重庆市长寿区2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上
无效.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
第 I 卷（选择题）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知 在 所在平面内， 为空间中任一点，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知圆 与圆 交于 ， 两点，若 ，则
（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
4. 设椭圆 的中心为 ，右顶点为 ，若 上存在一点 满足 ，则 的
离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，过 作直线 l 与双曲线的右支交
于 两点（M 在第一象限）， ，且 ，则双曲线的离心率为（ ）
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A. B. C. D.
6. 已知各项均不为零的数列 满足 ，对于任意的正整数 ， ，则
的个位数字为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 康托（Cantr）是十九世纪末二十世纪初德国伟大的数学家，他创立的集合论奠定了现代数学的基础.著
名的“康托三分集”是数学理性思维的产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 均分
为三段，去掉中间的区间段 ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 ， 分别均分为三
段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各
个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集
合即是“康托三分集”.若使“康托三分集”的各区间长度之和小于 ，则需要操作的次数 的最小值为
（ ）
（参考数据： ， ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8. 已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 设数列 的前 项和为 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 若数列 为等差数列，则
B. 若数列 为等差数列，则
C. 若数列 为等比数列，则 或-6
D. 若数列 等比数列，则 或
10. 已知圆 与圆 相交于 A，B 两个不同的点，则下列说法正确的是
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（ ）
A. 实数 的取值范围为
B. 当 时，两圆的公共弦长
C. 当 时，
D. 若 ，则
11. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为坐标原点，过点 的直线与抛物线 交于 ， 两
点，分别过点 ， 作 的垂线，垂足分别为 ， ，则（ ）
A. 以 为直径的圆与 相切
B. 若 ，则直线 的斜率的绝对值为 1
C. 为锐角三角形
D
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ，其中，以顶点 为端点的三条棱长均为 6，
且它们彼此的夹角都是 60°，则向量 与 的夹角为_________；直线 与 所成角的余弦值为
_________.
13. 在平面直角坐标系 中，关于曲线 ： （ ），给出下列四个结论：
①曲线 有且仅有一条对称轴；
②曲线 恰好经过 8 个整点（横坐标与纵坐标都为整数的点，称为整点）；
③曲线 所围成的区域面积 ；
④曲线 上 点与原点的距离的最大值为 ．
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其中所有正确结论的序号是______．
14. 已知函数 ，若 恒成立，则实数 a 的取值范围为________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在边长为 2 的正方体 中， 是棱 上的点，平面 交棱 于点 .
（1）证明： ；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长度.
16. 已知圆 内有一点 ．过点 且倾斜角为 的直线 与圆 交于 两
点．
（1）当弦 被点 平分时，求直线 的方程和 的值；
（2）若 ，求直线 的方程．
17. 记数列 的前 项和为 ，已知 ，数列 满足： ．
（1）求 的通项公式；
（2）求证：数列 为等差数列，并求 的通项公式．
18. 已知函数
（1）当 时，求 在点 处的切线方程；
（2）试讨论函数 零点个数；
（3）当函数 恰有三个零点 ，且 时，求证： .
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19. 已知抛物线 ： 经过点 ，且 为 的焦点， 为坐标原点.
（1）求抛物线 方程.
（2）设 ， 为 上两个不同的点，且 三点不共线，直线 ， 的斜率分别为 ， ，且
.
（i）试问直线 是否经过定点?若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
（ii）若直线 与 轴的交点位于 之间，设 两点到直线 的距离之和为 ， 两点到直线
的距离之和为 ，求 的取值范围.