2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习十七：二次函数中线段和周长问题综合训练

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(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是抛物线上一点，且，求点D的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若，第二象限内有一动点，满足，求周长的最小值；
(3)抛物线上有一个动点，记的面积为，若点符合条件的位置有且只有3个，求的值．
3．如图1：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线表达式．
(2)如图2，直线与轴正半轴交于点，且，点是直线上方的抛物线上一个动点，过点作轴交直线于点，在射线上取一点，使得，求周长的最大值及此时点的坐标．
(3)如图3，将原抛物线沿射线方向平移4个单位长度，平移后抛物线的对称轴与轴交于点，与直线交于点，在对称轴右侧的抛物线上取一点，过点作轴的平行线与抛物线的对称轴交于点，若与相似，请直接写出点的坐标．
4．如图，抛物线经过点和点，与轴交于点，点在直线下方的抛物线上，过点作轴交于点，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标．
(2)当线段长等于2时，求点的坐标．
(3)直接写出线段长的最大值是________．
5．如图，抛物线的图象分别交x轴于和B两点，交y轴于点，点P是抛物线上一点，且点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是第一象限抛物线上一点，轴于D，交直线于点E，若，求点P的坐标；
(3)若点P是x轴上方抛物线上一点，P、Q关于抛物线对称轴对称，轴交直线于点D，轴交对称轴于点F，轴交对称轴于点E，得矩形，令矩形的周长为l．
①求l关于m的函数解析式；
②当l随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．
6．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，作直线为二次函数图象上两点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)试判断是否存在实数使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
(3)已知P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作轴于点H，与线段交于点求的最大值．
7．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，与直线：交于A、D两点，其中，．
(1)求抛物线的解析式
(2)如图1，P为直线上方抛物线上的一点，过P作轴交直线于Q点，、是轴上的两个动点，在上方，且．当线段长度取得最大值时，求的最小值
(3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点D平移后的对应点为点F，连接，在新抛物线上确定一点R，直线与x轴交于点Q，当时，直接写出所有符合条件的点R的坐标，并写出其中一种情况的求解过程
8．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一点，位于轴上方，连接，若的面积为，求点的坐标；
(3)点是抛物线对称轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，求的最小值．
9．如图，抛物线与轴交于，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)在抛物线的对称轴上有一点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标．
(3)若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标．
10．已知抛物线的图象与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线解析式；
(2)如图1，点P为直线上方抛物线上的一点，过点P作轴交于点Q，作交x轴于点E，求的最大值以及此时点P的坐标；
(3)如图2，在（2）问的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，新抛物线对称轴与x轴交于点K，在新抛物线上是否存在点G，连接，，，使，若存在，请写出所有满足条件的点G的横坐标，并写出求解点G横坐标的一种情况的过程；若不存在，请说明理由．
11．已知抛物线（b，c为常数）与轴相交于，两点，与轴相交于点．
(1)求该抛物线的解析式及点的坐标．
(2)抛物线上一点在直线上方，其横坐标为，过点作轴交于点，交于点，若存在点使的周长取得最大值，求出点的坐标．
(3)点是抛物线上一点，满足，请直接写出点的横坐标．
12．已知二次函数（的图像经过点，抛物线上两点，，满足，直线与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，，若，且，求线段的长度；
(3)已知，，点P是直线下方抛物线上一点，作轴，交于点Q，若线段的最大值是8，求直线的解析式．
13．已知抛物线（为常数，）与轴相交于，两点（点在点左侧），点为抛物线与轴的交点，为抛物线的顶点，且．直线上两点和，其中，，的面积记为．
(1)当，时．
①直接写出点，点，点的坐标；
②若，求；
(2)若点的坐标为，且．
①直接写出的值和抛物线解析式；
②当取最小值时，直接写出的最小值和点的坐标．
14．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．点是抛物线在第一象限上的动点，点是线段上的动点．
(1)直接写出、、三点及抛物线顶点的坐标；
(2)若轴，求的最大值；
(3)若直线与抛物线有唯一公共点，当直线时，求点所处位置．
15．如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知点为抛物线上一动点（不与重合）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在直线上方的抛物线上运动时，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求的最大值．
参考答案
1．【详解】（1）解：将，代入得：
，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设点D坐标为，
∵，
∴，
∴，
即
∴或，
解得：，此时；
解得：，此时或
∴点D坐标为或或；
（3）解：存在，
如图所示，连接，，
∵点A、B关于抛物线对称轴对称，
∴，
∴的周长，
即当点B、P、C三点共线时，此时的周长最小，
对于，令，则，
∴，
设直线解析式为，将，代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴该抛物线的对称轴为直线，
∴对于，当时，，
∴点P坐标为．
2．【详解】（1）解：将点，代入，得，
解得，
∴．
（2）解：，，
∴，
∵，，则，，
∴为定值，
∴当取得最小值时，有最小值，
当点在线段上时，取得最小值，最小值为，
∴的最小值为．
（3）解：由题意得，存在两条直线与抛物线有且只有3个交点且与直线平行，其中一条与抛物线有且只有1个交点，
设该直线的解析式为，
联立方程，得，整理得，，
有且只有一个交点，
∴，
解得，
∴点符合条件的位置之一在直线上，
设直线与轴交于点，则，
∴．
3．【详解】（1）解：将点、点代入抛物线，
得，解得，
故抛物线表达式为．
（2）解：∵轴，
∴，
若，
则为等边三角形，
即的周长为长度的3倍，
故要求出的最大值，
∵，，
∴，
即点的坐标为，
令直线的表达式为，
将点、代入，
得，解得，
故直线的表达式为，
结合、，
可得方程，
化简得，
解得或，
故点的横坐标取值范围为，
令点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
∴当时，最大，其最大值为，
∴此时，
∴点的坐标为，
此时的周长最大为．
（3）解：∵，，
由勾股定理可得，
将移动方向进行分解，设其右移动个单位，再向上移动个单位也满足题意，
则，
解得，，
沿方向移动个单位，等同于向右移动个单位，再向上移动个单位，
移动后抛物线表达式为，
化简得，
此时函数对称轴为直线，
则点的坐标为，
当时，，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴，
∵
∴若与相似，则应为含角的直角三角形，
令点坐标为，
对的位置情况进行分类讨论：
当点在轴上方，且时，如下图：
此时，，
∴，
得方程，
解得或（舍去），
当时，，
此时点的坐标为；
当点在轴上方，且时，如下图：
此时，，
∴，
得方程，
解得或（舍去），
当时，，
此时点的坐标为；
当点在轴下方，且时，如下图：
此时，，
∴，
得方程，
解得或（舍去），
当时，，
此时点的坐标为；
当点在轴下方，且时，如下图：
此时，，
∴，
得方程，
解得或（舍去），
当时，，
此时点的坐标为；
综上，满足条件的点的坐标为、、、．
4．【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
∴可得，
解得，
抛物线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
（2）解：设直线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
直线的解析式为；
轴，点的横坐标为，
，
，
解得或，
，
或；
（3）解：，
，，
当时，取最大值，最大值为．
长度的最大值是．
故答案为：．
5．【详解】（1）解：∵抛物线的图象分别交x轴于，交y轴于点，
∴将，代入中，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵点A和点B为抛物线与x轴的两个交点，
∴令，即，
解得，，
∴，，
设直线的解析式为：，
∵，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为：，
∵点P是第一象限抛物线上一点，轴于D，交直线于点E，
∴设，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
∵点P是第一象限抛物线上一点，
∴；
（3）①解：∵点P是x轴上方抛物线上一点，
∴设，，
∵P、Q关于抛物线对称轴对称，
∴，
∵轴交直线于点D，直线的解析式为：，
∴，
∴，
同理，，
，
∴，
∵矩形，
∴矩形的周长，
∴；
②解：当时，，此时二次函数开口向下，对称轴为直线，当时，l随m的增大而增大；
当时，，此时二次函数开口向下，对称轴为直线，当时，l随m的增大而减小；
当时，，此时二次函数开口向上，对称轴为直线，当时，l随m的增大而增大；
综上，当或时，l随m的增大而增大．
6．【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于两点，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：不存在实数m使得，理由如下：
为二次函数图象上两点，
，
．
．
配方，得．
∴当时，有最大值为．
，
∴不存在实数m使得；
（3）解：作轴于点，则，
∵对于二次函数，
∴令，则，
点C的坐标为，
设直线对应函数的解析式为，
由题意，得，
解得，
直线对应函数的解析式为；
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设点P的坐标为，则点D的坐标为，
∴，，
∴
，
∵，
∴当时，的最大值为．
7．【详解】（1）解：代入到，得，
∴，
代入和到，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得，，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴当时，线段长度取得最大值，此时；
如图1，作点关于轴的对称点，将点向上平移2个单位长度得到点，连接、、，
则，，，，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为，
∴的最小值为；
（3）解：设直线交轴于点，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
由（1）得，，
∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，
∴将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到新抛物线，
∴，
∵点D平移后的对应点为点F，，
∴；
①当点在点的左侧，记此时点为，
∵，，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
∴设直线的解析式为，
代入，得，
解得，
∴直线的解析式为，
当，则，
解得，
∴，
联立，
解得或，
∴点R的坐标为；
②当点在点的右侧，记此时点为，作轴于点，
则，
由①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入和，得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得或，
∴点R的坐标为；
综上，点R的坐标为或．
8．【详解】（1）解：∵抛物线经过、、，
则：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵点是抛物线上一点，位于轴上方，
∴设点，
∴，
∵、，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
，
，
，
∴点；
（3）解：∵，
∴作直线，在直线上找一点，连接，过点作垂直于直线交直线于点，
将绕点逆时针旋转得到，过点作垂直于直线交直线于点，连接，
∵点是抛物线对称轴上一点，
∴设点，
∵垂直于直线交直线于点，
∴点，
∴，．
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴．
∵垂直于直线，垂直于直线，
∴，
∵，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，．
∴点，
∴点．
∵点，点，
∴，
，
，
，
∵，
∴当，有最小值为．
9．【详解】（1）解：将点，代入中，
得
解得
抛物线的解析式为；
（2）解：对于，当
∴，
抛物线的解析式为，
对称轴为直线．
设，
∵
．
是以为底的等腰三角形，
，即，
解得，
点的坐标为；
（3）解：∵，
∴设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
，
如图，过点作轴交于点，
∴，
．
点的横坐标为，
，
，
当时，有最大值1，
∴有最小值2，此时．
10．【详解】（1）解：∵图象过，，
∴，解得：，
∴该抛物线解析式为；
（2）解：如图，过B作于点M，过Q作于点N，延长交x轴于点，
∵，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
由（1）得：，
当时，，
∴点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴要有最大值，则需最大，
设直线的解析式为，过点，，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
则当时，有最大值，
∴的最大值为，此时；
（3）解：存在，点G横坐标为，过程如下：
设直线的解析式为，过点，，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
∵抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，
∴设抛物线向右平移n个单位，则向上平移个单位，
∴，解得：，
∴，
∴抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，
∵，
∴平移后的抛物线解析式为，
∴，
∵，
∴，
∴设直线解析式为，
代入，得：
，解得：，
∴直线解析式为，
联立得，整理得：，
解得：，（舍去），
∴点G横坐标为．
11．【详解】（1）解：将点，代入得：，
解得，
∴该抛物线的解析式为，
将代入得：，
∴点的坐标为．
（2）解：由题意，画出图形如下：
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
∵抛物线上一点在直线上方，其横坐标为，且轴交于点，
∴，
∴，
∵轴轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为
，
由二次函数的性质可知，当时，的周长取得最大值，
此时，
∴点的坐标为．
（3）解：设点的横坐标为，
①如图，当点在直线的上方时，
过点作轴于点，作轴于点，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
将点代入得：，
解得或（不符合题意，舍去）；
②如图，当点在直线的下方时，
过点作轴于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
将点代入得：，
解得或（不符合题意，舍去）；
综上，点的横坐标为或．
12．【详解】（1）解：将代入可得，解得：，
所以抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴，
∵抛物线上两点，，
∴，，
设直线的解析式为，
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵直线与y轴交于点C，
∴，即；
设直线的解析式为，则，解得：，
∴直线的解析式为，
∵，
∴是的角平分线，
∴直线关于y轴对称，
设关于y轴的对称点在直线上，
∴，即，
∵，
∴，
∴，，
∴轴，
∴的长为．
（3）解：如图：

设直线的解析式为，，则，
∴ ，
∴当时，有最大值，
∵有最大值为8，
∴，解得：，
∴直线的解析式为或．
13．【详解】（1）解：∵顶点，，
∴顶点．
∴设原来抛物线为顶点式为：，
将代入得：．
①∵当时，，
∴点，
∵当时，，解得：，，
又∵点在点左侧，
∴点，点；
②∵，，
∴，，
∵设直线的解析式为：，
将点，点代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵点和在直线上，
将，分别代入中
∴，，
∴，．
如上图，过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，
∴点，点，点，
∴，，
∵点在直线上，
∴，
∴点，
∴，
∴；
（2）①∵顶点，
∴设原来抛物线为顶点式为：，
∵点代入得：，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为：，
∵，
∴，
∵当时，，
∴点，
∵设直线的解析式为：，
将点，点代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∴点，点，
分类讨论：
情况一：当点在对称轴的异侧，即，
如图，过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，
∴点，点，点，
∴，，
∵点在直线上，
∴，
∴点，
∴，
∴
，
，
，
∵，
∴，
解得：，（舍），
∴二次函数的解析式为：；
情况二：当点在对称轴的左侧，即，
如图，过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，
同情况一：，，点，点，
∴，
，
，
，
∵，
∴，
解得：，（舍），
∴二次函数的解析式为：；
情况三：当点在对称轴的右侧，即，
如图，过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，
同情况一：，，点，点，
∴，
，
，
，
∵，
∴，
解得：，（舍），
∴二次函数的解析式为：；
综上，，二次函数的解析式为：；
②∵，
∴设直线的解析式为：，
∴点，点，
∴，
∵，
∴点，
∵当时，，
∴点，
∵当时，，解得：，，
∴点，点．
如图，作点关于的对称点，与交于点，连接，，即，
过点作，且使，连接，；
过点作轴交轴于点，作，，与交于点，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴当三点共线时的值最小为．
∵，点，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，即，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴设点，代入中，，
∴点，
∵点是的中点，，
∴点，即点，
∵，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点，
∵点，
∴，
∴的最小值为．
∵设直线的解析式为：，
将点，点代入得：
，
由得：
，
，
将代入中得：，解得：
∴直线的解析式为：，
∵将和联立求出点坐标，
，
，
，
将代入，即，
∴点．
14．【详解】（1）解：当时，，则，
当时，，
解得：，
∴，；
（2）解：设直线的解析式为，代入，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
设，
∵轴，
∴，
∴，
∴的最大值为．
（3）解：∵直线，
设直线的解析式为，
联立，
消去得，，
即，
∵直线与抛物线有唯一公共点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为．
联立，
解得：，
∴的纵坐标为，
∴的坐标为．
15．【详解】（1）解：∵直线过点，点在轴上，
，
又，
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，设点，
∵轴，轴，
∴，，
，，
，
∵点在直线上方的抛物线上运动，
，
∴当时，取得最大值，最大值为．