山东省聊城市2025-2026学年高二（上）期末数学试卷

这是一份山东省聊城市2025-2026学年高二（上）期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在空间直角坐标系中，点(1,-2,3)关于y轴对称点的坐标是( )
A. (-1,2,3)B. (-1,-2,-3)C. (-1,2,-3)D. (1,-2,-3)
2.甲、乙两人独立地破译一份密码的概率分别为23,47，密码被成功破译的概率为( )
A. 67B. 47C. 1021D. 821
3.记正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6=28S3，则a4a2的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 9
4.若直线l1：x-2y+a=0，l2：2x+by-4=0互相平行，且两直线之间的距离为 55，则a的值为( )
A. -1B. -3C. -1或-3D. -3或-5
5.数列{an}为等差数列，且数列的前n项和Sn有最大值，若a10a110的最大整数n为( )
A. 19B. 20C. 21D. 22
6.焦点在y轴上的双曲线的渐近线与圆x2+y2-6y+5=0有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A. (1,35 5]B. [35 5,+∞)C. (1,32]D. [32,+∞)
7.如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，且∠A1AC=60°，D，E，F分别为A1C1，A1B1，BC的中点，则异面直线AD和EF所成角的余弦值为( )
A. 33 B. 32
C. 77 D. 217
8.设F1、F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，O是坐标原点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|= 6|OP|,|PF2|=2，则C的方程为( )
A. x22-y24=1B. x24-y22=1C. x24-y28=1D. x28-y24=1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.先后抛掷质地均匀的骰子两次，事件A=“第一次向上的点数是1”，事件B=“第二次向上的点数是2”，事件C=“两次向上的点数之和是7”，则( )
A. P(A)=16B. 事件A与事件B互斥
C. P(A-B)=536D. 事件A与事件C相互独立
10.已知O为坐标原点，抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同的两点，则( )
A. 抛物线C的准线方程x=-2
B. 若直线AB过点F，则|AB|的值可能为5
C. 若线段AB的中点M的横坐标为2，则kAB⋅kOM=1
D. 若以点F和点D(5,3)为焦点的椭圆与抛物线C有公共点，则该椭圆的长轴长的最小值为6
11.如图，曲线y= x下有一系列正三角形，设第n个正三角形Qn-1QnPn(Q0为坐标原点)的边长为an，数列{an}的前n项的和为Sn，则( )
A. a2=43
B. 数列{an}是等差数列
C. 数列{1Sn}的前n项的和为2nn+1
D. 若m，n，p∈N*，且m+n=2p，则Sm⋅Sn≤Sp2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.春节贴春联是中华传统习俗，某手工春联作坊从腊月廿一开始每日量产春联，每日比前一日多产出5副，腊月廿一至腊月廿九不间断生产，累计产出春联360副，则腊月廿七产出的春联为 副.
13.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=1，AB=2，AA1=3，点E，F分别在BB1，DD1上，且BE=43,DF=13，则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为 ．
14.椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点，即椭圆上任意点的切线与两焦半径所成的夹角相等.椭圆x24+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上任意一点，直线l与椭圆相切于点P，过点P且垂直l的直线交椭圆的长轴于点M.若|PM|=|MF2|，则|PF1||PF2|的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C经过点P(2,-2)与点Q(5,1)，且圆心在直线x-y-1=0上．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C上恰有三个点到直线l：x+my-4m=0(m∈R)的距离为1，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
某购物中心举行购物抽奖活动，顾客购物达到一定金额后即可获得一次抽奖机会.抽奖时，从装有2个红球，4个绿球(每个球大小和质地相同)的抽奖箱中，每次随机摸取2个球.若两球都是红色，则获得一等奖；若两球不同色，则获得二等奖；若两球都是绿色，则不获奖.每人每次抽球互不影响．
(1)求顾客获得一等奖的概率；
(2)现有3名顾客参与抽奖，求至少两人获奖的概率．
17.(本小题15分)
已知数列{an}满足a1=10，且an+1=3an-2n+1，数列{bn}满足bn=(n+1)6(an-2n+1)．
(1)求证：{an-2n+1}为等比数列；
(2)求数列{bn}的前n项和Sn．
18.(本小题17分)
椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(2, 2)，其焦距为4，直线y= 22x+m与椭圆C相交于A，B两点，T为椭圆C上的一动点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当直线AB经过点P时，求△TAB面积的最大值；
(3)设直线PA，PB分别交y轴于点M，N，判断|PM|与|PN|大小关系，并给出证明．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC=PB=4,PC=PA=2 2,∠ABC=60°．
(1)求证：平面PAC⊥平面ABCD；
(2)当CD与平面PBC所成的角最大时，
(i)求证：CD⊥BC；
(ii)若AD=CD，在线段AD上取点M1，M2，⋯，Mn满足AM1=AD，AMk+1=12AMk，设ak为棱锥P-MkBC的体积，求数列{an}的前n项和Sn．
答案
1.B
2.A
3.D
4.C
5.B
6.A
7.D
8.A
9.ACD
10.BCD
11.ABD
12.50
13.3 1414
14.3
15.解：(1)设圆心为C(a,b)，半径为r，由题意得b=a-1，即C(a,a-1)，
根据|CP|=|CQ|=r，可得 (a-2)2+(a+1)2= (a-5)2+(a-2)2，
解得a=2，所以b=a-1=1，半径r= (2-2)2+(2+1)2=3，
所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=9；
(2)根据圆C的半径r=3，可知若圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，
则圆心C(2,1)到直线l的距离d=r-1=2，
根据l的方程：x+my-4m=0，可得d=|2-3m| 1+m2=2，解得m=0或m=125，
所以直线l的方程为x=0或x+125y-485=0，即x=0或5x+12y-48=0．
16.解：(1)设事件A为“顾客获得一等奖”，
则P(A)=C22C62=115；
(2)由题意得每次抽奖独立，则不获奖的概率为C42C62=615=25，则获奖的概率为1-25=35，
设3名顾客中获奖的人数为X，则X～B(3,35)，
则P(X=2)=C32(35)2⋅25=54125，
P(X=3)=C33(35)3=27125，
所以P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=81125．
17.解：(1)证明：由数列{an}满足a1=10，且an+1=3an-2n+1，
可得an+1-2n+2=3(an-2n+1)，
所以数列{an-2n+1}是首项为a1-4=6，公比为3的等比数列；
(2)an-2n+1=(10-22)⋅3n-1=2×3n，
所以an=2(3n+2n)，
所以bn=(n+1)6[(2(3n+2n))-2n+1]=(n+1)3n-1，
所以数列{bn}的通项公式为bn=(n+1)3n-1，
Sn=2×30+3×31+4×32+...+(n+1)×3n-1，
可得3Sn=2×31+3×32+4×33+...+(n+1)×3n，
两式作差得-2Sn=2+31+32+...+3n-1-(n+1)×3n
=2+3-3n1-3-(n+1)⋅3n=-2n+12⋅3n+12，
所以Sn=2n+14⋅3n-14．
18.解：(1)因为椭圆经过点P(2, 2)，其焦距为4，
所以2c=4，4a2+2b2=1，
又a2=b2+c2，
所以a2=8，b2=4．
则椭圆C的方程为x28+y24=1；
(2)因为直线AB经过点P(2, 2)，
所以 2= 22×2+m，
解得m=0，
即y= 22x，
所以|AB|=2|OP|=2 6
过点T作直线AB的平行线l：y= 22x+n，
联立x28+y24=1y= 22x+n，消去y并整理得x2+ 2nx+n2-4=0，
此时Δ=2n2-4(n2-4)=2(8-n2)≥0，
解得|n|≤2 2，
因为T到直线AB的距离等于直线l与直线AB间的距离d，
所以d=|n| 1+12≤2 2 1+12=4 33，
所以(S△TAB)max=12×2 6×4 33=4 2，
即△TAB面积的最大值为4 2；
(3)证明：联立x28+y24=1y= 22x+m，消去y并整理得x2+ 2mx+m2-4=0，
此时Δ=2m2-4(m2-4)=2(8-m2)≥0，
解得|m|≤2 2，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由韦达定理得x1+x2=- 2m,x1x2=m2-4，
此时kAP=y1- 2x1-2,kBP=y2- 2x2-2，
所以kAP+kBP=y1- 2x1-2+y2- 2x2-2=x1y2+x2y1- 2(x1+x2)-2(y1+y2)+4 2(x1-2)(x2-2)，(*)
因为x1y2+x2y1=x1( 22x2+m)+x2( 22x1+m)= 2x1x2+m(x1+x2)，
y1+y2= 22(x1+x2)+2m，
所以2(y1+y2)= 2(x1+x2)+4m，
此时所以(*)的分子x1y2+x2y1- 2(x1+x2)-2(y1+y2)+4 2
= 2x1x2+(m-2 2)(x1+x2)-4m+4 2
= 2(m2-4)- 2m(m-2 2)-4m+4 2=0，
所以kAP+kBP=0，
即kAP=-kBP，
则∠PMN=∠PNM．
故|PM|=|PN|．
19. (1)证明：连接 AC，取AC中点O，连接 PO、BO，
因为AB=BC=4，∠ABC=60°，
所以AC=4，BO⊥AC，且BO=2 3，
因为PA=PC=2 2，所以PO⊥AC，且PO= (2 2)2-22=2，
又PB=4，则PO2+BO2=PB2，所以PO⊥BO，
又BO⊥AC，AC∩PO=O，
所以BO⊥平面PAC，又BO⊂平面ABC，
所以平面PAC⊥平面ABCD；
(2)(i)证明：以O为原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴，建系如图：
则A(0,-2,0)C(0,2,0),B(2 3,0,0),P(0,0,2)，
设D(x,y,0)，则CD=(x,y-2,0)，
PB=(2 3,0,-2)，BC=(-2 3,2,0)，
设平面PBC的法向量为n=(a,b,c)，
则n⋅PB=2 3a-2c=0n⋅BC=-2 3a+2b=0，取n=(1, 3, 3)，
所以直线CD与平面PBC所成角的正弦值为：
sinθ=|cs|=|x+ 3(y-2)| x2+(y-2)2⋅ 7，
令t= x2+(y-2)2，则sinθ=|x+ 3(y-2)| 7t，
由柯西不等式可得x+ 3(y-2)≤ 12+( 3)2⋅ x2+(y-2)2=2t，
当且仅当y-2 3=x1时取等号，所以x=y-2 3，
所以CD⋅BC=2(y-2)-2 3x=2(y-2)-2 3⋅y-2 3=0，
所以CD⊥BC；
(ii)因为AD=CD，又则AD=(x,y+2,0),CD=(x,y-2,0)，
则x2+(y-2)2=x2+(y+2)2，解得：y=0，
由于x=y-2 3，解得：x=-2 33，
可得D(-2 33,0,0)，则AD=4 33，
M1满足AM1=AD，即M1与D重合；
Mk+1满足AMk+1=12AMk，AMk=12k-1AD=12k-1(-2 33,2,0)，
则Mk(-2 33⋅2k-1,-2+22k-1,0)，
BMk=(-2 33⋅2k-1-2 3,-2+22k-1,0)，
由于BC=(-2 3,2,0)，
所以Mk到BC的距离hk= BMk2-(BMk⋅BC|BC|)2=2 3(1-13⋅2k-1)，
棱锥P-MkBC的体积ak=13⋅S△MkBC⋅PO，
其中PO=2，S△MkBC=12⋅BC⋅hk，
又AD=4 33，
所以S△MkBC=12×4⋅2 3(1-13⋅2k-1)=4 3⋅(1-13⋅2k-1)，
所以棱锥P-MkBC的体积ak=13×4 3⋅(1-13⋅2k-1)⋅2=8 33⋅(1-13⋅2k-1)，
所以数列{an}前n项和为：
Sn=8 33n-8 39(1-(12)n)1-12=8 33n-16 39(1-12n)．