湖北省八市2023-2024学年高三下学期3月联考试题 数学 含解析

这是一份湖北省八市2023-2024学年高三下学期3月联考试题 数学 含解析，共14页。试卷主要包含了706，841，635，879等内容，欢迎下载使用。
命题单位：随州市教学研究室 2024.3
本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．3D．5
3．设复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在正方体中，分别为的中点，则与平面垂直的直线可以是（ ）
A．B．C．D．
5．已知今天是星期三，则天后是（ ）
A．星期一B．星期二C．星期三D．星期五
6．已知函数为偶函数，其图像在点处的切线方程为，记的导函数为，则（ ）
A．B．C．D．2
7．设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某校为了解高一新生对数学是否感兴趣，从400名女生和600名男生中通过分层抽样的方式随机抽取100名学生进行问卷调查，将调查的结果得到如下等高堆积条形图和列联表，则（ ）
参考数据：本题中
A．表中
B．可以估计该校高一新生中对数学不感兴趣的女生人数比男生多
C．根据小概率值的独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣有差异
D．根据小概率值的独立性检验，可以认为性别与对数学的兴趣没有差异
10．某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数的图象是双曲线，设其焦点为，若为其图象上任意一点，则（ ）
A．是它的一条对称轴B．它的离心率为
C．点是它的一个焦点D．
11．已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．一定能被3整除D．的取值集合为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若，则______．
13．设等比数列的前项和为，若，则公比的取值范围为______．
14．记分别表示函数在上的最大值和最小值．则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在中，已知．
（1）求的大小；
（2）若，求函数在上的单调递增区间．
16．（15分）如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为．
（1）当时，求后质点移动到点0的位置的概率；
（2）记后质点的位置对应的数为，若随机变量的期望，求的取值范围．
17．（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，点在上，点为的中点，且平面．
（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
18．（17分）已知双曲线经过椭圆的左、右焦点，设的离心率分别为，且．
（1）求的方程；
（2）设为上一点，且在第一象限内，若直线与交于两点，直线与交于两点，设的中点分别为，记直线的斜率为，当取最小值时，求点的坐标．
19．（17分）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
（1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
（2）由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明；
（3）设，证明：．
2024年湖北省八市高三（3月）联考
数学参考答案与评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．C 2．B 3．D 4．D 5．A 6．A 7．C 8．B
第1题提示：．
第2题提示：．
第3题提示：将代入方程得：，得，即．
第4题提示：易得平面平面为正三棱锥，得平面，故平面，若其他选项也符合，则平行于，不成立．
第5题提示：
．
第6题提示：偶函数的导数为奇函数，可以根据对等式两边求导，或通过图象验证．
第7题提示：设，由可得．
第8题提示：
易知点关于直线的对称点为，求直线的方程：
与互余
故，
易得（或只求）
由得，即有，
解得，得或，
若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件．
其他方法：先求点坐标，再求直线的方程；或者设点和的坐标，通过，三点共线构造方程求解．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．ACD 10．ABD 11．AB
说明：多选题有错选得0分，第9、10题选对1个答案给2分，选对2个答案给4分，选对3个答案给6分；第11题选对1个答案给3分，选对两个答案给6分．
第9题提示：女生不感兴趣的人数约为280，男生不感兴趣的人数约为300，故B不对，，故C，D正确．
第10题提示：反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为，其中一个焦点坐标应为．
第11题提示：由得或，依题意可得以下6种情况：
当时
当时
的取值集合为．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14．2
第12题提示：用两角和的正切公式展开，或用整体法两角差的正切公式．
第13题提示：用求和公式后再用立方差公式分解因式或直接用．
第14题提示：，先设为变量，可通过分类讨论求出，
再求出当时的最小值，即为2．
或者由在时的最大值只可能在当或或处取得，结合图象可得原式的最小值为2．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：
（1）在中，由正弦定理可得：
，即
解得，又，故或．
（2）由，可得，故
令
解得
由于，取，得；
取，得；取，得，
故在上的单调递增区间为．
说明：第（1）问中两种情况少一种扣1分，第（2）问中三个区间少一个扣1分．
16．解：
（1）后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次，
所求概率为：．
（2）所有可能的取值为，且
，
，
，
，
由，解得，
又因为，故的取值范围为．
17．解：
（1）连接交与点，连接，
易知平面与平面的交线为，
平面，
又为的中点，为的中点．
取的中点，连接，
，
为平行四边形，，
又平面平面平面．
（2）取的中点，连结，
，且，又，且，
，
又是平面内两条相交的直线，平面．
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，易知，
由为的中点，为的中点，可得，
，
设是平面的法向量，则
即，可取；
设是平面的法向量，则
即，可取；
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
说明：第（1）问取的中点，通过面面平行来证明线面平行也可以根据步骤给分．
18．解：
（1）依题意可得，得，
由，得，解得，
故的方程为的方程为．
（2）易知，设，直线的斜率分别为，
则，
在，即有，
可得为定值．
设直线的方程为：，联立可得
恒成立，
设，则有，
可求得，
设直线的方程为：，
同理可得，
则
由可得：，
点在第一象限内，故，
当且仅当，即时取等号，
而，故等号可以取到．
即当取最小值时，，联立，
可解得，
故的方程为：的方程为：，
联立可解得，即有．
说明：第（2）问中未说明能取到最小值扣1分，
另外可以分别设直线方程和求解，
此时：
也可以直接通过的横纵坐标代换来求解，
此时：
都可以根据相应步骤给分．
19．解：
（1）由该公式可得，
故
（2）结论：，
证明如下：
令，
令，
故在上单调递增，，
故在上单调递增，，
即证得，即．
（3）由（2）可得当时，，且由得，
当且仅当时取等号，故当时，，
，
而
，
即有
故
而，
即证得性别
数学兴趣
合计
感兴趣
不感兴趣
女生
男生
合计
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828