2026年九年级数学中考一轮复习专题二：二次函数中有关几何图形面积问题综合训练

这是一份2026年九年级数学中考一轮复习专题二：二次函数中有关几何图形面积问题综合训练，共27页。
（2）求n关于m的函数表达式；
（3）设抛物线C2的对称轴与抛物线C1交于点D，与直线AC交于点E，若S△PQDS△PCE=815，求m的值．
2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）过点A（7，﹣7），且它的对称轴为x＝3．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线对称轴上的一点，当△OAP的面积为21时，求点P的坐标；
（3）在（2）条件下，当点P在OA上方时，M是抛物线上的动点，求AM﹣PM的最大值．
3．已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线及直线BC的解析式；
（2）如图1，过点B作BD⊥AC，交抛物线于另一点D，求点D的坐标；
（3）如图2，P是x轴正半轴一动点（不与点B重合），过点P作y轴的平行线交直线CB于点E，连接AE，设点P的横坐标为m，△APE的面积为S．
①求S关于m的函数解析式；
②若当0＜m≤t时，S有最大值为92，请直接写出实数t的取值范围．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−12x2+bx+c经过点A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C（0，4），连接AC，BC．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；
（3）点M从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴移动，运动时间为t s，当∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．
5．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，0）和C（0，2），一次函数y＝mx+n过点B，C．点P是直线BC上方二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）直接写出二次函数和一次函数的解析式；
（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）连接AC，连接AP交BC于点M，记△ACM面积为S1，△PCM面积为S2，在点P运动的过程中，判断S2S1是否存在最大值，若存在，求出其最大值，若不存在，请说明理由．
6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，点P为线段BC上一动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，连接AP交抛物线y＝ax2+bx﹣3于点D，连接BD，△BPD的面积记为S1，△ABP的面积记为S2，当S1S2取得最大值时，求点D的坐标；
（3）如图2，连接OP，在线段OB上取点F，使BF＝CP，连接CF，当CF+OP取最小值时，请求出此时tan∠COP 的值．
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点．
（1）求线段AB的长；
（2）当a=12时，若△ABD的面积是△ACD面积的两倍，求点D的坐标；
（3）延长CD交x轴于点F，AD＝DF，试探究直线DE是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
8．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P为抛物线的顶点，直线PC交x轴于点D．
（1）若点C的坐标为（0，3），
（i）当点A的坐标为（﹣1，0）时，求抛物线的顶点坐标；
（ii）当PC＝CD时，求直线PD的解析式；
（2）若c=4−b24，S△PBC＝3，求b的值．
9．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（1，0），且AO＝CO．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在抛物线上位于第一象限的部分是否存在点P，使得S△ABP=53S△ABC，若存在，请求出点P坐标，若不存在，说明理由；
（3）将线段BC向左平移k（k＞0）个单位长度，若线段BC与抛物线有唯一交点，请直接写出k的取值范围．
10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1，点D为抛物线第二象限上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接AD，DC，DO，若S△ADO=23S△DOC，求D点坐标；
（3）如图2，连接BD，F为BD上一点，射线CF交抛物线于E，若△CFB∽△EFD，点F横坐标是否为定值？若是，请求出F的横坐标；若不是，请说明理由．
11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴相交于A（4，0），B（﹣2，0）两点，交y轴于点C，
（1）求抛物线解析式，并求出该抛物线对称轴及顶点坐标．
（2）如图，点M是抛物线对称轴上的一点，求△MBC周长的最小值．
（3）如图，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．
12．二次函数图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，在该图象上有一点P，连接BP，CP．设P点的横坐标为m（0＜m＜4）．
（1）若C（0，3），
①求该二次函数的表达式；
②m为何值时，△BCP的面积取得最大值？
（2）连接AP交y轴于点E，直线BP交y轴于点F，求证：CECF是定值．
13．如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标；
（4）若点P在直线AC上，点Q是平面上一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点C(0，−32)，连接AC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点F在线段OB上，直线CF交第一象限的抛物线于点E，连接AE．当CFEF=35时，求△ACE的面积；
（3）在（2）的条件下，第二象限的抛物线上是否存在点M，使得∠AEM＝∠AFC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）代入二次函数y=34x2+bx−94中，
得0=34−b−94，故b=−32，
故答案为：−32；
（2）平移后的函数图象如图1所示，
抛物线C1的表达式为y=34x2−32x−94=34(x−1)2−3，
故顶点C坐标为（1，﹣3）．
设平移后的抛物线C2解析式为y=34(x−1−m)2−3+n，
故P（m+1，n﹣3）．
已知四边形ACPQ是平行四边形，连接AP、CQ交于点M，且A（﹣1，0），
根据平行四边形对角线互相平分可得点M的坐标为（m2，n−32），
∵点C坐标为（1，﹣3），
∴点Q的坐标为（m﹣1，n）．
∵点Q在抛物线C1上，
∴把Q（m﹣1，n）代入y=34x2−32x−94中，
可得n=34(m−1)2−32(m−1)−94=34m2−3m，
即n关于m的函数表达式为n=34m2−3m；
（3）如图2所示，
由（2）可知P点坐标为（m+1，34m2−3m−3），
∵C（1，﹣3），A（﹣1，0），
∴由待定系数法可得直线AC的表达式为y=−32x−32，
把x＝m+1代入y=−32x−32中，可得y=−32m−3，
即E（m+1，−32m−3）；
把x＝m+1代入y=34x2−32x−94中，可得y=34m2−3，
即D（m+1，34m2−3）．
∴S△PQD=12PD(xP−xQ)=12×（34m2−3−34m2+3m+3）×2＝3m，
S△PCE=12PE（xP﹣xC）=12×（34m2−3m−3+32m+3）×m=12m（34m2−32m），
∵S△PQDS△PCE=815，
即3m12m(34m2−32m)=815，整理可得m2﹣2m﹣15＝0，
解得m＝5或﹣3（舍去），
故m的值为5．
2．【解答】解：（1）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）过点A（7，﹣7），且它的对称轴为直线x＝3，
依题意得：−b2a=3，49a+7b=−7.
解得：a=−1，b=6.
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+6x；
（2）如图1，
设直线OA的函数解析式为y＝mx，将点A的坐标代入得：
﹣7＝7m，
解得：m＝﹣1．
∴直线OA的函数解析式为y＝﹣x，
设OA和对称轴x＝3的交点为点Q．
当x＝3时，得：y＝﹣3，
∴点Q的坐标为（3，﹣3）．
∵点P是抛物线对称轴上的一点，△OAP的面积为21，
∴设点P的坐标为（3，n），
∴PQ＝|n+3|，
∴S△OAP=S△OQP+S△AQP=12PQ×7=21，
即72|n+3|=21，
解得n＝3或n＝﹣9，
∴点P的坐标为（3，3）或（3，﹣9）；
（3）点P在OA上方时，M是抛物线上的动点，如图2，连接AP并延长交抛物线于点M，则点M即为所求．AM﹣PM的最大值为AP的长．
过点A作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，
∵A（7，﹣7），P（3，3），
∴PN＝3﹣（﹣7）＝10，AN＝7﹣3＝4，
在直角三角形APN中，由勾股定理得：AP=AN2+PN2=42+102=229．
即AM﹣PM最大值为229．
3．【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），
则﹣8a＝4，则a=−12，
则抛物线的表达式为：y=−12x2+x+4；
由抛物线的表达式知，点C（0，4），设直线BC的表达式为：y＝kx+4，
将点B的坐标代入上式得：0＝4k+4，则k＝﹣1，
则直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；
（2）由点A、C的坐标得，直线AC表达式中的k值为2，
∵BD⊥AC，则直线BD表达式中的k值为−12，
则直线BD的表达式为：y=−12（x﹣4），
联立上式和抛物线的表达式得：−12（x﹣4）=−12x2+x+4，
解得：x＝4（舍去）或﹣1，
即点D（﹣1，2.5）；
（3）①设点E（m，﹣m+4），
则S=12×AP×PE=12×（m+2）（﹣m+4）=−12m2+m+4；
②由①得：S=−12m2+m+4=−12（m﹣1）2+92≤92，
故t≥1．
4．【解答】解：（1）由题意得：c=4−12×4−2b+c=0，
解得：b=1c=4，
故抛物线的表达式为y=−12x2+x+4①；
（2）由点A、B的坐标知，OB＝2OA，
故CO将△ABC的面积分成2：1两部分，此时，点P不在抛物线上；
如图1，当BH=13AB＝2时，CH将△ABC的面积分成2：1两部分，
即点H的坐标为（2，0），
则CH和抛物线的交点即为点P，
由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝﹣2x+4②，
联立①②并解得x=6y=8（不合题意的值已舍去），
故点P的坐标为（6，﹣8）；
（3）在OB上取点E（2，0），则∠ACO＝∠OCE，
∵∠OCA＝∠OCB﹣∠OMA，故∠AMO＝∠ECB，
过点E作EF⊥BC于点F，
在Rt△BOC中，由OB＝OC知，∠OBC＝45°，
则EF=22EB=22（4﹣2）=2=BF，
由点B、C的坐标知，BC＝42，
则CF＝BC﹣BF＝42−2=32，
则tan∠ECB＝EF：CF=2：32=13=tan∠AMO，
则tan∠AMO＝AO：OM＝2：OM=13，
则OM＝6，
故CM＝OM±OC＝6±4＝2或10，
则t＝2或10．
5．【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝2，则a=−12，
则抛物线的表达式为：y=−12x2+32x+2；
设直线BC的表达式为：y＝mx+2，
将点B的坐标代入上式得：0＝4m+2，则m=−12，
则一次函数的表达式为：y=−12x+2；
（2）设点P（x，−12x2+32x+2），则点E（x，−12x+2），
∵△CEP是以PE为底边的等腰三角形，则点C在PE的中垂线上，
即2=12（−12x2+32x+−12x+2），解得：x＝2，
即点P（2，3）；
（3）存在，理由：
设点P（x，−12x2+32x+2），则点E（x，−12x+2），
则PE=−12x2+2x，
作AN∥y轴交CB于点N，
则△ANM∽△PEM，则PM：AM＝PE：AN，
当x＝﹣1时，y=−12x+2=52，
∵S2：S1＝PM：AM＝PE：AN=25（−12x2+2x）=−15（x﹣2）2+45≤45，
故S2：S1的最大值为45．
6．【解答】解：（1）由题意得：y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x2﹣4x﹣12），
则﹣12a＝﹣3，则a=14，
故抛物线的表达式为：y=14x2﹣x﹣3；
（2）过点D作DH∥y轴交BC于点H，作AN∥y轴交BC于点N，由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3），
则△HDP∽△NAH，则PD：AP＝HD：AN，
则S1：S2＝PD：AP＝HD：AN，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=12x﹣3，则点N（﹣2，4），则AN＝4，
设点H（x，12x﹣3），则点D（x，14x2﹣x﹣3），
即S1：S2＝PD：AP＝HD：AN=14HD=14[12x﹣3﹣（14x2﹣x﹣3）]=−116x2+38x，
∵−116＜0，故S1：S2＝有最大值，
此时x＝3，即点D（3，−154）；
（3）过点C作AN∥x轴（则∠NCP＝∠FBC）使CN＝BC=36+9=35，连接PN，
则当O、P、N共线时，CF+OP最小，理由：
∵∠NCP＝∠FBC，CN＝BC，BF＝CP，
则△FBC≌△PCN（SAS），
则PN＝CF，
则CF+OP＝OP+PN，即当O、P、N共线时，CF+OP＝ON最小，
则tan∠COP＝tan∠CON＝CN：OC＝35：3=5．
7．【解答】解：（1）令y＝ax2﹣4ax﹣5a＝0，则x＝﹣1或5，
即点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（5，0），
则AB＝6；
（2）当a=12时，抛物线的表达式为：y=12（x2﹣4x﹣5），则点C（2，−92），
设D的横坐标为m，
连接AD，分别过点B、C作AD的平行线BM、CN，两条直线和y轴的交点为M、N，
由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝（12m−52）（x+1），
则点T（0，12m−52），
同理可得，点M、N的坐标分别为：（0，252−52m）、（0，12−m），
∵△ABD的面积是△ACD面积的两倍，
则TM＝2TN，
则xM+2xN＝3xT，
即252−52m+1﹣2m=32m−152，则m=72，
则点D（72，−278）；
（3）过定点，理由：
设D的横坐标为m，
由点C（2，﹣9a）、D的坐标得直线CD的表达式为：y＝（am﹣2a）（x﹣2）﹣9a，
令y＝0，则yF＝2+9m−2，
∵AD＝DF，则xD=12（xA+xF），
即m=12（﹣1+2+9m−2），
则m＝﹣1（舍去）或72，
即D（72，−278），
由点A、D的坐标得，直线AD的表达式为：y＝a（﹣4x﹣5）+72x，
当x=−54时，y=−358，
即过定点（−54，−358）．
8．【解答】解：（1）（i）把点A和点C坐标代入解析式中得−1−b+c=0c=3，
解得b=2c=3，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点坐标为（1，4）；
（ii）在y＝﹣x2+bx+c（b＞0）中，当x＝0时，y＝c，
∴C（0，c），
∵点C的坐标为（0，3），
∴c＝3，
∵PC＝CD，
∴点C为PD的中点，
∵直线PC交x轴于点D，即点D的纵坐标为0，
∴点P的纵坐标为6，
∵y=−x2+bx+3=−(x−b2)2+b24+3，
∴点P的坐标为(b2，b24+3)，
∴b24+3=6，
∴b=23或b=−23＜0（舍去），
∴P(3，6)，
设直线PD解析式为y＝kx+b′，
则将点C与点P代入y＝kx+b′得：3k+b′=6b′=3，
∴k=3b′=3，
∴y=3x+3；
（2）当c=4−b24时，y=−x2+bx+4−b24=−(x−b2)2+4，
∴点P的坐标为(b2，4)，
令y=(x−b2)2+4=0，解得x=b2+2或x=b2−2，
∴B(b2+2，0)，
同理求出直线BC解析式为y=b−42x+4−b24，
过点P作PD∥y轴交BC于D，则D(b2，b−42⋅b2+4−b24)，即D(b2，4−b)，
∴PD＝4﹣（4﹣b）＝b，
∵S△PBC＝S△PCD+S△PBD，
∴12PD⋅(xD−xC)+12PD⋅(xB−xD)=3，
∴12b⋅b2+12b(b2+2−12b)=3，
∴b2﹣4b﹣12＝0，
∴b＝2或b＝﹣6（不符合题意，舍去）．
9．【解答】解：（1）将 x＝0 代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得 y＝﹣3．
∴点C的坐标为 （0，﹣3），
∵OA＝OC，
∴点A的坐标为（﹣3，0）．
已知点B的坐标为（1，0），
设函数解析式为 y＝a（x+3）（x﹣1）．
将点C（0，﹣3）代入，得a＝1．
∴二次函数的解析式为y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；
（2）∵△ABC 与△ABP等底，且S△ABP=53S△ABC，
∴yP=53OC=5，
将yP＝5代入y＝x2+2x﹣3，
得关于x的方程x2+2x﹣8＝0，
解得x1＝﹣4（舍），x2＝2．
∴点P的坐标为（2，5）；
（3）线段BC的平移轨迹为平行四边形，数形结合可得若线段BC与抛物线有唯一交点时，
则临界点是BC过点C关于抛物线对称轴的对称点（2，﹣3）（即k＝2）和过点A（﹣3，0），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝3x﹣3，平移后的表达式为：y＝3（x+k）﹣3，
将点A的坐标代入上式得：0＝3（﹣3+k）﹣3，
则k＝4，
故k的取值范围为2≤k≤4．
10．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，
∴点B的坐标为（3，0），
把A（﹣1，0）和B（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3中得：a−b−3=09a+3b−3=0，
解得：a=1b=−2，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点D的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），
∵点D为抛物线第二象限上一点，
∴t＜﹣1，
∵S△ADO=23S△DOC，
∴3S△ADO＝2S△DOC，
∴3×12×1×（t2﹣2t﹣3）＝2×12×3×（﹣t），
∴t＝±3，
∴t=−3，
∴D点坐标为（−3，23）；
（3）设BC的解析式为：y＝kx+c，
把B（3，0），C（0，﹣3）代入得：3k+c=0c=−3，
解得：k=1c=−3，
∴BC的解析式为：y＝x﹣3，
如图2，设点E的坐标为（d，d2﹣2d﹣3），设直线DE交x轴于点K，过点E作EG⊥x轴于G，过点D作DH⊥x轴于H，则∠EGK＝∠DHK＝90°，
由（2）设点D的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝45°，
易得BD的解析式为：y＝（t+1）x+（﹣3t﹣3），
∵△CFB∽△EFD，
∴∠BCF＝∠DEF，
∴DE∥BC，
∴∠OBC＝∠AKE＝45°，
∴△EGK是等腰直角三角形，
∴EG＝KG，
同理得△DHK是等腰直角三角形，
∴DH＝KH＝t2﹣2t﹣3，
∴d2﹣2d﹣3＝d﹣t+t2﹣2t﹣3，
∴d2﹣3d＝t2﹣3t，
∴d2﹣t2＝3d﹣3t，
∴（d+t）（d﹣t）＝3（d﹣t），
∴（d﹣t）（d+t﹣3）＝0，
∵d﹣t≠0，
∴d+t﹣3＝0，
∴d＝3﹣t，
∴点E的坐标为（3﹣t，t2﹣4t），
易得EC的解析式为：y＝（1﹣t）x﹣3，
∴（1﹣t）x﹣3＝（t+1）x+（﹣3t﹣3），
∴2tx＝3t，
∵t≠0，
∴x=32，
∴点F横坐标是定值，这个定值是32．
11．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴相交于A（4，0），B（﹣2，0）两点，将点A，点B的坐标分别代入得：
16a+4b−4=04a−2b−4=0，
解得：a=12b=−1，
∴抛物线的解析式为y=12x2−x−4，
∵y=12x2−x−4=12(x−1)2−92，
∴抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，−92)；
（2）∵点M在对称轴上，A、B关于对称轴对称，
∴AM＝BM，
∴△MBC的周长＝BM+CM+BC＝AM+CM+BC≥AC+BC，
如图1，当点A、C、M在同一条直线上时AM+CM可取得最小值，为AC的长，
即当点A、C、M在同一条直线上时，△MBC周长的最小，为AC+BC，
已知抛物线y=12x2−x−4交y轴于点C，
当x＝0时，得：y＝﹣4，
∴点C（0，﹣4），
在直角三角形AOC中，由勾股定理得：AC=42+42=42，
在直角三角形BOC中，由勾股定理得：BC=22+42=25，
∴△MBC周长的最小值为：BC+AC=25+42．
（3）设P（m，0），则﹣2＜m＜4，
∵A（4，0），B（﹣2，0），
∴PA＝4﹣m，PB＝m+2，
∵PD∥AC，
∴△BDP∽△BCA，
∴PDAC=BPAB，即PD42=m+26，
解得：PD=223(m+2)，
如图2，过点P作PM⊥AC，
在Rt△AOC中，OA＝OC＝4，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∴PM=AP2=22(4−m)，
∴△PCD的面积S=12PD•PM=12×22(4−m)×223(m+2)=13(m+2) (4−m)=−13m2+23m+83，
∴S=−13(m−1)2+3，
∴△PCD面积的最大值为3，此时m＝1，
∴PA＝4﹣m＝3，PD=223(m+2)=22，
∴PA≠PD，
∴以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．
12．【解答】（1）解：①由题意得：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
则﹣4a＝3，则a=−34，
则抛物线的表达式为：y=−34x2+94x+3；
②由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=−34x+3，
作PH∥y轴交BC于点H，设点P（m，−34m2+94m+3），则H（m，−34m+3），
则PH=−34m2+3m，
则△BCP的面积=12×BO×PH=12×4×（−34m2+3m）＝2（−34m2+3m），
当m＝2时，△BCP的面积取得最大值；
（2）证明：由（1）知，抛物线的表达式为：：y＝a（x+1）（x﹣4），则点C（0，﹣4a），
点P（m，a（m+1）（m﹣4）），
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：y＝a（m﹣4）（x+1），则点E（0，am﹣4a），
则CE＝﹣4a﹣am+4a＝﹣am，
同理可得，CF＝﹣4am，
则CECF=14为定值．
13．【解答】解：（1）把A（3，0）代入二次函数y＝﹣x2+2x+m得：
﹣9+6+m＝0，
m＝3；
（2）由（1）可知，二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x＝﹣1或3，
∴B（﹣1，0）；
（3）∵S△ABD＝S△ABC，
当y＝3时，﹣x2+2x+3＝3，
﹣x2+2x＝0，
x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或2，
∴只有（2，3）符合题意．
综上所述，点D的坐标为（2，3）；
（4）存在，理由：
①当AB是矩形的边时，此时，对应的矩形为ABP′Q′，
∵AO＝OC＝3，故∠PAB＝45°，
∴矩形ABP′Q′为正方形，
故点Q′的坐标为（3，4）；
②当AB是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，
同理可得，矩形APBQ为正方形，
故点Q的坐标为（1，﹣2），
故点Q的坐标为（3，4）或（1，﹣2）．
14．【解答】解：（1）∵A(−1，0)，C(0，−32)，
∴12−b+c=0c=−32，
解得b=−1，c=−32，
∴该抛物线的函数表达式为y=12x2−x−32．
（2）过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图1，
∴∠COF＝∠EHF＝90°，
∵∠OFC＝∠HFE
∴△OFC∽△HFE，
∴OCHE=OFHF=CFEF=35，
∴HE=5OC3，OF=3HF5，
∵C(0，−32)
∴OC=32，
∴HE=52，
设E（x，y），
∴y=52，
∴12x2−x−32=52，
解得：x1＝4，x2＝﹣2（不合题意，舍去），
∴E(4，52)，
∴OH＝4，
∵OFHF=35，HF=4−OF，
∴OF=32，HF=52，
∴AF=52，
∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵S△ACE＝S△AFC+S△AFE，
∴S△ACE=12AF⋅OC+12AF⋅EH
=12×52×32+12×52×52
＝5；
（3）第二象限的抛物线上存在点M，使得∠AEM＝∠AFC；理由如下：
过点A作AE的垂线交线段EM的延长线于点N，如图2，
∴∠EAN＝90°，
根据解析（2）可知：OF=OC=32，∠COF=90°，HF=52，AF=52，
∴∠AFC＝45°，AH＝5，
∵∠AEM＝∠AFC，
∴∠AEM＝45°，
∵∠NAE＝90°，
∴△EAN为等腰直角三角形，
∴AE＝AN，
过点N作NP⊥x轴，垂足为P．
∴∠APN＝∠EHA＝90°，
∴∠BAN+∠PNA＝90°，
∵∠EAN＝90°，
∴∠PAN+∠EAH＝90°，
∴∠PNA＝∠HAE，
在△PAN和△HEA中，
∠PNA=∠HAE∠APN=∠EHAAN=EA，
∴△PAN≌△HEA（AAS），
∴PA=HE=52，PN=HA=5，
∴OP=OA+BA=72，
设直线EM的函数表达式为y＝kx+b1（k≠0），将N(−72，5)，E(4，52)分别代入得：
−72k+b1=54k+b1=52，
解得k=−13b1=236，
∴直线EM的函数表达式为y=−13x+236，
设M(m，12m2−m−32)，
∴12m2−m−32=−13m+236，
解得m1＝4（不合题意，舍去），m2=−83，
∴12m2−m−32=8518，
∴M(−83，8518)，
∴第二象限的抛物线上存在点M，使得∠AEM＝∠AFC；点M(−83，8518)．