湖北省2023_2024学年高二数学下学期3月联考试题含解析

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一、单选题
1. 函数的单调递减区间为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接求导，再令，解出不等式即可.
【详解】，令，解得，
所以的单调递减区间为，
故选：A.
2. 函数的图象在点处的切线方程是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求切线方程.
【详解】因为，所以，所以切点为，又，
由导数的几何意义知函数的图象在点处的切线斜率，
故得函数的图象在点处的切线方程是，即为．
故选：B
3. 若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可.
【详解】依题意知，有两个不相等的零点，
故，解得且 .
故选：D.
4. 已知函数，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数分析函数的单调性，求解最值即可.
【详解】，令，得，
当，，为减函数，
当，，增函数，
又，则.
故选：C
5. 已知函数的图象如图所示，是的导函数，则下列数值排序正确的是（ ）
A.
B
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据曲线的变化趋势可判断函数的单调性，结合函数的导数的几何意义，数形结合，即可判断出答案.
【详解】由函数的图象可知为单调递增函数，
故函数在每一处的导数值，即得，
设，则连线的斜率为，
由于曲线是上升的，故，
作出曲线在处的切线，设为，连线为，
结合图象可得的斜率满足，
即，
故选：B
6. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由在上恒成立，再转化为求函数的最值得参数范围．
【详解】由题意，得，因为在上单调递减，
所以在上恒成立，即，
令，则，
令，得，当时，单调递减；
当时，单调递增.
所以的最小值为，所以，即的取值范围为.
故选：D.
7. 若数列的前n项和满足，则（）
A. 数列为等差数列
B. 数列为递增数列
C. ，，不为等差数列
D. 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】降次作差即可得到，根据等差数列的定义即可判断A，根据数列单调性即可判B，求出相关值即可判断C，利用对勾函数的性质即可判断D.
【详解】当时，，
当时，，∴，
对于A：不满足，故A不正确；
对于B：，故B不正确；
对于C：，，，三项可构成等差数列，且公差为8，,故C不正确；
对于D：当时，，
当时，，
根据对勾函数的性质知在时单调递增，
则当时，有最小值，故的最小值为．故D正确.
故选：D．
8. 若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为（）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】将题干不等式变形为，构造函数，利用函数的单调性将问题转化为恒成立问题，令，利用导数研究函数最值即可求解.
【详解】由题意得，，即，
令，因为，，所以函数在上单调递增，
则不等式转化为，所以，则.
令，则，
则当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，有最小值，即，则的最大值为.
故选：B
二、多选题
9. 下列函数的导数计算正确的是（）
A. 若函数，则
B. 若函数（且），则
C. 若函数，则（e是自然对数的底数）
D. 若函数，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据复合函数的求导法则，结合基本初等函数求导公式以及求导法则即可逐一求解.
【详解】对于A，，所以，A错误，
对于B，，故B正确，
对于C，，C正确，
对于D，，D正确，
故选：BCD
10. 数列中，，，若，都有恒成立，则（）
A. 为等差数列B. 为等比数列
C. D. 实数的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据数列的递推公式以及可证明是公差为2的等差数列，即可得，可判断A正确，B错误，C正确；由不等式恒成立可得的最大值，再由数列的单调性即可判断D错误.
【详解】对于AB，根据题意可得，
即可得，所以是公差为2的等差数列，即A正确，B错误；
对于C，易知，所以，
此时可得，即，所以C正确；
对于D，由不等式可得，即；
不妨设数列，则，
，
所以当时，，可得；
当时，，可得；
即可得，，即第8项最大为，
所以的最大值即可，即，即实数的最小值为，D错误；
故选：AC
11. 已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性逐项判断即可.
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
对于AB选项，，即，可得，A错B对；
对于CD选项，，即，D对，C无法判断.
故选：BD.
三、填空题
12. 函数在区间上的平均变化率为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平均变化率公式及对数的运算法则计算可求解.
【详解】在区间上的平均变化率为.
故答案为：.
13. 设椭圆的左右焦点为，，过点的直线与该椭圆交于，两点，若线段的中垂线过点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由椭圆方程确定，，的值，结合已知条件及椭圆定义求出，在中，求出，由诱导公式求出，设，则，在中由余弦定理构造方程，解出值即可.
【详解】
设线段的中垂线与相交于点，由椭圆方程可知，
，，；由已知有：，点在椭圆上，
根据椭圆定义有：，所以，，
在中，，，
，点在椭圆上，根据椭圆定义有：，
设，则，，在中由余弦定理有：
,
解得，即.
故答案为：
14. 设，定义为的导数，即，，若的内角A满足，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据导数公式直接进行求导，得到函数具备周期性，然后根据周期性将条件进行化简，即可得到结论．
【详解】因为，，
所以，，
，，
，，
所以具有周期性，且周期为，
由，，
得，
因为，
所以
，
所以，因为，所以，可得.
故答案为：.
四、解答题
15. 已知点和圆．
（1）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）点在圆上运动，满足，求点的轨迹方程．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，利用点到直线的距离公式求出相应的参数值，综合可得出直线的方程；
（2）设点，利用中点坐标公式可得出点，将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程.
【小问1详解】
解：因为圆，所以，圆的圆心为，半径，
因为直线过点，且被圆截得的弦长为，
所以，圆心到直线的距离为，
①当直线的斜率存在时，设其方程为，
即，则，解得，
故直线的方程为，即；
②当直线的斜率不存在时，因为直线过点，则直线的方程为，
圆心到直线的距离为，符合题意.
综上所述，直线的方程为或．
【小问2详解】
解：设点，因为，则点为线段的中点，
设点，由中点坐标公式可得，可得，即点，
因为点在圆上运动，则，可得，
故点的轨迹方程为．
16. 如图，直三棱柱中，，且．
（1）证明：平面；
（2），分别为棱，的中点，点在线段上，若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
【答案】16. 证明见解析
17.
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，用向量法证明可得平面.
（2）设，求出平面与平面的法向量，根据条件求值.
【小问1详解】
设，
如图，以为轴正半轴建立空间直角坐标系，
则，
所以
所以
又平面，所以平面.
【小问2详解】
设，
∴，
，
设平面的一个法向量为，
，即，
令，得，
又平面的一个法向量为，
解得或（舍），即.
17. 各项均不为0的数列对任意正整数满足：．
（1）若为等差数列，求；
（2）若，求的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由递推关系首先得，进一步结合已知为等差数列，并在已知式子中令，即可得解.
（2）由（1）得时，数列是等差数列，故首先求得的值，进一步分类讨论即可求解.
【小问1详解】
由题意，
当时，，
两式相减得，
因为为等差数列，在式子：中令，
得，所以，
所以或，
若，则，但这与矛盾，舍去，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
而当时，，所以此时，
所以此时，
而也满足上式，
综上所述，的前项和.
18. 欧几里德生活的时期，人们就发现椭圆有如下的光学性质:从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点.现有椭圆，长轴长为，从的左焦点发出的一条光线，经内壁上一点反射后恰好与轴垂直，且.
（1）求的方程;
（2）设点，若斜率不为0的直线与交于点均异于点，且在以MN为直径的圆上，求到距离的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先由题意，结合椭圆的性质，求得点的坐标，代入椭圆方程，即可求解；
（2）首先设直线的方程为,与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求解直线的定点，并根据几何关系，求点到直线距离的最大值.
【小问1详解】
不妨设是的右焦点,
则轴,
又,
,
不妨设点,则,
又,
的方程为.
【小问2详解】
设,直线的方程为,
由，整理得,
则
故,
点在以MN为直径的圆上,
，
，
,
,
即,
整理得:,
,
或,
当时,直线,过定点,
易知点椭圆内,
当时,直线,过定点,
此时定点为点，两点中的一个与点重合,所以舍去,
直线方程:, 且直线恒过定点
点到距离最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求得直线所过的定点.
19. 函数.
（1）若函数在上存在极值，求实数的取值范围；
（2）若对任意的，当时，恒有，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，当时，的值域为.若存在，请给出证明，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得函数在区间上存在极值，即在上有实数解，利用导数解得即可；
（2）由（1）可得在上单调递减，故时，恒有，等价于，在上恒成立．令，则上述问题等价于函数在上单调递减，利用导数解得即可；
（3）由（1）知，在时，，．结合函数的图象与直线的交点可知，存在实数m，n符合题意，其中n=1．故只要证明在内有一解，即在内有一解，令，利用判断函数的单调性，证明函数在上有零点，即可得出结论．
【小问1详解】
由得，
当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，，
，解得，
即实数的取值范围是.
【小问2详解】
由（1）知在上单调递减，
，由得
，
即，恒成立.
令，则上述问题等价于函数在上单调递减，
又在上恒成立，得在上恒成立，
而在上的最小值为，故得.
【小问3详解】
由（1）知，在时，.
结合函数的图象与直线的交点可知，存在实数符合题意，其中.
故只要证明在内有一解，即在内有一解，
令，则
由得，，
当时，，当时，，
在上，
又
存在，使得，满足
，即在内有一解.
综上所述，存在实数，满足当时的值域为.
【点睛】（1）利用导数研究具体函数单调性的步骤：①明确定义域；②求导；③令导数等于零；④结合导数的零点，分割定义域，分别研究不同区间上导数与零的大小；⑤根据导数与单调性的关系，可得结论.
（2）证明双变量不等式常用方法——构造函数，利用导数研究新函数的单调性，可得证.