黑龙江省大庆市铁人中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试卷（含答案）

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试题说明：1、本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟.
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡.
第Ⅰ卷 选择题部分
一、单项选择题（本大题包括 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设 ， 为实数，若直线 与圆 相切，则点 与圆 位置关系是（ ）
A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定
3. 已知直线 ，若 ，则实数 （ ）
A 1 B. 3 C. 1 或 3 D. 0
4. 正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各
面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面
体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体 ABCDEF 的棱长都是 2（如图），P，Q 分别为棱 AB，AD
的中点，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知点 P 是 ： 上 动点，点 ， 的垂直平分线交 于点 M，则点 M
的轨迹方程是（ ）
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A. B. C. D.
6. 若正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. 22 B. 24 C. 26 D. 28
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别 是 上的一点（在第一象限），直线
与 轴交于点 ，若 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正方体 的棱长为 1，M 为棱 的中点，G 为侧面 的中心，点 P，Q 分
别为直线 ， 上的动点，且 ，当 取得最小值时，点 Q 到平面 的距离为（ ）
A. B. C. 1 D.
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 已知等差数列 的前 项和为 （ ），公差 ， ， 是 与 的等比中项，则下
列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 当 或 时， 取得最大值 D. 当 时， 的最大值为 21
10. 已知圆 和直线 ，点 P 在直线 l 上运动，直线 、 分别与圆 C
相切于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 切线长 最小值为
B. 四边形 面积的最小值为 4
C. 当 最小时，弦 所在的直线方程为
D. 弦 所在直线必过定点
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11. 双曲线 的左、右焦点分别 ， ，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的
交点为 P，双曲线和椭圆的离心率分别为 ， ， 的内切圆的圆心为Ⅰ，过 作直线 PI 的垂线，
垂足为 D，则（ ）
A. I 到 x 轴 距离为 a B. 点 D 的轨迹在圆上
C. 若 ，则 D. 若 ，则
三、填空题（本题包括 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，把正确答案填在答题卡中横线上）
12. 曲线 在 处的切线方程为__________.
13. 设 为抛物线 上的动点， 关于 的对称点为 ，记 到直线 ， 的距离
分别 ， ，则 的最小值为________.
14. 已知数列 满足 ， 是 ， 的等比中项，则数列 的通项公
式 ______.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知双曲线 的焦距为 ，且 经过点 .
（1）求 的方程；
（2）已知斜率为 且不经过坐标原点的直线 与 交于 两点，若 的中点在直线 上，求 的
值.
16. 设 是等比数列的公比大于 0，其前 n 项和为 ， 是等差数列，已知 ， ，
， .
（1）求 ， 的通项公式
（2）设 ，数列 的前 n 项和为 ，求 并证明 .
17. 如图①，在等腰梯形 中， , 分别为 的中点， ，
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为 的中点．现将四边形 沿 折起，使平面 平面 ，得到如图②所示的多面体．在
图②中：
（1）证明： ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
18. 已知 为坐标原点， 是椭圆 的左、右焦点， 的离心率为 ，点 是
上一点， 的最小值为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知 是椭圆 的左、右顶点，不与 轴平行或重合的直线 交椭圆 于 两点，记直线 的
斜率为 ，直线 的斜率为 ，且 .
①证明：直线 过定点；
②设 的面积为 ，求 的最大值.
19. 已知数列 ， ， ， ，且 ， ，若 是一个非零常数列，
则称 是一阶等差数列；若 是一个非零常数列，则称 是二阶等差数列.
（1）若 ， ， ，试写出二阶等差数列 的前 4 项，并求 ；
（2）若 ，且满足 ，
（i）判断 是否为二阶等差数列，并证明你的结论；
（ii）记数列 的前 n 项和为 ，若不等式 时于 恒成立，求实数 的取值
范围.
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