九年级下学期数学考点突破与提分——相似全章复习与巩固练习题（含答案）

这是一份九年级下学期数学考点突破与提分——相似全章复习与巩固练习题（含答案），共15页。试卷主要包含了相似图形等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把 称为相似图形(similar figures).
要点诠释：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；
2.相似多边形
如果两个多边形的 ，对应边的 ，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
要点诠释：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
知识点02 相似三角形
相似三角形的判定:
判定方法（一）： ，所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法（二）： ，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）： ，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）： ，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
相似三角形的性质：
（1）相似三角形的 ，对应边的 ；
（2）相似三角形中的 等于相似比；
相似三角形 ， ， 都等于相似比.
要点诠释：
要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
(3) 相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于 ．
知识点03 位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且 ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在 ；
（2) 位似图形的 等于相似比；
（3）位似图形中 的对应线段平行.
要点诠释：
(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
知识点04 黄金分割
1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫 ．
2.黄金三角形： 的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．
黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．
知识点05 射影定理
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）
∴ ；
；
（射影定理）；
（等积）．
能力拓展
考法01 相似三角形
【典例1】已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？
【即学即练1】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）求证：△COM∽△CBA； （2）求线段OM的长度.
【典例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是（ ）
A． B． C． D．
考法02 相似三角形的综合应用
【典例3】已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．
【典例4】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
【即学即练2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
【典例5】如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．
设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式．
【即学即练3】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．
(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?

考法03 黄金分割用
【典例6】如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．
【即学即练4】如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．
求证：（1）AD=BD=BC； （2）点D是线段AC的黄金分割点．
课程标准
1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；
2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、 对 应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；
3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；
4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
相似全章复习与巩固
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知识精讲
知识点01 相似图形及比例线段
1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).
要点诠释：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；
2.相似多边形
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．
要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
3. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
要点诠释：
（1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项）
（2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）．
知识点02 相似三角形
相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：
要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
(3) 相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
知识点03 位似
1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
要点诠释：
(1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
知识点04 黄金分割
1.定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割．
2.黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形．
黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割．
知识点05 射影定理
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴△ABC∽△ACD∽△CBD（“角角”）
∴；
；
（射影定理）；
（等积）．
能力拓展
考法01 相似三角形
【典例1】已知：如图，∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？
【答案与解析】
∵AC=a，BC=b，
∴AB=，
①当△ABC∽△BDC时，
,
即.
②当△ABC∽△CDB时，
，
即.
【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.
【即学即练1】如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）求证：△COM∽△CBA； （2）求线段OM的长度.
【答案】
（1）证明： A与C关于直线MN对称，
∴ACMN，∴∠COM=90°，
在矩形ABCD中，∠B=90°，
∴∠COM=∠B ，
又∠ACB=∠ACB，
∴△COM∽△CBA ，
（2）在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，
∴AC=10 ，∴OC=5，
△COM∽△CBA，
∴，
∴OM=.
【典例2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C；
【解析】由MC＝6，NC＝，∠C＝90°得S△CMN=，
再由翻折前后△CMN≌△DMN得对应高相等；由MN∥AB得△CMN∽△CAB且
相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S△CMN：S四边形MABN=1:3，故选C.
【总结升华】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.
考法02 相似三角形的综合应用
【典例3】已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．
【答案与解析】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=BD，
∵OE=OB，
∴OE=BD，
∴∠BED=90°，
∴DE⊥BE；
（2）∵OE⊥CD
∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠CEO=∠CDE，
∵OB=OE，
∴∠DBE=∠CDE，
∵∠BED=∠BED，
∴△BDE∽△DCE，
∴，
∴BD•CE=CD•DE．
【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记定理是解题的关键．
【典例4】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
【思路点拨】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．
（2）利用相似三角形的性质得到=，由此即可证明．
【答案与解析】
（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，
∴∠ADF=∠C，
∵=，
∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴=1．
【总结升华】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题中考常考题型．
【即学即练2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
【答案与解析】
证明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折叠，
∴∠C=∠AED=90°，
∴∠DEB=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAC；
（2）由勾股定理得，AB=10．
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
DE2+BE2=BD2，
即CD2+42=（8﹣CD）2，
解得：CD=3，
在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，
即32+62=AD2，
解得：AD=．
【典例5】如图，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD=2，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形．
（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ=60°保持不变．
设PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式．
【答案与解析】
（1）∵是等边三角形
∴
∵是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴梯形是等腰梯形．
（2）在等边中，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵ ∴，
∴ ，
∴.
【总结升华】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活运用所学知识来解题.
【即学即练3】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．
(1)求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?

【答案】
(1)因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，
所以.
又因为AB=8，AC=6，，，
所以，即，
自变量x的取值范围为.
(2)
.
所以当时，S有最大值，且最大值为6.
考法03 黄金分割用
【典例6】如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这是B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．
【答案与解析】
设正方形ABCD的边长为2，
E为BC的中点，
∴BE=1
∴AE=，
又B′E=BE=1，
∴AB′=AE-B′E=-1，
∵AB″=AB′=-1
∴AB″：AB=(-1):2
∴点B″是线段AB的黄金分割点．
【总结升华】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键．
【即学即练4】如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．
求证：（1）AD=BD=BC； （2）点D是线段AC的黄金分割点．
【答案】
（1）∵∠A=36°，∠C=72°，
∴∠ABC=72°，∠ADB=108°，
∴∠ABD=36°，
∴△ADB、△BDC是等腰三角形，
∴AD=BD=BC．
（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：AC=CD：BC，
∴BC2=AC•DC，
∵BC=AD，
∴AD2=AC•DC，
∴点D是线段AC的黄金分割点．
课程标准
1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；
2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、 对 应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；
3、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；
4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.