P（﹣2，3）．
（3）在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=，
∴∠CAO=∠BCO，
∵∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠CAO+∠OBC=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC∽△ACO∽△CBO，
如下图：
①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；
③ 根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；
④ 当点M在第四象限时，设M（n，-n2-n+2），则N（n，0）
∴MN=n2+n﹣2，AN=n+4
当时，MN=AN，即n2+n﹣2=（n+4）
整理得：n2+2n﹣8=0
解得：n1=﹣4（舍），n2=2
∴M（2，﹣3）；
当时，MN=2AN，即n2+n﹣2=2（n+4），
整理得：n2﹣n﹣20=0
解得：n1=﹣4（舍），n2=5，
∴M（5，﹣18）．
综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．
考点：二次函数综合题