安徽省合肥市普通高中六校联盟2026届高三下学期3月开年考 数学试卷（含解析）

这是一份安徽省合肥市普通高中六校联盟2026届高三下学期3月开年考 数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．利用诱导公式可以将任意角的三角函数值转化为之间的三角函数值，下表是部分的奇数倍锐角的正切值（用字母代替），则（ ）
A．B．C．D．
4．已知是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A．B．C．1D．5
5．记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．图①是底面边长为的正三棱柱，直线经过上下底面的中心，将图①中三棱柱的上底面绕直线逆时针旋转得到图②，若为正三角形，则图②所示几何体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆C：．，，若椭圆C上存在3个不同的点P满足，则椭圆C离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（ ）
A．8B．5C．D．
二、多选题
9．如图，直线与函数的图象依次交于A，B，C三点，若，，则（ ）
A．
B．
C．是曲线的一条对称轴
D．曲线向右平移1个单位后关于原点对称
10．若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．下列说法中，正确的是（ ）
A．数据，，，，，，，，，的第75百分位数是9
B．样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则
C．若随机变量，且，则
D．，，，和，，，的方差分别为和，若且，则
三、填空题
12．设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则__________.
13．一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字．事件，事件，若事件满足，则满足条件的事件的个数为__________．
14．已知椭圆：的左焦点为，过点且倾斜角为的直线交轴于点，交椭圆于，两点（点在点左侧），，则椭圆的离心率为______.
四、解答题
15．已知函数的部分图象如图所示，图象与轴的交点为，且在区间上恰有一个极大值和一个极小值.
(1)求的值及的取值范围；
(2)若是整数，将的图象向右平移个单位长度得到的图象，求的最大值.
16．斜三棱柱各棱长为4，，D为棱上的一点．
(1)求证：；
(2)若平面平面ABC，且二面角的余弦值为，求BD的长．
17．已知.
(1)当时，求函数的单调区间：
(2)当时，求证：；
(3)当，试讨论函数的零点个数.
18．体育是培养学生高尚人格的重要途径之一．足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表：
已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为．
(1)求；
(2)根据小概率值的独立性检验，判断学生喜爱足球运动是否与性别有关？
(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为，求使事件“”概率最大的的值．
附：，
19．对于数列，记，称数列为数列的一阶差分数列．记，称数列为数列的二阶差分数列，……，一般地，对于，记，规定：，，称为数列的阶差分数列．
(1)已知，，求，，，；
(2)已知，若，且对恒成立，求的取值范围；
(3)已知数列满足，且，数列，的前项和为，证明：．
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男生
40
女生
25
合计
100
参考答案
1．C
【详解】∵，
，
∴.
故选：C．
2．A
【详解】由得或，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．A
【详解】.
故选：A.
4．D
【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根，
所以是关于的实系数方程的另一个复数根，
由韦达定理得，解得，
，则，故D正确.
故选：D
5．D
【详解】已知是等差数列，根据等差数列的性质可得，则.
又因为，所以，解得.
设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式，可得.解得，.
根据等差数列的前项和公式可得.
将代入可得：.
故选：D.
6．C
【详解】初始几何体为底面边长为 的正三棱柱，设高为H，
上底面绕直线逆时针旋转得到一个对称的六面体，其外接球球心必在旋转轴上，
正三棱柱底面正三角形的外接圆半径 ，
设球心到任一底面的距离为 d，则球半径 满足：
由于几何体对称，球心在正中间，故，
如图，以下底面ABC的重心为原点建立空间直角坐标系，

则，
旋转后的顶点坐标为,
所以，长度，
所以数量积为; ，
由夹角 ，
所以，
球心在中间，高度 ，
半径,
所以表面积,
故选；C
7．C
【详解】设，由，得，化简得，
即点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆，则该圆与椭圆有3个交点，
由消去得，即，
显然是方程的一个解，点是圆与椭圆的1个公共点，因此必为方程的另一个解，
则，解得，所以椭圆C的离心率.
故选：C
8．D
【详解】
设为轴正半轴上的单位向量，
令，，，
如图所示，设与的夹角为，若，
在中，由余弦定理有：则，
而，
所以，所以，
因为，所以，
有根据正弦定理有：，即，
整理有：，所以，
当与的夹角最大时，最大，取最小值，
因为，
当且仅当时，取等号，所以当与的夹角最大时，.
故选：D
9．AC
【详解】因为，，所以，所以函数的周期为，
所以，故选项B错误；
则函数，当函数取最大值时，，
解得，故函数位于y轴右侧的第一个最大值点的横坐标为，
又，所以，所以，故选项A正确；
当时，为函数最小值，
故是曲线的一条对称轴，故选项C正确；
曲线向右平移1个单位后，
显然不关于原点对称，（），故D错误.
故选：AC
10．BD
【详解】对于A，令，得；令，得，
因此，A错误；
对于B，，因此，B正确；
对于C，令，即，得，C错误；
对于D，原等式两边求导得，
令，得，D正确.
故选：BD
11．AB
【详解】A：1，1，2，2，3，3，3，9，11，12共10个数则，
所以第75百分位数是9，A正确.
B：样本点的残差为，的残差为，
由残差相等得，B正确.
C：由知对称轴为1，根据得，
所以，故C错误.
D：由，且，，，
则，故D错误.
故选：AB
12．
【详解】函数，求导得，则，而，
因此曲线在处的切线方程为，
依题意，，所以.
故答案为：
13．
【详解】事件，事件，故，
又，故，即，
因为，，
所以，故，即，
又，，
故，所以，
即，所以，故，
其中，，则或2，
若，则，
又，故，
，故，
若，，可令或或或；
若，，可令或或或，
事件，事件
若，则，此时，
此时，故，不合要求，舍去，
综上，满足条件的事件的个数为8.
故答案为：8
14．
【详解】由题设，令直线为，
易得
因为
可得，又，
可得：，再结合，
可得
代入椭圆方程，又，
所以
化简可得：，因为，
易知
所以，即
所以
故答案为：.
15．(1)，；
(2)2
【详解】（1）将代入解析式得，
又，故，又，当时，，
因为在区间上恰有一个极大值和一个极小值，
故，解得；
（2）是整数，又，故，所以，
的图象向右平移个单位长度得到，
所以，
，
又，故当，即时，
取得最大值，最大值为.
16．(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）取AB中点O，在中，，O为AB中点，所以，在中，，，，由余弦定理可得，
所以有，即，所以，
又因为，平面，平面，
平面，又因为平面，所以；
（2）由（1）知且平面平面，平面平面，平面，所以平面，
则，如图以OA，OC，两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OC，方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系．
，，，，
设，，
，，
设平面法向量为，
，，
可取，
平面的法向量为，
所以有，化简得，
所以有（舍）或者，所以．
17．(1)减区间为，增区间内为
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）当时，，，
当时，，则在为增函数；
当时，，则在为减函数；
故当时，函数的减区间为，增区间内为.
（2）因为，当时，，所以，
当时，，所以，所以，
设，由（1）可知，所以不等式成立.
（3）解法一：，
设，此时，
则，
因为，所以，
则在为减函数，，
①当时，，结合在为减函数，
当时，在为增函数；
当时，在为减函数；
所以，所以，即在上为减函数，
又因为，所以只有一个零点；
②当时，，
所以存在，使得，
当时，，所以在上增函数；
当时，，所以在上减函数.
因为，则，当，
使得，
所以时，，即，即在为减函数；
当时，，即，即在为增函数；
当时，，即，即在为减函数；
当，又因为，所以.
所以使得，
在为减函数，所以，所以存在两个零点.
综上所述：当时，函数有1个零点；当函数有2个零点.
解法二：，
设，此时，
则，
设，所以，
①当时，此时，则，此时，
当时，在为增函数；
当时，在为减函数；
所以，所以，即在上为减函数.
又因为，所以只有一个零点；
②当，所以，
设.因为，
因为时，所以存在，使得
当时，，即，所以在上增函数；
当时，，即，所以在上减函数.
因为，则，当，
使得，
所以时，，即，即在为减函数；
当时，，即，即在为增函数；
当时，，即，即在为减函数；
当，又因为，所以.
所以使得，
在为减函数，所以，所以存在两个零点.
综上所述：当时，函数有1个零点；当函数有2个零点.
解法三：，设，则，
则有，，
设.
因为，所以，
则在为减函数，，
①当，即，结合在为减函数
当时，在为增函数；
当时，在为减函数；
所以，所以，即在上为减函数.
又因为，所以只有一个零点；
②当时，，
所以存在，使得，
当时，，所以在上增函数；
当时，，所以在上减函数.
因为，则，当，
使得，
所以时，，即，即在为减函数；
当时，，即，即在为增函数；
当时，，即，即在为减函数；
当，又因为，所以.
所以使得，
在为减函数，所以，所以存在两个零点.
综上所述：当时，函数有1个零点；当函数有2个零点.
18．(1)
(2)没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关
(3)20
【详解】（1）因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为，
所以；
（2）零假设：喜爱足球运动与性别无关．
作出列联表如下：
由题，
根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，
也就是说没有的把握认为喜爱足球运动与性别有关．
（3）现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是，
从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时，记其中男生的人数为，则，
所以，
令，解得，
故使事件“”概率最大的的值为20．
19．(1)，，，．
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，，
所以，；
由题意，则，
又因为，所以．
综上可知，，，，．
（2）若，则
．
，
因为，所以，即，故数列递增，
所以要使对恒成立，
则必有，即，
所以，解得；
故是对恒成立的必要条件．
下面证明充分性：若，即，又，即，
又，故成立；
由，又递增，，
则，故；
故满足对恒成立，即是对恒成立的充分条件．
综上所述，要使对恒成立，
则的取值范围为．
（3）由，即则为等差数列，又得．
所以，
因为，
且，
可得
．
由，得，则，，则
，即，且，
得，所以．
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男生
40
15
55
女生
20
25
45
合计
60
40
100