广东省湛江市第二十一中学高一下学期期中考试数学试题-A4

这是一份广东省湛江市第二十一中学高一下学期期中考试数学试题-A4，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟，满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2.已知直线a在平面α外，则（ ）
A．a//α B．直线a与平面α至少有一个公共点
C．a∩α＝A D．直线a与平面α至多有一个公共点
3．是平面内不共线两向量，已知，，，若A、B、D三点共线，则的值为（ ）
A．3B．C．D．2
4.知为 的三个内角 的对边，向量 ．若 ，且 ，则角的大小分别为（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．B．6C．D．3
6．如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么V1︰V2＝( )
A．6︰5 B．7︰5
C．8︰3 D．4︰3
7. 如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东方向，距离海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北方向的C处，且已知A，C之间的距离为10海里，则该货船的速度大小为（ ）
A. 海里/小时 B. 海里/小时
C. 海里/小时 D. 海里/小时
8．如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为( )
A. 1 B. C. 2 D.12
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．在△ABC中，若AB=AC，BC=4，则BA⋅BC=8
B．若|a|=2，|b|=2，则a>b
C．已知向量a=(2,−1)，b=(x,1)，a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是(−∞,−2)∪−2,12
D．已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，则“sinA>sinB”的充要条件是“A>B”
10．已知复数z=i1−i5,z是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．z的虚部为−12i B．z−i=2
C．z在复平面内对应的点位于第二象限 D．z为方程2x2+2x+1=0的一个根
11．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是AD,DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（ ）
A．不存在点P，使得FP//平面ABC1D1
B．过B,E,F三点的平面截正方体所得截面面积是92
C．三棱锥C1−A1B1P的体积不为定值
D．三棱锥F−ACD的外接球表面积为9π
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知△ABC的面积为3，A=2π3，BA⋅BC=6，则AC= .
13．三棱锥D−ABC中，DA⊥平面ABC,AB⊥BC,DA=AB=3,BC=2，则该三棱锥的外接球表面积等于 .
14．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着紧密联系，在如图所示的五角星中，以P，Q，R，S，T为顶点的多边形为正五边形，且AT=5+12TS，设ES−AP=λQBλ∈R，则λ= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3．
(1)若a⋅b=3，求向量a与a−b的夹角；
(2)若a+b=3．求a−2b的值．
16．（15分）如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=3，bsinC=asinA−bsinB−csinC．过点A作AD⊥AB交线段BC于点D，且AD=DC．
(1)求∠BAC；
(2)求△ABC的面积．
17．（15分）已知直三棱柱（如图所示），底面△ABC是边长为2的正三角形，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
18．（17分）已知△ABC的内角A,B,C的对边为a,b,c，且3sinA−sinBsinC=3c−2ba+b.
(1)求sinA;
(2)若△ABC的面积为1632;
(ⅰ)已知E为BC的中点，且b+c=8，求△ABC底边BC上中线AE的长;
(ⅱ)求内角A的角平分线AD长的最大值.
19．（17分）如图，在四棱锥中，四边形是正方形，，E为侧棱PD上的点，且.
(1)证明：；
(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.