2022-2023学年山东省聊城市高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年山东省聊城市高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）直线的倾斜角为（ ）
A．0B．C．D．
2．（5分）已知，分别是平面α，β的法向量，若α∥β，则x＝（ ）
A．﹣7B．﹣1C．1D．7
3．（5分）抛物线y＝2x2的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）数列{an}满足，若a20＝﹣1，则a1＝（ ）
A．﹣1B．C．1D．2
5．（5分）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C：y2＝2x，从点P（m，2）（m＞2）发出的一条平行于x轴的光线，经过C上的点A反射后，与C交于另一点B，则点B的纵坐标为（ ）
A．B．﹣1C．﹣2D．﹣4
6．（5分）已知圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x+6y+m＝0相内切，则C1与C2的公切线方程为（ ）
A．3x﹣4y﹣5＝0B．3x﹣4y+5＝0C．4x﹣3y﹣5＝0D．4x﹣3y+5＝0
7．（5分）如图，在四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥BD，若AB＝3，，CD＝2，，则平面ABD与平面CBD的夹角为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若|MN|等于|PF|的最小值的3倍，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知曲线C1：4x2+3y2＝48，C2：，则（ ）
A．C1的长轴长为4
B．C2的渐近线方程为
C．C1与C2的焦点坐标相同
D．C1与C2的离心率互为倒数
（多选）10．（5分）已知直线l：k2x﹣y﹣1＝0，则（ ）
A．l不过第二象限
B．l在y轴上的截距为1
C．不存在k使l与直线kx﹣y﹣1＝0平行
D．存在k使l被圆x2+y2＝4截得的线段长为2
（多选）11．（5分）记数列{an}的前n项和为Sn，已知，则（ ）
A．S20＝40B．S9+S11＝0
C．anan+1有最大值1D．无最小值
（多选）12．（5分）在棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P均为侧面BCC1B1内的动点，且满足AM＝3，点N在线段B1C上，点P到点C1的距离与到平面A1B1CD的距离相等，则（ ）
A．AN⊥BD1
B．平面B1D1N⊥平面A1C1D
C．直线AM与D1C1所成的角为定值
D．MP的最小值为2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，若，则xyz＝ ．
14．（5分）记公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝3（a3+ak﹣2+ak+2），则k＝ ．
15．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若，则B1到平面ACD1的距离为 ．
16．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心，C的虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点，记为M、N，若四边形F1MF2N的周长为4，则C的焦距的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为y＝﹣1，2x﹣y+7＝0，点P（1，2）在边BC上．
（1）若△ABC为直角三角形，求边BC所在直线的方程；
（2）若P为BC的中点，求边BC所在直线的方程．
18．（12分）已知各项均为正数的等比数列{an}满足a2a3＝a4，3a3+2a4＝a5．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令bn＝lg3a3n，将数列{an}与{bn}中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列{cn}，求{cn}的前50项的和．
19．（12分）已知直线x﹣y﹣2＝0经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且与C交于A，B两点．
（1）求C的方程；
（2）求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，．M是AB的中点，N是B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．
（1）求直线A1P与平面A1CM所成角的正弦值；
（2）线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM？
21．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等差数列，且，b1＝a1＝2，b5是a3，b3的等差中项．
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）记，求证：Tn+1＝bn．
22．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2（|F1F2|＜10），上顶点为A，AF1⊥AF2，且F1到直线l：的距离为．
（1）求C的方程；
（2）与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；
（3）P为C上的动点，M，N为l上的动点，且，求△PMN面积的取值范围．
2022-2023学年山东省聊城市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（5分）直线的倾斜角为（ ）
A．0B．C．D．
【解答】解：因为直线与x轴垂直，
故直线的倾斜角为．
故选：C．
2．（5分）已知，分别是平面α，β的法向量，若α∥β，则x＝（ ）
A．﹣7B．﹣1C．1D．7
【解答】解：因为，分别是平面α，β的法向量，且α∥β，
所以，即，解得x＝﹣1．
故选：B．
3．（5分）抛物线y＝2x2的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵抛物线方程可化为，∴，
∴抛物线y＝2x2的准线方程为．
故选：A．
4．（5分）数列{an}满足，若a20＝﹣1，则a1＝（ ）
A．﹣1B．C．1D．2
【解答】解：令b1＝a20＝﹣1，则，，，
故数列{bn}是以3为周期的周期数列，
∴a1＝b20＝b3×6+2＝b2＝2，
故选：D．
5．（5分）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C：y2＝2x，从点P（m，2）（m＞2）发出的一条平行于x轴的光线，经过C上的点A反射后，与C交于另一点B，则点B的纵坐标为（ ）
A．B．﹣1C．﹣2D．﹣4
【解答】解：抛物线C：y2＝2x的焦点坐标为，设A（xA，2），B（xB，yB），
∵点A在抛物线上，
∴，
又A，B，F三点在一条直线上，直线AB的斜率为，即直线AB的方程为，
联立，整理得2y2﹣3y﹣2＝0，
∴2yB＝﹣1，解得yB，
故选：A．
6．（5分）已知圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8x+6y+m＝0相内切，则C1与C2的公切线方程为（ ）
A．3x﹣4y﹣5＝0B．3x﹣4y+5＝0C．4x﹣3y﹣5＝0D．4x﹣3y+5＝0
【解答】解：圆C1：x2+y2＝1的圆心C1（0，0），r1＝1，圆C2：x2+y2﹣8x+6y+m＝0可化为（x﹣4）2+（y+3）2＝25﹣m，（m＜25），则其圆心为C2（4，﹣3），半径为，
因为圆C1与圆C2相内切，所以r2﹣1＝|C1C2|，即，故m＝﹣11．
由，可得4x﹣3y+5＝0，
即C1与C2的公切线方程为4x﹣3y+5＝0．
故选：D．
7．（5分）如图，在四面体ABCD中，AB⊥BD，CD⊥BD，若AB＝3，，CD＝2，，则平面ABD与平面CBD的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设平面ABD与平面CBD的夹角为，
由题意可得：，
∵，
则，
即19＝9+12+4﹣12csθ，解得，
由，可得，
故平面ABD与平面CBD的夹角为．
故选：C．
8．（5分）已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若|MN|等于|PF|的最小值的3倍，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：F为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，
由椭圆的性质，可得|PF|min＝a﹣c．
∵过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，
∴．∵|MN|等于|PF|的最小值的3倍，
∴．
∵椭圆中a2﹣b2＝c2，
∴2（a2﹣c2）＝3a2﹣3ac，即2c2﹣3ac+a2＝0，
则，
∵，
∴2e2﹣3e+1＝0，解得或e＝1（舍）．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知曲线C1：4x2+3y2＝48，C2：，则（ ）
A．C1的长轴长为4
B．C2的渐近线方程为
C．C1与C2的焦点坐标相同
D．C1与C2的离心率互为倒数
【解答】解：曲线C1：4x2+3y2＝48整理得，
则曲线C1是焦点在y轴上的椭圆，其中，
所以，离心率为，
故曲线C1的长轴长2a1＝8，故A错误；
曲线C2：是焦点在x轴上的双曲线，其中，
所以，离心率为，故与曲线C1的焦点位置不同，故C错误；
C2：的渐近线方程为，故B正确；
又，
所以C1与C2的离心率互为倒数，故D正确．
故选：BD．
（多选）10．（5分）已知直线l：k2x﹣y﹣1＝0，则（ ）
A．l不过第二象限
B．l在y轴上的截距为1
C．不存在k使l与直线kx﹣y﹣1＝0平行
D．存在k使l被圆x2+y2＝4截得的线段长为2
【解答】解：对于A：当x＜0时，y＝k2x﹣1＜0恒成立，即l不过第二象限，故A正确；
对于B：令x＝0，y＝﹣1，即l在y轴上的截距为﹣1，故B错误；
对于C：若直线y＝k2x﹣1和y＝kx﹣1平行，则k2＝k，且﹣1≠﹣1，与﹣1＝﹣1矛盾，
即不存在k使l与直线kx﹣y﹣1＝0平行，故C正确；
对于D：若l被圆x2+y2＝4截得的线段长为2，则直线l到圆心的距离为，
但是圆心到直线l的距离，
即不存在k使l被圆x2+y2＝4截得的线段长为2，故D错误；
故选：AC．
（多选）11．（5分）记数列{an}的前n项和为Sn，已知，则（ ）
A．S20＝40B．S9+S11＝0
C．anan+1有最大值1D．无最小值
【解答】解：对于A，因为，
当n∈N*且为奇数时，an+an+1＝﹣（2n﹣11）+[2（n+1）﹣11]＝2，
所以S20＝（a1+a2）+（a3+a4）+⋯+（a19+a20）＝2×10＝20，故A错误；
对于B，S9＝（a1+a2）+⋯+（a7+a8）+a9＝2×4﹣（2×9﹣11）＝1，S11＝（a1+a2）+⋯+（a9+a10）+a11＝2×5﹣（2×11﹣11）＝﹣1，
所以S9+S11＝0，故B正确；
对于C，因为n与n+1必然一奇一偶，
所以，
当n＝5时，anan+1取得最大值1，故C正确；
对于D，因为n与n+2必然同为奇数或同为偶数，
所以，
令，则，
所以，
令（2n﹣9）（2n﹣11）＜0，得，又n∈N*，即n＝5，
此时bn+1﹣bn＞0，即b6﹣b5＞0，即b6＞b5，
令（2n﹣9）（2n﹣11）＞0，得或，又n∈N*，即n≤4或n≥6，
当n≤4时，此时bn+1﹣bn＜0，即b5＜b4＜⋯＜b1，同时，
当n≥6时，，即bn＞b5，
综上：bn有最小值b5＝﹣3，即有最小值﹣3，故D错误．
故选：BC．
（多选）12．（5分）在棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P均为侧面BCC1B1内的动点，且满足AM＝3，点N在线段B1C上，点P到点C1的距离与到平面A1B1CD的距离相等，则（ ）
A．AN⊥BD1
B．平面B1D1N⊥平面A1C1D
C．直线AM与D1C1所成的角为定值
D．MP的最小值为2
【解答】解：以A为原点，分别以AD，AB，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），，，，，C（2，2，0），，，
所以，，，，，，
对于A，因为点N在线段B1C上，所以，
所以，所以，
所以，故，所以AN⊥BD1，故A正确；
对于B，因为点N在线段B1C上，所以平面B1D1N为平面B1D1C，
设面B1D1C的一个法向量为，则，
令x＝1，则y＝1，z＝1，故，
设面A1C1D的一个法向量为，则，
令a＝1，则b＝﹣1，c＝1，故，
因为，所以平面B1D1N与平面A1C1D不垂直，故B错误；
对于C，因为M为侧面BCC1B1内的动点，AM＝3，
所以设，则，
所以，所以直线AM与D1C1所成的角为定值，故C正确；
对于D，由C选项可得即d2+f2＝1，所以M的轨迹是以B为圆心，半径为3的圆上（且在侧面BCC1B1内），
在平面BCC1B1内过P点作PQ⊥B1C，垂足为Q，
易得A1B1⊥平面BCC1B1，PQ⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥PQ，
因为A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1CD，所以PQ⊥平面A1B1CD，
所以点P到平面A1B1CD的距离为PQ的长度，即P到B1C的距离，
所以点P到点C1的距离与到平面A1B1CD的距离相等，等价于点P到点C1的距离与到B1C的距离相等，满足抛物线的定义，
所以点P的轨迹为以C1为焦点，准线为直线B1C的抛物线，
以线段BC1的四等分点O（靠近C1）为坐标原点，以BC1为m轴的正方向进行平面直角坐标系，
由|BC1|＝4可得C1（1，0），直线B1C为m＝﹣1，
则点P的轨迹为n2＝4m，
所以|MP|min＝|BP|min﹣1，由图可得当P与O点重合时，|BP|min＝3，故|MP|min＝2，故D正确，
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，若，则xyz＝ ﹣1 ．
【解答】解：因为四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，所以，
又因为，
所以x＝1，y＝﹣1，z＝1，
故xyz＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（5分）记公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝3（a3+ak﹣2+ak+2），则k＝ 6 ．
【解答】解：因为{an}是公差不为0的等差数列，设公差为d，
所以，ak﹣2+ak+2＝2ak，
又S9＝3（a3+ak﹣2+ak+2），
所以9a5＝3（a3+2ak），即3a5＝a3+2ak，
则3（a1+4d）＝a1+2d+2[a1+（k﹣1）d]，
所以2（k﹣1）d＝10d，
又d≠0，
所以k﹣1＝5，则k＝6．
故答案为：6．
15．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若，则B1到平面ACD1的距离为 ．
【解答】解：因为，
所以AB＝2，AD＝3，AA1＝1，，，
设平面ACD1的法向量为，
由，可得，取y＝2，则，
即B1到平面ACD1的距离为．
故答案为：．
16．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，以F2为圆心，C的虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点，记为M、N，若四边形F1MF2N的周长为4，则C的焦距的取值范围为 ．
【解答】解：由题意得点M、N关于x轴对称，且|MF2|＝b，
由双曲线的定义得|MF1|＝b+2a，
由题意可|MF1|+|MF2|＝2a+2b＝2，即a+b＝1，则b∈（0，1），
∴，
∴，即．
当时，，，此时b＞c﹣a，
即此时以F2为圆心，C的虚半轴长为半径的圆与C的右支恰有两个交点，符合题意，
故C的焦距的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为y＝﹣1，2x﹣y+7＝0，点P（1，2）在边BC上．
（1）若△ABC为直角三角形，求边BC所在直线的方程；
（2）若P为BC的中点，求边BC所在直线的方程．
【解答】解：（1）由△ABC的边AB，AC所在直线的方程分别为y＝﹣1，2x﹣y+7＝0，
可知角A不是直角，
若角B是直角，由点P在边BC上，
得边BC所在直线的方程为x＝1；
若角C是直角，由边AC所在直线的方程为2x﹣y+7＝0，
得边BC所在直线的斜率为，又点P在边BC上，
所以边BC所在直线的方程为，即x+2y﹣5＝0，
综上所述，边BC所在直线的方程为x+2y﹣5＝0或x＝1；
（2）由题意可设B（m，﹣1），由P为BC的中点，得C（2﹣m，5），
将点C的坐标代入边AC所在直线的方程2x﹣y+7＝0，
得2（2﹣m）﹣5+7＝0，
所以6﹣2m＝0，解得m＝3，所以C（﹣1，5），
得边BC所在直线的斜率为，
所以边BC所在直线的方程为，
即3x+2y﹣7＝0．
18．（12分）已知各项均为正数的等比数列{an}满足a2a3＝a4，3a3+2a4＝a5．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令bn＝lg3a3n，将数列{an}与{bn}中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列{cn}，求{cn}的前50项的和．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，由题意得，
因为等比数列{an}中a3≠0，a4≠0，所以，又q＞0，解得q＝3，
所以，即{an}的通项公式为．
（2）由（1）知，
因为b45＝134，，
所以{cn}的前50项是由{an}的前5项与{bn}的前45项组成，
记{cn}的前50项的和为S50，
则S50＝（a1+a2+a3+⋯+a5）+（b1+b2+b3+⋯+b45）
＝（1+3+32+33+34）+[2+5+8+⋯+（3×45﹣1）]
121+3060＝3181．
所以{cn}的前50项的和为3181．
19．（12分）已知直线x﹣y﹣2＝0经过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，且与C交于A，B两点．
（1）求C的方程；
（2）求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程．
【解答】解：（1）依题意，抛物线C的焦点在直线x﹣y﹣2＝0上，
则，解得p＝4，
所以C的方程为y2＝8x．
（2）由（1）知，抛物线C的准线方程为x＝﹣2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），
由，消去y得x2﹣12x+4＝0，
则x1+x2＝12，有，y0＝x0﹣2＝4，即M（6，4），
因此线段AB的中垂线方程为y﹣4＝﹣（x﹣6），即y＝﹣x+10，
令y＝0，得x＝10，设所求圆的圆心为E，则E（10，0），
又AB过C的焦点F，
则有|AB|＝|AF|+|BF|＝x1+2+x2+2＝16，
设所求圆的半径为r，则，
故所求圆的方程为（x﹣10）2+y2＝96．
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，．M是AB的中点，N是B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．
（1）求直线A1P与平面A1CM所成角的正弦值；
（2）线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM？
【解答】解：（1）以A为原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为A1，C，M的坐标分别为，（2，0，0），（0，1，0），
所以，．
设是平面A1CM的法向量，则，取，则x＝2，y＝4，则是平面A1CM的一个法向量．
P点坐标为，所以．
设A1P与平面A1CM所成的角为θ，
则．
（2）由A1，N的坐标分别为，，故，
设，则，得，
又P点坐标为，所以直线PQ的一个方向向量，
若PQ∥平面A1CM，需，从而，
即2（λ﹣1）+4（λ﹣1）+2＝0，解得，这样的点P存在．
所以线段A1N上存在点Q，使得PQ∥平面A1CM，此时，Q为线段A1N上靠近点N的三等分点．
21．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，{bn}是等差数列，且，b1＝a1＝2，b5是a3，b3的等差中项．
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）记，求证：Tn+1＝bn．
【解答】解：（1）因为，所以当n≥2时，得，
两式作差得，当n≥2时，，即n≥2时，an+1＝2an，
又a1＝2，，得，解得a2＝4，所以a2＝2a1，
所以{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以；
设等差数列{bn}的公差为d，因为b5是a3，b3的等差中项，所以a3+b3＝2b5，
又b1＝2，所以23+2+2d＝2（2+4d），解得d＝1，
所以bn＝2+（n﹣1）×1＝n+1，
故，bn＝n+1；
（2）证明：由（1）知①，
②，
①﹣②，得，
所以Tn＝n，
所以Tn+1＝n+1＝bn，即Tn+1＝bn．
22．（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2（|F1F2|＜10），上顶点为A，AF1⊥AF2，且F1到直线l：的距离为．
（1）求C的方程；
（2）与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上；
（3）P为C上的动点，M，N为l上的动点，且，求△PMN面积的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意可得，
解得，
∴C的方程为；
（2）证明：设这组平行线的方程为，
联立，
得，设两交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
∴，∴﹣2＜m＜2，
∴，设直线被C截得的线段的中点为B（x，y），
则，∴，
消去m，得，
∴这些直线被C截得的线段的中点均在直线上；
（3）由（2）知，l与C相离，
当直线与C相切时，，解得m＝﹣2或m＝2．
当m＝﹣2时，直线与l的距离为，此时，
当m＝2时，直线与l的距离为，此时，
∴△PMN面积的取值范围为[3，7]．