2025—2026学年九年级中考数学二轮专题复习：二次函数中有关面积问题综合训练

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(1)求的值；
(2)若抛物线上有一点，满足，求点的坐标；
(3)结合图象，直接写出不等式的解集．
2．如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，是抛物线上的一点，连接．
(1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
(2)求的面积；
(3)在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．
3．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点．
(1)若，求点的坐标；
(2)如图，矩形的边在线段上，点、在抛物线上，则矩形周长的最大值为________．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，其顶点为D．E是y轴正半轴上一点，直线交抛物线L的对称轴于点P，已知，连接，，交抛物线L的对称轴于点F．
(1)求直线的函数表达式；
(2)连接，，当和面积相等时，求a的值；
5．已知如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)如图1，若点是第一象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，当时，求点的坐标．
(3)如图2，若是轴右侧抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，在平面内找一点，使得以点为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为．如果抛物线还经过点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)求四边形的面积；
7．如图，抛物线经过、两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当时，求的取值范围；
(3)点P为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．
8．平面直角坐标系中，抛物线存在两点，．
(1)______；
(2)求证：不论为何值，该函数的图象与轴都没有公共点；
(3)若，求的值．
9．如图，抛物线交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且对称轴交x轴于E，点D为抛物线顶点．
(1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；
(2)点P是直线下方的抛物线上一点，且．求点P的坐标；
(3)点M为抛物线对称轴上一点，是否存在以点B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
10．已知抛物线与直线交于点、，如图所示．

(1)点A的坐标为__________，B的坐标为__________；
(2)连接，求的面积；
(3)已知点，连接，若抛物线向下平移个单位长度时，与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围__________．
11．如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点直线经过点B、

(1)求抛物线的解析式；
(2)是直线上方的抛物线上一动点不与点B、C重合，过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线于点D，作于点设点P的横坐标为m，连接，线段把分成两个三角形，若这两个三角形的面积比为，求出m的值．
12．如图①，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②，点D是第二象限内抛物线上一点，且的面积为3时，求点D的坐标；
(3)G是二次函数图象对称轴上一点，若是等腰三角形，直接写出点G的坐标．
13．如图，抛物线 与x轴交于点和点 C，交y轴于点
(1)求抛物线的解析式；
(2)P是射线上的一个动点，过点 P作轴交抛物线于点 D，连接，当直线平分的面积时，请直接写出点 P 的坐标．
14．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．其中，，为坐标原点．
(1)直接写出该抛物线的解析式；
(2)如图1，点是线段上一点（不与端点重合），直线、与抛物线交于点、．设的面积为，的面积为，求的值；
(3)如图2，直线：交第三象限的抛物线于点，交抛物线另一点，抛物线第三象限上一点（不与点重合），直线、分别与轴交于点、，求证：．
15．如图，已知二次函数的图像交轴于点，交轴于点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)若是二次函数图像上的一点，且点在轴下方，线段交轴于点，，求点的坐标．
参考答案
1．【详解】（1）解：∵抛物线过，
∴，
∴；
（2）解：解方程组得或，
∴，
∵，
∴，
∴，，
当时，，
即，
∵，
∴此方程无实数解；
当时，，即，
解得，，
∴或；
（3）解：由图象知当或时，抛物线的图象在直线的下方，
∴不等式的解集为或．
2．【详解】（1）解：（1）∵抛物线与轴交于点，
，解得，
∴抛物线的解析式为，
∵．
∴顶点．
（2）解：如图，由（1）知，，
∴抛物线的对称轴为直线，
设对称轴与直线交于点，与轴交于点，作于点，
点在抛物线上，且横坐标为，
∴代入中，得，
，，
设直线的解析式为，∵，
∴，
解得：，∴直线，
令，得，∴．
，
，
即的面积为；
（3）假设存在满足条件的点，作轴于点，直线与轴交于点．
设直线的解析式为,把，代入，得
,
∴，
∴（舍去），，
∴，
∴，
∴，
，
∴．
轴，
，
∴，
又，
，
．
，
化简，得，
解得或0（舍）
由（2）知当时，，
．
即在第一象限内的抛物线上存在点，使．
3．【详解】（1）解：令得，或6，
∴，即，
∴，
解得，
当时，即，
解得，
∴或；
当时，即，
解得或4，
∴或；
综上，点C的坐标为或或或；
（2）解：设点，
∴．
又抛物线的对称轴是直线，
∴C的横坐标为．
∴．
∴矩形的周长．
∴当时，周长L有最大值13．
故答案为：13．
4．【详解】（1）解：当时，，
解得：，，
，，
，
，
，
，
设直线的函数表达式为，把A、E两点坐标分别代入，得，
解得：，
直线的函数表达式为；
（2）解：，
抛物线L的对称轴为直线，，
和面积相等，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
直线的解析式为，，
把代入，得，
解得：．
5．【详解】（1）解：∵抛物线经过点和，
∴
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，
令，得，
∴解得或，
即．
设点，其中
∵直线过点，
∴设直线的解析式为，将代入得
，
解得，
∴直线的解析式为．
令，得
，
∴，
即．
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
即，
，
解得或2或，
∵，
∴，
当时，，
∴．
（3）设直线的解析式为，
将分别代入，得
，
∴直线的解析式为，
∵F在直线上，
∴设，
①当为对角线时，如图
∵四边形是菱形，且在y轴上，
∴F、G关于y轴对称，
∴点F的纵坐标为，
解得，
即，
∴；
②当为边，为边时，如图
∵四边形是菱形，且在y轴上，
∴，
∵，
∴，
解得，
当时，，
∴，
则，
∴．
当时，，
∴，
则，
∴．
如图所示
∴点G的坐标为或；
③当为边，为对角线时，有，如图
此时点F与点B，E重合，不符合题意，
或此时点F与点C，E重合，不符合题意，如图所示
综上所述，点G的坐标为或或．
6．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于和两点，
∴抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：．
抛物线的解析式为；
（2）解：连接，如图，

，
点坐标为．
和，
，，
当时，，
，
．
∴．
7．【详解】（1）解：把、代入得，
解得，
抛物线的解析式为，顶点坐标为；
（2）抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为，
当时，函数有最小值，
当时，；当时，；
当时，；
（3）、，
，
设，
则，
即，
解得，
此时或 ，
坐标为或或或．
8．【详解】（1）解：当时，，
当时，，
即点A坐标为，点B坐标为．
；
故答案为：；
（2）证明：方程的判别式为．
∵，
∴方程无实数根，
即不论为何值，抛物线与x轴都没有公共点；
（3）解：∵，
∴点A在点B左侧，
如图，当，即时，
，
解得：（舍去）；
如图，当时，
∴，，
即，
解得：；
如图，当时，即时，
解得：；
综上所述，或．
9．【详解】（1）解：当时，
，
解得，
∵点A、B（点A在点B的左侧），
∴点A为，点B为，
当时，
，
∴点C为，
故答案为：，，；
（2）解：∵，
顶点，
，
，，
设直线解析式为：，
将点，点代入，
得，
解得，
直线的解析式为：，
如图，记直线与对称轴的交点为，
∴将代入，
点，
，
，
，
设中边上的高为，则
，
，
如图，设在直线下方的轴上有一点到的距离为，且，
，，
是等腰直角三角形，
，
点在过点与直线平行的直线上，
即将直线向下平移8个单位长度即可得到直线，
直线的解析式为：，
联立，
解得或，
点的坐标为或；
（3）解：点与点关于对称轴对称，点，点，
，
①如图，连接，以点为圆心，的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形，
由图知：当点位于点上方时，B、C、M三点共线，
∴此点舍去；
当点位于点下方时，点与点重合，此时点的坐标为；
②如图，以点为圆心，的长为半径画圆，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形．
在中，，，
，
此时点的坐标为或；
③如图，作线段的垂直平分线，与交于点，与轴交于点，与对称轴的交点即为所求点，此时，为等腰三角形．
连接，
为线段的垂直平分线，
，点为中点，
，
由中点坐标公式得点，
设，则，
在中，由勾股定理得：
，
解得，
点，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式，
得，
解得，
直线解析式为：，
将代入直线解析式得：，
此时点．
综上所述：点的坐标为或或或．
10．【详解】（1）解：联立抛物线与直线的方程：
解得，
将代入，得；将代入，得，
故点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：设直线与轴的交点为，如图：

令，得，即，
的面积可分割为与的面积之和，
代入，得：
；
（3）解：抛物线向下平移个单位后，解析式为．
线段的纵坐标为，横坐标范围是，
当抛物线与线段相切时，令，即，此方程有且仅有一个解，故，即，
当抛物线经过点时，代入得，解得，
当抛物线经过点时，代入得，解得，
结合图象，当时，抛物线与线段只有一个公共点，
综上，的取值范围是或．
故答案为：或．
11．【详解】（1）解：∵直线经过点B、C，
，
将点代入得，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）过点E作于点M，

点P的横坐标为m，
点，点，点，
，
，
，则，
为等腰直角三角形，
，
，
，
①当时，；
②当时，；
综上所述，或
12．【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：

由，得直线解析式为，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点G是直线上的一点，
∴设点G的坐标为，
令，则，
解得或，
∴，∵，
∴，，
∴，
当即时，
∴，
解得，
∴点G的坐标为；
当即时，
∴，
解得或，
∴点G的坐标为或；
设直线解析式为，
将点C坐标代入直线解析式得：，
解得：，
直线解析式为，
令，
当时，点G在直线上，点B、C、G不能构成三角形，故舍去，
当即时，
∴，解得，
∴点G的坐标为或；
综上，点G的坐标为或或或．
13．【详解】（1）解：将和代入抛物线解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，
或，
即，，
设直线得表达式为，
将点B、点D得坐标代入，得
，
解得，
直线得表达式为，
设点 P 的坐标为，则，，
，，
直线平分的面积，
，
，
即，
解得或（舍去），
点 P 的坐标为．
14．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，，顶点，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：设点，直线的解析式是，
则，
∴，
即的解析式是．
又抛物线与轴另一交点为，
∴同理可求的解析式是．
∴，
∴点．
联立，
解得．
又，
，
∴．
∴的值为．
（3）解：设，，，
直线的解析式为，
∴，
∴，
即直线的解析式是，
∴点的坐标是．
同理可求出点的坐标是，
又点，
∴，，
联立，
可得，
∴，
∴．
15．【详解】（1）解：将点代入二次函数，
可得，
解得，
∴该二次函数的表达式为；
（2）对于二次函数，
当时，可有，即，
∵，
∴，，
∴，
∵是二次函数图像上的一点，且点在轴下方，
∴可设，则，
∵，
∴，
整理可得，
解得，
∴点的坐标为或．