2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习十六：二次函数中的最值问题综合训练

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(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上存在点，使直线将线段平分，求点的坐标；
(3)直线上方的抛物线上是否存在一点，使得点到直线的距离最大？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由．
2．已知关于的二次函数．
(1)当时，
①求二次函数的对称轴和顶点坐标．
②当时，该函数的最小值是3，求的值．
(2)若抛物线过点，且对于拋物线上任意一点都有，若点，是这条抛物线上不同的两点，求证：．
3．在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数），经过点和．
(1)求该抛物线函数表达式；
(2)当时，求二次函数的最大值和最小值；
(3)点为此函数图象上任意一点，横坐标为，过点作轴，交直线于点．当点和点不重合时，以为边，点为直角顶点向轴负方向作等腰直角三角形．
①当点的纵坐标与抛物线顶点的纵坐标的差为5时，求的值；
②当抛物线在等腰直角三角形内部（包括边界）的点的纵坐标之差最大值是1时，直接写出的值．
4．已知关于的二次函数，（实数为常数）．
(1)若二次函数的图像经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；
(2)若，当时，二次函数的最小值12，求的值；
(3)记关于的二次函数，若在（1）的条件下，点在函数的图像上，点在函数的图像上，若当时，始终满足，求的取值范围．
5．如图，在直角坐标系中，四边形为矩形，点、的坐标分别为，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿向终点移动，点从点出发沿向终点以同样的速度移动，过点作交于，连接．
(1)当动点运动了秒时，求点的坐标（用含的代数式表示）；
(2)求面积的最大值，并求此时的值；
(3)若是一个直角三角形，请直接写出的值．
6．已知，二次函数．
(1)若该图象过点，求函数的顶点坐标；
(2)当时，y的最大值与最小值的和是4，求a的值．
7．直线与x轴，y轴交于点A，B，抛物线过点B．
(1)直接写出c的值： ；
(2)当时，抛物线有最小值，求a的值；
(3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴交直线于点D，点P是直线下方的抛物线上一点（不与A，B重合），连接，．求面积的最大值．
8．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点；
(1)用配方法将二次函数化为的形式；
(2)观察图象，当时，直接写出的取值范围；
(3)点P为二次函数的图象第四象限的点，设点P的横坐标为m，当的面积最大时，求的最大面积，并写出此时点P的坐标．
9．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
(3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值．
10．在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图像经过、两点（如图）．
(1)求该二次函数的函数表达式；
(2)若点是在直线上方抛物线上的一个动点，求点到直线的距离的最大值及此时点的坐标；
(3)若二次函数，当时，函数的最大值与最小值之差等于，请直接写出的值．
11．已知二次函数．
(1)当时，直接写出二次函数的顶点坐标；
(2)当时，函数的最大值与最小值的差为8，求的值．
12．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图像与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点为，已知图像经过点．
(1)求、、三点的坐标；
(2)一个二次函数的图像经过、、三点，其中，该函数图像与轴交于另一点，点在线段上（与点、不重合）．
①若点的坐标为，求的值；
②设，直接写出的最大值．
13．已知二次函数（t为常数）．
(1)若二次函数图象经过原点，求t的值．
(2)已知点，在该二次函数图象上，若，，试比较m，n的大小关系．
(3)当时，函数y的最大值与最小值的差为1，求t的取值范围．
14．如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，，．点在抛物线上，点与点关于抛物线对称轴对称．
(1)求抛物线对应的函数表达式；
(2)点是抛物线上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标；
(3)如图，点是直线下方的抛物线上的一点，，垂足为．求的最大值；
(4)如图，若抛物线与（包括三角形的内部和边界）有公共点，请直接写出的取值范围．
15．如图，正方形的边长为是边上的点，将绕点顺时针旋转得，交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)当的长最大时，求出的长．
参考答案
1．【详解】（1）解：（1）抛物线的顶点为，
解得：
抛物线的解析式为
（2）（2）由题意得，
解得或，
，，
设的中点为，
，
直线的解析式为，
列方程组，
解得或，
点的坐标为或；
（3）解：如图，作轴交于点，于点，
在直线上，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
设，则，
，
当时，最大为．
的最大值为．
2．【详解】（1）解：①把代入解析式，得
，
化为顶点式，得
，
∴这个二次函数的对称轴为，顶点坐标为；
②二次函数中，
∵，
∴抛物线开口向上，函数有最小值，
∵二次函数的顶点坐标为，
∴函数最小值为2，
∵时，该函数的最小值是3，
∴函数的最小值在端点处取得，且，
令，则，
解得或，
∵，
∴；
（2）证明：∵抛物线过点，且对于拋物线上任意一点都有，
∴是抛物线的最高点，
∴抛物线开口向下，，且对称轴为，
∴，解得，
∴抛物线解析式为：，
∵点，在抛物线上，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵点，是这条抛物线上不同的两点，
∴，解得，
∴，
∴，即．
3．【详解】（1）抛物线经过点和，可得
解得
所以，抛物线的函数表达式为．
（2）抛物线开口向上，对称轴为，当时，可得
时，取得最小值，最小值为．
时，取得最大值，最大值为．
（3）①根据题意可知，抛物线顶点坐标为，点的坐标为，点的坐标为，．
（Ⅰ）当时， ，，可得
解得
，（舍去）
（Ⅱ）当时， ，，可得
解得
（舍去），
综上所述，或．
②根据题意可知，抛物线顶点坐标为，点的坐标为．
（Ⅰ）当时，设抛物线和线段的交点为．
根据题意可知，点的纵坐标与点的纵坐标之差最大，则点的坐标为．
因为点在抛物线上，可得
解得
，（舍去）．
（Ⅱ）当时，抛物线与等腰直角三角形只有唯一的交点，不符合题意．
（Ⅲ）当线段经过抛物线顶点时，直线可由直线平移得到，可设直线的解析式为．
因为直线经过顶点，可得
解得
所以直线的解析式为．
所以，当线段经过抛物线顶点时，点的坐标为，则点的坐标为．
因为点在抛物线上，可得
解得
，（舍去）．
当时，点的纵坐标与抛物线顶点纵坐标之差最大，则点的纵坐标为，可得
解得
（舍去），．
（Ⅳ）当时，抛物线在等腰直角三角形内部（包括边界）的点的纵坐标之差最大值总大于，不符合题意．
综上所述，或．
4．【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：当时，，
∴函数的表达式为，对称轴为直线，
根据题意可知，需要分三种情况：
①当时，即，在内，y随着x的增大而增大，
当时，二次函数的最小值为12，
∴，解得（不合题意舍去）；
②当时，即，在内，
当时，二次函数最小值为12，
∴，解得（舍）（舍）；
③当时，即，在内，y随着x的增大而减小，
∴时，二次函数的最小值为12，
∴，解得（舍）或．
综上，的值为4或．
（3）解：由（1）得：，
当时，则时，的最小值为1，
∵，
∴当时，则时，的最大值为，
∵，时，始终满足，
∴，解得：．
5．【详解】（1）解：延长，交于点，可得出，

四边形为矩形，点、的坐标分别为，，
，，
动点运动了秒后，则，，
则，
点的坐标为 ；
（2）解：设的面积为，在中，，边上的高为，
，
，
当时，取最大值，最大值为，
即面积的最大值为，此时的值为；
（3）解：如图，

根据题意，分两种情况：
当时，点与重合，此时是矩形，
，
，解得；
当时，，
，
，
，即，
解得或（舍去），
综上，满足条件的值为或．
6．【详解】（1）解：点代入中得，解得
∴
故函数的顶点坐标为：；
（2）解：∵函数对称轴为直线，，，
∴当时，最大值为；
当时，最小值为；
∵y的最大值与最小值的和是4
∴ ，
解得.
7．【详解】（1）解：∵直线与x轴，y轴交于点A，B，
∴，，
又∵抛物线过点B，
∴．
（2）解：由（1）可知抛物线解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
当，时，y随x的增大而增大，
∴当时，y有最小值，此时，
∴，
解得，
当，时，y随x的增大而减小，
∴当时，y有最小值，此时，
∴，得（舍），
综上，．
（3）解：由（2）可知，抛物线的表达式为，
如图，过点P作y轴的平行线，交于点Q．
设，则．
∴．
∴．
当时，取到最大值为：
∴面积的最大值为．
8．【详解】（1）解：
．
（2）解：∵，
∴抛物线开口向上，当时，函数有最小值，
且抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵，
∴在这个范围内，
∴二次函数的最小值为，
∵，
∴当时，取得最大值，且最大值为，
故的取值范围为．
（3）解：由得，
解方程得，得，
点是抛物线上的一动点，且在第四象限，点P的横坐标为m，
故
过点P作轴于点F，交直线于点Q，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
设，则，
则，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当，的面积最大，且最大值为，此时．
9．【详解】（1）解：抛物线与x轴的交点，对称轴为直线，
抛物线与x轴的交点B的坐标为，
设抛物线解析式为，
将点代入，得：，
解得，
则抛物线解析式为；
（2）解：根据题意，设点P的坐标为，则点P到的距离为．
，
即，
解得．
当时，点P的坐标为；
当时，点P的坐标为．
点P的坐标为或．
（3）解：设的解析式为，将点A的坐标代入得：，解得，
直线的解析式为．
设点D的坐标为，则点Q的坐标为．
，
当时，有最大值，的最大值为．
10．【详解】（1）解：∵的图像与轴交于点，与轴交于点，
∴当时，，即：；
当时，，即：，
∵二次函数的图像经过、两点，
∴，
解得：，即：；
（2）解：点是在直线上方的抛物线上的动点，不动，
当点到直线的距离最大值时，最大，
过点作于点交于点，
设，
∴，
∴
∵，
∴开口向下，，
∴当时，最大，点到直线的距离的最大值，此时，
∵；设点到直线的距离，
∴，解得：，
即：点到直线的距离的最大值为：，此时；
（3）解：∵，
∴对称轴，
①当时，即：，
当时，函数值最小：；
当时，函数值最大：；
∵函数的最大值与最小值之差等于，
∴，
解得：；
②当时，即：，
当时，函数值最大：，
当，函数值最小时：；
∵函数的最大值与最小值之差等于，
∴解得：（舍），（舍），
当时，函数值最大：，
当，函数值最小时：；
∵函数的最大值与最小值之差等于，
∴，解得：（舍）；
③时；
当时，函数值最大：；
当时，函数值最小：；
∵函数的最大值与最小值之差等于，
∴，
解得：，
综上：或．
11．【详解】（1）解：当时，则，
则二次函数的顶点坐标为；
故答案为：；
（2），
抛物线的对称轴为直线，
在中，
①当时，
时，最大值为，
时，最小值为，
，
，（舍去），
②当时，即时，
时，最大值为，
时，最小值为，
此时，不符合题意；
③当时，
时，最大值为，
时，最小值为，
，
（舍去），（舍去），
综上所述，．
12．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为，
∴；
令，
解得或，
∴，；
（2）①由题意知，该函数过点，，，
∴该二次函数的对称轴为直线，
∵，，
∴点，关于对称轴对称，
∴，
∴，
故答案为：5；
13．【详解】（1）解：把代入二次函数得：
，
解得或；
（2）解：因为抛物线对称轴为直线，而，，
所以点P离对称轴更远，
因为抛物线开口向上，
所以；
（3）解：由题可得，所以；
①当时，
当时，，
当时，，
所以，
解得；
②当时，
当时，，
当时，，
此时恒成立，
即；
③当时，
当时，，
当时，
则，
解得或4（都不符合，舍去）；
综上，当t的取值为．
14．【详解】（1）解：∵，，
∴，，
设抛物线解析式为，
当时，，
解得，
∴；
（2）解：设，当时，过点作轴交于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或，
经检验：是原方程的解，
∴；
当时，过点作轴交于，
∴，
∴，解得（舍去）或，
∴，
综上所述：点坐标为或；
（3）解：过点作轴交于点，过点作轴交于，
∵，
∴对称轴为直线，
∵点与点关于抛物线对称轴对称，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的最大值为；
（4）解：当抛物线经过点时，，
解得：，
∴时，抛物线与（包括三角形的内部和边界）有公共点．
15．【详解】（1）证明：∵，，
∴，
在正方形中，，
∴，
∴；
（2）解：如图，在上截取，连接，
在正方形中，，，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（3）解：由（1）知：，
∵ ，
∴，
∴，即，
∴，
∴当时，最大为1，
由（2）知： ，
∴，
∵，
∴，
∴当长最大为1时，的长为．