2025~2026学年重庆市长寿区高二上期末检测数学检测试卷

这是一份2025~2026学年重庆市长寿区高二上期末检测数学检测试卷，共5页。试卷主要包含了 康托等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知在所在平面内，为空间中任一点，若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知圆与圆交于，两点，若，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
4. 设椭圆的中心为，右顶点为，若上存在一点满足，则的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过作直线l与双曲线的右支交于两点（M在第一象限），，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知各项均不为零的数列满足，对于任意的正整数，，则的个位数字为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
7. 康托（Cantr）是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使“康托三分集”的各区间长度之和小于，则需要操作的次数的最小值为（ ）
（参考数据：，）
A. 5B. 6C. 7D. 8
8. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 设数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 若数列为等差数列，则
B. 若数列为等差数列，则
C. 若数列为等比数列，则或-6
D. 若数列等比数列，则或
10. 已知圆与圆相交于A，B两个不同的点，则下列说法正确的是（ ）
A. 实数的取值范围为
B. 当时，两圆的公共弦长
C. 当时，
D. 若，则
11. 已知抛物线的焦点为，准线为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A. 以为直径的圆与相切
B. 若，则直线的斜率的绝对值为1
C. 为锐角三角形
D
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则向量与的夹角为_________；直线与所成角的余弦值为_________.
13. 在平面直角坐标系中，关于曲线：（），给出下列四个结论：
①曲线有且仅有一条对称轴；
②曲线恰好经过8个整点（横坐标与纵坐标都为整数的点，称为整点）；
③曲线所围成的区域面积；
④曲线上点与原点的距离的最大值为．
其中所有正确结论的序号是______．
14. 已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.

（1）证明：；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度.
16. 已知圆内有一点．过点且倾斜角为的直线与圆交于两点．
（1）当弦被点平分时，求直线的方程和的值；
（2）若，求直线的方程．
17. 记数列的前项和为，已知，数列满足：．
（1）求的通项公式；
（2）求证：数列为等差数列，并求的通项公式．
18. 已知函数
（1）当时，求在点处的切线方程；
（2）试讨论函数零点个数；
（3）当函数恰有三个零点，且时，求证：.
19. 已知抛物线：经过点，且为的焦点，为坐标原点.
（1）求抛物线方程.
（2）设，为上两个不同的点，且三点不共线，直线，的斜率分别为，，且.
（i）试问直线是否经过定点?若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
（ii）若直线与轴的交点位于之间，设两点到直线的距离之和为，两点到直线的距离之和为，求的取值范围.