河北省张家口市2026届高三下学期一模考试数学试卷含答案（word版）

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1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上, 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A=x y=x−1,B={x∣01 ,且满足 2xy−2x−y−3=0 ,则 2x+y 的最小值为 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式将等式变形化简, 解不等式即可得出结果.
【详解】由 2xy−2x−y−3=0 可得 2xy=2x+y+3 ,
因为实数 x>12,y>1 ,所以 2xy≤2x+y22 ,
因此可得 2x+y+3≤2x+y22 ,即 2x+y2−42x+y−12≥0 ,
解得 2x+y≥6 或 2x+y≤−2 (舍),
当且仅当 2x=y 时,即 x=32,y=3 时,等号成立,
所以 2x+y 的最小值为 6 .
6. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 Sm=7,S3m=33 ,则 S2m= ( )
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列片段和的性质, 结合等差中项即可求解.
【详解】因为 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和,
所以 Sm,S2m−Sm,S3m−S2m 成等差数列.
所以 Sm+S3m−S2m=2S2m−Sm ,
即 S2m=3Sm+S3m3=21+333=18 .
7. 已知函数 fx=2sinωx+φω>0,φ0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,点 P 是椭圆 C 上一点,则下列说法正确的是( )
A. 若 1≤PF1≤5 ，则椭圆 C 的离心率为 23
B. 若 b=2,F1P⋅F2P=0 ,则 △PF1F2 的面积为 2
C. 若 a=5,b=3,∠F1PF2=60∘ ,则 △PF1F2 内切圆的半径为 33
D. 若 ∠PF1F2=15∘,∠PF2F1=105∘ ,则椭圆 C 的离心率为 22
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据椭圆上的点到焦点距离的取值范围,可求 a,c 的值,判断 A 的真假; 利用焦点三角形的面积公式 S=b2tan∠F1PF22 求 △PF1F2 的面积,可判断 B 的真假; 结合三角形内切圆的半径 r=2Sa+b+ca+b+c表示三角形周长 及椭圆的定义,可求 △PF1F2 内切圆的半径,判断 C 的真假; 利用正弦定理,结合比例的性质和椭圆的定义,可判断 D 的真假.
【详解】对 A: 因为 1≤PF1≤5 ,所以 a−c=1a+c=5⇒a=3c=2 ,此时椭圆 C 的离心率为 e=ca=23 ,故 A 正确;
对 B : 因为 F1P⋅F2P=0 ,所以 PF1⊥FP2 ,即 ∠F1PF2=π2 ,所以
S△PF1F2=b2tan∠F1PF22=22×tanπ4=4 ,故 B 错误;
对 C : 因为 S△F1PF2=b2tan∠F1PF22=9×tan30∘=33 ,
由 a=5,b=3 ,所以 c=a2−b2=4 ,设 △PF1F2 内切圆半径为 r ,则
r=2S2a+2c=6310+8=33 ,故 C 正确;
对 D : 如图:

由 ∠PF1F2=15∘,∠PF2F1=105∘ ,可得 ∠F1PF2=60∘ .
由正弦定理: PF1sin105∘=PF2sin15∘=F1F2sin60∘ ,
所以 PF1+PF2sin105∘+sin15∘=F1F2sin60∘ ,即 2asin105∘+sin15∘=2csin60∘ ,
所以 e=ca=sin60∘sin105∘+sin15∘=326+24+6−24=36=22 . 故 D 正确.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知锐角 α 满足 tanα=22 ，则 sinα+π4 的值为_____.
【答案】 6+236
【解析】
【详解】已知 α 是锐角,且 tanα=22 ,则 sinα>0,csα>0 ,
设 sinα=2k,csα=2k,k>0 ,
则 sin2α+cs2α=2k2+4k2=6k2=1 ,解得 k=66 ,
∴sinα=2×66=33,csα=2×66=63 ,
∴sinα+π4=sinαcsπ4+csαsinπ4=33×22+63×22=6+236 .
13. 已知函数 fx 满足 f−x=f2+x ,当 x∈(−∞,1] 时, fx=e2x−e−x ,则不等式 xfx>0 的解集为_____.
【答案】 −∞,0∪0,2
【解析】
【分析】根据函数的对称性与单调性的关系列不等式组求解即可.
【详解】根据题意,因为函数 fx 满足 f−x=f2+x ,所以函数 fx 的对称轴为直线 x=1 ,
因为函数 y=e2x 在 x∈(−∞,1] 上单调递增,函数 y=e−x 在 x∈(−∞,1] 上单调递减,
所以函数 fx=e2x−e−x 在 x∈(−∞,1] 上单调递增,
则函数 fx 在 x∈[1,+∞) 上单调递减,
由 f0=0 得 f2=0,xfx>0 等价于 x>0fx>0 或 x