2026年 中考数学第一轮专项训练：二次函数的最值 [含答案]

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1．居民小区要在一块一边靠墙（墙长 15m ）的空地上修建一个矩形花园 ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为 40m 的栅栏围成.如图，若设花园的一边为 AB=x(m) ，花园的面积为 y(m2) .
（1）求y与x之间的数关系式，写出自变量x的取值范围；
（2）满足条件的花园面积能达到200 m2 吗？如果能，求出此时的x的值；若不能，请说明理由；
（3）请结合题意判断：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？
2．用长为20cm的铁丝，折成一个矩形，设它的一边长为xcm，面积为ycm2．
（1）求出y与x的函数关系式．（不写自变量的取值范围）
（2）当边长x为多少时，矩形的面积最大，最大面积是多少？
3．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图所示．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
4．科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y= ax2,0≤x≤30b(x−90)2+n,300）个单位长度，当自变量x的值满足-1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为6，求m的值.
12．已知二次函数y=x2+bx+2b（b为常数）．
（1）若图象过（2，8），求函数的表达式．
（2）在（1）的条件下，当−2≤x≤2时，求函数的最大值和最小值．
（3）若函数图象不经过第三象限，求b的取值范围
13．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．
14．重庆市的重大惠民工程﹣﹣公租房建设已陆续竣工，计划10年内解决低收入人群的住房问题，前6年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y= 16 x+5，（x单位：年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是y=- 18 x+ 194 （x单位：年，7≤x≤10且x为整数）．假设每年的公租房全部出租完．另外，随着物价上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，第x年投入使用的公租房的租金z（单位：元/m2）与时间x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足一次函数关系如下表：
（1）求出z与x的函数关系式；
（2）求政府在第几年投入的公租房收取的租金最多，最多为多少百万元；
（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题，政府计划在第10年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积提高a%，这样可解决住房的人数将比第6年减少1.35a%，求a的值．
（参考数据： 315≈17.7 ， 319≈17.8 ， 321≈17.9 ）
15．如图，斜靠在墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．
（1）若A端沿垂直于地面的方向AC下移1m，则B端将沿CB方向移动多少米？
（2）若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，则B端将沿CB方向移动多
少米？
（3）在竹竿滑动的过程中，当A端下移多少距离时，△ABC面积最大？简述理由，并求出最大值．
16．某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件；第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？
答案解析部分
1．【答案】（1）解：根据题意得：BC=40-2x，
y＝x（40-2x)，
∴y= −2x2+40x ，
∵墙长15m，
∴0＜40-2x≤15，
∴自变量x的取值范围是 252≤x2，
当−1≤2+m≤3时，顶点处取最小值，此时最小值为-3，不合题意；
当2+m≥3即m≥1时，对称轴-1≤x≤3的右边，
此时当-1≤x≤3时y随x的增大而减小，
∴当x=3时，有最小值6，即6=(3−2−m)2−3，
解得m=4，m=−2（舍去）；
②当向左平移时，平移后的解析式为y=(x−2+m)2−3，
∴对称轴为x=2−m，
当−1≤2−m≤3时，顶点处取最小值，此时最小值为-3，不合题意；
当2−m≤−1，m≥3时，当-1≤x≤3时y随x的增大而增大，
∴当x=−1时，有最小值6，即6=(−1−2+m)2−3，
解得m=6，m=0（舍去），
综上所述，m的值为4或6.
12．【答案】（1）解：∵图象经过点（2，8），
∴8=4+2b+2b，
解得b=1．
∴此函数解析式为y=x2+x+2．
（2）解：y=x2+x+2=(x+12)2+74．
∵抛物线的开口向上，
∴当−2≤x≤−12，y随x的增大而减小，
∴当x=−12时，y的最小值为74，
当−12≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴当x=2时y的最大值为(2+12)2+74=8，
答：最小值74，最大值8．
（3）解：∵图象不经过第三象限，且开口向上，
∴2b≥0，即b≥0，
∴对称轴直线x=−b2≤0，在y轴左侧，
∴图象必在x轴上方（包括x轴），
∴△=b2−8b≤0，
∴0≤b≤8．
13．【答案】（1）解：如图1，
∵A（﹣3，0），C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∵∠AOC=90°，
∴AC=5．
∵BC∥AO，AB平分∠CAO，
∴∠CBA=∠BAO=∠CAB．
∴BC=AC．
∴BC=5．
∵BC∥AO，BC=5，OC=4，
∴点B的坐标为（5，4）．
∵A（﹣3，0）、C（0，4）、B（5，4）在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴9a−3b+c=0c=425a+5b+c=4
解得： a=−16b=56c=4
∴抛物线的解析式为y=﹣ 16 x2+ 56 x+4
（2）解：如图2，
设直线AB的解析式为y=mx+n，
∵A（﹣3，0）、B（5，4）在直线AB上，
∴−3m+n=05m+n=4
解得： m=12n=32
∴直线AB的解析式为y= 12 x+ 32 ．
设点P的横坐标为t（﹣3≤t≤5），则点Q的横坐标也为t．
∴yP= 12 t+ 32 ，yQ=﹣ 16 t2+ 56 t+4．
∴PQ=yQ﹣yP=﹣ 16 t2+ 56 t+4﹣（ 12 t+ 32 ）
=﹣ 16 t2+ 56 t+4﹣ 12 t﹣ 32
=﹣ 16 t2+ t3 + 52
=﹣ 16 （t2﹣2t﹣15）
=﹣ 16 [（t﹣1）2﹣16]
=﹣ 16 （t﹣1）2+ 83 ．
∵﹣ 16 ＜0，﹣3≤t≤5，
∴当t=1时，PQ取到最大值，最大值为 83 ．
∴线段PQ的最大值为 83 ．
（3）解：①当∠BAM=90°时，如图3所示．
抛物线的对称轴为x=﹣ b2a =﹣ 562×(−16) = 52 ．
∴xH=xG=xM= 52 ．
∴yG= 12 × 52 + 32 = 114 ．
∴GH= 114 ．
∵∠GHA=∠GAM=90°，
∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM．
∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM，
∴△AHG∽△MHA．
∴GHAH=AHMH ．
∴11452−(−3) = 52−(−3)MH ．
解得：MH=11．
∴点M的坐标为（ 52 ，﹣11）．
②当∠ABM=90°时，如图4所示．
∵∠BDG=90°，BD=5﹣ 52 = 52 ，DG=4﹣ 114 = 54 ，
∴BG= BD2+DG2
= (52)2+(54)2
= 554 ．
同理：AG= 1154 ．
∵∠AGH=∠MGB，∠AHG=∠MBG=90°，
∴△AGH∽△MGB．
∴AGMG=GHGB ．
∴1154MG = 114554 ．
解得：MG= 254 ．
∴MH=MG+GH
= 254 + 114
=9．
∴点M的坐标为（ 52 ，9）．
综上所述：符合要求的点M的坐标为（ 52 ，9）和（ 52 ，﹣11）．
14．【答案】（1）解：由题意，z与x成一次函数关系，设z=kx+b（k≠0）．把（1，50）．（2，52）代入，
得 k+b=502k+b=52⇒k=2b=48∴z=2x+48．
（2）解：当1≤x≤6时，设收取的租金为W1百万元，则W1=（- 16 x+5）•（2x+48）=- 13 x2+2x+240，∵对称轴x=- b2a ≠=3，而1≤x≤6，∴当x=3时，W1最大=243（百万元）．
当7≤x≤10时，设收取的租金为W2百万元，则
W2=（- 18 x+ 194 ）·（2x+48）
=- 14 x2+ 72 x+228．∵对称轴x=- b2a =7，而7≤x≤10，∴当x=7时，W2最大= 9614 （百万元）．
∵243> 9614 ，
∴第3年收取的租金最多，最多为243百万元．
（3）解：当x=6时，y=- 16 ×6+5=4百万平方米=400万平方米；当x=10时，
y=- 18 ×10+ 194 =3.5百万平方米=350万平方．
∵第6年可解决20万人住房问题，
∴人均住房为400÷20=20平方米．
由题意20×（1-1.35a％）×20×（1+a％）=350．
设a％=m，化简为54m2+14m-5=0，
Δ=142-4×54×（-5）=1276，
∴m= −14±12762×54=−7±31954
∵319 ≈17.8，∴m1=0.2，m2=- 62135 （不符题意，舍去）．
∴a％=0.2，∴a=20．
答：a的值为20．
15．【答案】（1）解：根据题意得：∠ACB=90°，AB=A1B1=13m ，BC=5m ，
∴AC=AB2−BC2=132−52=12m ，
∵A1C=12−1=11m ，
∴B1C=A1B12−A1C2=132−112=43m ，
∴BB1=B1C−BC=(43−5)m，
即B端将沿CB方向移动(43−5)m ；
（2）解：根据题意可设AA1=BB1=ym，则A1C=(12−y)m，CB1=(5+y)m ，
在Rt△A1CB1 中，由勾股定理得：A1C2+CB12=A1B12，
即(12−y)2+(5+y)2=132 ，
解得：y=7 ，
即B端将沿CB方向移动7米；
（3）解：设A端下移的距离为xm ，则A1C=(12−x)m ，则B1C=132−(12−x)2m ，
∴S△ABC=S△A1B1C=12(12−x)132−(12−x)2 ，
设a=12−x ，则S△ABC=12a169−a2，
∴(2S△ABC)2=a2(169−a2)=169a2−a4=−(a2−1692)2+16924，
∴当a2=1692，即 a=1322时，(2S△ABC)2 最大，即S△ABC最大，
此时当12−x=1322 时，(2S△ABC)2=16924，
∴当x=12−1322 时，S△ABC=1694 ，
∴当A端下移(12−1322)m，△ABC面积最大，最大为1694m2 ．
16．【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，将点(30，400)、(35，300)代入y＝kx＋b中得 400=30k+b300=35k+b ，解得 k=−20b=1000 ，
∴y与x之间的函数表达式为y＝－20x＋1000
（2）解：设第二个月的利润为w元，由已知得w＝(x－20)y＝(x－20)(－20x＋1000)＝－20x2＋1400x－20000＝－20(x－35)2＋4500，
∵－20＜0，∴当x＝35时，w取最大值，最大值为4500.故第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是4500元z（元/m2）
50
52
54
56
58
…
x（年）
1
2
3
4
5
…