四川省成都列五中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试卷（含答案）

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1.一个容量为的样本，其数据依次为：。则该组数据的第百分位数为（ ）
A. B. C. D.
2.记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
3.若，则（ ）
A. B. C. D.
4.直线被圆截得的最短弦的弦长为（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知四面体内接于球，若，平面平面，则球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
7.已知直线与抛物线相交于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，则（ ）
A. B. C. D.
8.点是所在平面内的点，且有，直线分别交于点，记的面积分别为，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（ ）
A. 事件，为互斥事件B. 事件B，C为独立事件
C. D.
10.下列命题为真命题的是（ ）
A. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则双曲线C的离心率为
B. “”在上恒成立的充要条件是“”
C. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，则
D. 设，，，则的大小关系为
11.已知函数在区间上单调，对，满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若函数在区间上单调，则
B. 若函数在上恰存在个极值点，则
C. 函数在上有四个零点，则
D. 若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数（其中为虚数单位），
13.为进一步强化学校美育育人功能，构建德智体美劳全面培养的教育体系，某校开设了音乐､美术､书法三门选修课程.该校某班级有5名同学分别选修其中一门课程学习，每门课程至少有一位同学选修，则恰好有2位同学选修音乐的概率为
14.已知函数在上单调递增，则的最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）如图，在直三棱柱中，分别是的中点，，。① 求证：平面；② 求平面与平面夹角的余弦值.
16.（15分）在三角形中，内角的对边分别为，且。① 求；②若，且，求的取值范围.
17.（15分）已知椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于点，且当轴时，。① 求椭圆的方程；② 椭圆的左焦点为，若的外心在轴上，求直线的方程.
18.（17分）已知函数。① 当，求的最大值；② 若存在极大值，求实数的取值范围.
19.（17分）对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列称为数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列。① 数列的二阶和数列是等比数列，且，求；② 若，求数列的二阶和数列的前项和；③ 若数列是首项为的等差数列，是数列的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时数列的公差.