专题03 函数及其性质试题（含答案）-2026年高考数学二轮复习专题巩固

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考点01：已知函数解析式求定义域问题
若函数f(x)的解析式为已知函数的形式采用直接法.
解题模板如下：
第一步：找出使函数f(x)所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形：
(1)分式中分母不为0；(2)偶次方根中被开方数非负；(3)的底数不为零；
(4)的底数不为零；
(5)对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0；
(6)正切函数y=tanx的定义域为 .
(7)指数式中底数大于零且不等于1.
(8)正弦函数、余弦函数、多项式函数（一次函数、二次函数、三次函数,…）的定义域为R.
(9)对于幂函数：
m为偶数，n为偶数，函数的定义域为R，m为偶数，n为奇数，函数的定义域为R，
m为奇数，n为偶数，函数的定义域为[0,+∞)，m为奇数，n为奇数，函数的定义域为R.
注：的定义域为[0,+∞)，而的定义域为R.
第二步：列出不等式（组）
第三步：解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数f(x)的定义域.
1．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的定义列出不等式解得即可.
【详解】根据题意得，解得
即.
故选：D．
2．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】整体代入法求函数的定义域，再由有意义的条件，求定义域.
【详解】因为函数的定义域是，由，解得，
所以函数的定义域为.
要使有意义，则，解得，
所以的定义域是.
故选：.
3．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式和可得．
【详解】由题意得：，解得：，
由，解得：，
故函数的定义域是，
故选：C.
4．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数函数和根式函数的定义域列出不等式组解出即可.
【详解】要使得函数有意义，则，即，解得
所以函数的定义域为.
故选：B
5．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知求出中的取值范围，它即为中的范围，再结合分母不等于0，二次根式中被开方数非负得出结论．
【详解】中，，则，
所以函数中，解得，
故选：A．
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】根据题意可得，解得且．
故选：C
7．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】使函数有意义，即得关于的不等式组，解之即得函数定义域.
【详解】函数有意义，等价于，
解得，，故函数的定义域为.
故选：A.
8．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数有意义得出不等式组，解之即得函数定义域.
【详解】由有意义，等价于，解得，
即函数的定义域为.
故选：D.
9．函数的定义域为（ ）
A．{且}B．{且}
C．D．{且}
【答案】D
【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可.
【详解】由题意得，解得且，
即定义域为.
故选：D.
10．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】使函数有意义得到不等式组，求解即得.
【详解】由有意义，可得，解得且.
故选：D.
考点02：抽象函数定义域的妙解
使用前提：涉及到抽象函数求定义域，函数的解析式是未知的.
解题模板如下：
解题模板1
已知的定义域，求的定义域.
求解思路：若的定义域为，则在中，，解得的取值范围构成的集合，即为的定义域.
解题模板2
已知的定义域，求的定义域.
求解思路：若的定义域为，则由确定的的范围（值域）构成的集合，即为的定义域.
解题模板3
已知的定义域，求的定义域.
求解思路：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域.
11．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由求解即可
【详解】函数的定义域为，
由，得，
则函数的定义域为
故选：C
12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式和对数有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意可知，要使有意义，
只需要，解得，
所以，
所以函数的定义域为.
故选：D.
13．已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】利用抽象函数定义域的解法即可得解.
【分析】因为的定义域为，即，则，
所以，所以的定义域为.
故选：C.
14．函数与有相同的定义域，且对定义域中任何都有，，若的解集是，则函数是（ ）.
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
【答案】B
【分析】先分析的定义域，再根据函数奇偶性定义判断函数奇偶性.
【详解】因为的定义域为，即，所以的定义域关于原点对称.
，
所以为偶函数.
故选：B
15．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件列出不等式组，解出即可.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，解得或，
故函数的定义域为，
故选：A.
16．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用幂函数的定义求得的解析式，再利用其定义即可得解.
【详解】依题意，设幂函数为，则，故，则，
所以的定义域为，故满足，解得.
故选：B.
17．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抽象函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】函数的定义域为，所以，
，
所以的定义域为，
对于函数，由，
得，所以函数的定义域为.
故选：C
18．若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可.
【详解】设，依题意可得，解得，所以，
所以的定义域为，值域为，且，
对于函数，则，解得，
即函数的定义域是.
故选：B
19．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】整体代入法求函数的定义域，再由有意义的条件，求定义域.
【详解】因为函数的定义域是，由，解得，
所以函数的定义域为.
要使有意义，则，解得，
所以的定义域是.
故选：.
20．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据条件先求解出的定义域，然后结合分式分母不、对数的真数大于列出关于的不等式组，由此求解出的定义域.
【详解】依题意，函数的定义域为，
所以，即函数的定义域为，
所以在函数中有，解得，
所以的定义域为，
故选：A.
考点03：求函数解析式的六大思路
模型一：待定系数法求函数解析式
适用条件：已知函数解析式的类型
步骤如下：
第一步：先设出
第二步：再利用题目中给的已知条件，列出等式
第三步：列出关于待定系数的方程组（左右对应匹配），进而求出待定的系数.
模型二：换元法求函数解析式
适用条件：已知函数且能够很轻松的将用表示出来.
步骤如下：
第一步：令，解出且注意新元的取值范围
第二步：然后代入中即可求得
第三步：从而求得.
模型三：配凑法求函数解析式
适用条件：已知函数且不能够很轻松的将用表示出来.
步骤如下：
第一步：将等号右边先出现
第二步：将题干等号右边形式变形成的形式.
第三步：从而求得的解析式.
模型四：方程组法求函数解析式
适用条件：已知与、与（为常数）等之间的关系式
步骤如下：
第一步：将原式抄写一遍，如
第二步：将交换，再写一遍.
第三步：建立二元一次方程组，进行消元从而求得的解析式.
模型五：抽象函数求函数解析式
适用条件：已知：括号中既有又有时
步骤如下：
第一步：令或（令字母出现次数少的为）
第二步：代入出现或形式且求出
第三步：从而求得的解析式.
模型六：分段函数求函数解析式
适用条件：已知的解析式求的解析式.
步骤如下：
第一步：明确函数的奇偶性
第二步：，代入已知函数解析式
第三步：利用奇偶性从而求得的解析式.
21．已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．方程有解
C．是偶函数D．是偶函数
【答案】C
【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即可判断.
【详解】对于A，因为函数的定义域为，且满足，
取，得，则，
取，得，则，故错误；
对于B，取，得，则，
所以，
以上各式相加得，
所以，
令，得，此方程无解，故B错误.
对于CD，由知，
所以是偶函数，
不是偶函数，故C正确，错误.
故选：C.
22．下列函数满足的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】令，则，结合各选项代入验证，即可判断答案．
【详解】令，，则，由可得，
对于A，，故A错误；
对于B，，不满足，B错误；
对于C，，即，即，C正确；
对于D，，即不成立，D错误．
故选：C．
23．定义在上的函数满足，是函数的导函数，以下选项错误的是（ ）
A．
B．曲线在点处的切线方程为
C．在上恒成立，则
D．
【答案】C
【分析】由，可得，即可得的解析式，结合导数计算、导数的几何意义及利用导数求函数的极值与最值即可判断各选项.
【详解】由，有，
则，
即，
则，
整理得，有，
则，，即，故A正确；
，，
故切线方程：，化简得，故B正确；
在上恒成立，由，
故，故C错误；
不等式等价于，
令，
则，
故当时，，在、上单调递减，
当时， ，在上单调递增，
故有极小值，
当时，有，
故，即，故D正确.
故选：C.
24．已知为定义在上的单调函数，且对，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，设，用求的值，进而可得的解析式，从而可得.
【详解】设，则，
所以，即，
设，易知在上单调递增，
所以，即，
故，所以．
故选：B．
25．已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是减函数
【答案】C
【分析】首先利用赋值法求得的值，再赋值，求得的解析式，即可判断C，再根据函数的解析式，赋值判断BD.
【详解】对于A，令、，则有，
又，故，即，
令、，则有，
即，由，可得，
又，故，故A正确；
对于C，令，则有，
则，故函数是奇函数，故C错误；
对于D，有，即，
则函数是减函数，故D正确；
对于B，由，令，有，故B正确.
故选：C
26．已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用换元法令，代入运算求解即可.
【详解】令，则，由于，则，
可得，
所以.
故选：B.
27．已知函数满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将换成，得到即，联立方程组求得 的解析式，进而求得的值.
【详解】由，将换成，可得，
即，
联立方程组，解得，
所以.
故选：B.
28．已知，且，则=（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】由题意可求出的表达式，结合，即可求得答案.
【详解】由题意知，且，
用代换x，则，
即得，
故选：B
29．已知函数满足：，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通过化简即可得出函数的解析式.
【详解】因为，∴，
故选：A.
30．若函数，满足，且，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】根据方程组法求解函数的解析式，代入求出，，再利用求出，从而得解.
【详解】因为，所以，
联立可得，所以，，
因为，所以，则，
所以.
故选：C.
考点04：各种函数值域问题
形如①：或采用判别式法.
形式1：
形式2：
移项继续利用形式1进行处理.
形如②：函数的不等式中含有一些特殊函数，直接观察即可确定函数的值域或最值.
简称直接法
解题步骤：
第一步：观察函数中的特殊函数；
第二步：利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.
31．若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】对分两种情况讨论，分别根据一次函数、二次函数的性质，结合值域求参数取值范围即可.
【详解】①时，，值域为，满足题意；
②时，若的值域为，
则，解得，
综上，.
故选：C.
32．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，，运用换元法转化为求三角函数在给定区间上的值域.
【详解】令，，则，
∵，∴，
∴，
∴，
故选：B．
33．函数的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【分析】令，则，设，再结合三角函数的性质即可得解.
【详解】函数的定义域为，
令，则，
设，可得，
当时，有最大值为2，
所以函数的最大值为2.
故选：D.
34．已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．为偶函数
C．有最小值D．在上单调递增
【答案】C
【分析】利用题设结合赋值法可得出，进而结合二次函数性质一一判断各选项，即可得答案.
【详解】由于函数的定义域为R，且，
令，则，得，
时，恒成立，无法确定，A不一定成立；
由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定；
由于的对称轴为与的位置关系不确定，
故在上不一定单调递增，D也不确定，
由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确，
故选：C
35．已知函数在上的值域为，则（ ）
A．4B．5C．8D．10
【答案】D
【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可.
【详解】的对称轴为，则，解得，
则在上单调递增，
所以，即，
所以，为方程的两个根，
即为方程的两个根，所以.
故选：D.
36．设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分和两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可.
【详解】当时，恒成立，即恒成立，
当时，上式成立；
当，，明显函数在上单调递增，
所以，所以；
当时，恒成立，即恒成立，
令，则在上恒成立，
又开口向下，对称轴为，
所以的最大值为，
所以，
综上：实数a的取值范围是.
故选：D.
37．已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由基本不等式和可得，化简可得，令，利用换元法，结合对勾函数的性质计算即可求解.
【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以．
因为，
令，则，，
所以，
由对勾函数在上单调递增，则当时函数取到最小值，
所以当时，，
所以.
故选：B．
38．已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出函数值域化简集合A，再利用给定的运算结果，借助包含关系求解即得.
【详解】集合，而，
由，得，则，
所以的取值范围为.
故选：B
考点05：函数单调性的处理技巧
①：定义法
使用前提：一般函数类型
解题步骤：
第一步：取值定大小：设任意，且；
第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；
第三步：定符号，得出结论.
注意：同向递增，异向递减
②导数法
使用前提：较复杂的函数类型
解题步骤：
第一步：求函数的定义域和导函数的解析式；
第二步：在定义域范围内解不等式或；
第三步：得出函数的增减区间.斜率
39、已知函数利用函数单调性的定义证明：是其定义域上的增函数.
解：第一步：取值定大小：设任意，且；
，
任取，设
第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；
第三步：定符号，得出结论.
又
是其定义域R上的增函数.
40、已知函数．
（1）求证：在上是单调递增函数；
（2）若f（x）在上的值域是，求a的值．
（1）第一步：取值定大小：设任意，且；
证明：设，则，，
第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；
∵，
第三步：定符号，得出结论.
∴f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．
（2）∵f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，∴f（x）在上单调递增，
∴，即，，∴．
41、已知函数是定义在上的函数.
（1）用定义法证明函数在上是增函数；
（2）解不等式.
解：（1）第一步：取值定大小：设任意，且；
任取，且，
第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；
，
第三步：定符号，得出结论.
∵，∴，又，∴，
即，故函数在上是增函数.
（2）∵，∴是上的奇函数，
则，
又是上的增函数，
∴.，故解集为
42、已知函数定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的单调性，并证明；
（3）解关于的不等式．
解：（1）函数是定义在上的奇函数，，
又．，，．
（2）在上为增函数，理由如下.
第一步：取值定大小：设任意，且；
设，则，，，，
第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；
第三步：定符号，得出结论.
在在上为增函数，
（3），，
又在在上为递增的奇函数，，
不等式的解集为．
43、已知是定义域为的偶函数，且当时，．
（1）当时，求函数的表达式；
（2）求证：在区间上是减函数，在上是增函数，并写出函数取得最小值时的取值．
解：（1）当时，，由已知得．
函数是偶函数，；
⑴第一步：取值定大小：设任意，且；
设，
第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；．
第三步：定符号，得出结论.
当时，，，，
，即，所以，函数在上是减函数；
当时，，，，即，所以，函数在上是增函数．
由函数是偶函数，及单调性知当时，函数取得最小值.
44、已知函数，试判断函数的单调性，并证明.
因为所以为单调递增函数.
证明:第一步：设任意,且,
第二步：则,
第三步：且,
所以函数在上单调递增.
45、 求函数的单调减区间.
解：第一步：求函数的定义域和导函数的解析式；
函数的定义域为，，
第二步：在定义域范围内解不等式或；
令，即：，解得：，
第三步：得出函数的增减区间.
所以函数的单调递减区间为.
考点06：函数奇偶性的处理技巧
①：基本方法判定函数的奇偶性
使用前提：函数表达式比较简单，定义域也容易求解.
解题步骤：
第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；
第二步：若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
第三步: 得出结论.
②：利用函数的奇偶性求函数的解析式
使用前提：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间(或对称区间的子区间)上的解析式.
解题步骤：
第一步：首先设出所求区间的自变量；
第二步：运用已知条件将其转化为已知区间满足的的取值范围；
第三步：利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.
46、判定下列函数的奇偶性：
(1)(2).
(3)；(4)；
解：(1)第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；
函数的定义域要求真数大于0，即，解得，
函数的定义域.函数的定义域关于原点对称，
第二步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
，
第三步 得出结论.
所以函数为奇函数.
(2)第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；
由题意可得，所以且，
所以，函数的定义域为，关于原点对称，
第二步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
又，
第三步 得出结论.
所以函数为偶函数.
(3)第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；
由 得x2＝1，即x＝±1.
因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称．
第二步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，
第三步 得出结论.
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)第一步 确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；
函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，
第二步 若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
函数的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
47、下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
解：C. 定义域为 定义域不关于原点对称，不存在奇偶性；
D. 定义域不关于原点对称，不存在奇偶性；B. 为奇函数
A. 定义域为 故为偶函数选A
48、设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
解：是奇函数，是偶函数，，，
，故函数是奇函数，故错误，
为偶函数，故错误，
是奇函数，故正确．
为偶函数，故错误，故选：．
49、已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数
解：函数的定义域为，且 即函数 是奇函数，又在都是单调递增函数，故函数 在R上是增函数．
故选A.
50、已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求出函数的解析式.
解：第一步，首先设出所求区间的自变量x.
设x0，
第二步，运用已知条件将其转化为已知区间满足的x的取值范围：
所以f(－x)=－x(1－x)，
第三步，利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式：
又因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以－f(x)=f(－x)=－x(1－x)，即f(x)=x(1－x)，
所以函数的解析式为.
51、已知函数在R上为奇函数，且时，，则当时，________.
解：设，则，因为时，，
所以，又因为函数在R上为奇函数
所以故答案为：
52、函数在上为奇函数，且当时，，则当时，________．
解：令，则，∴，
又函数在上为奇函数，则，
即，得，故当时，．
考点07：函数单调性奇偶性综合求不等式范围
结论1：奇函数单调性不改变，若函数为定义在上的奇函数时
①若时，为单调递增，则时，为也为单调递增，即.
②若时，为单调递减，则时，为也为单调递减，即.
结论2：偶函数单调性改变，若函数为定义在上的偶函数时
①若时，为单调递增，则时，为单调递减，
即，.
②若时，为单调递减，则时，为单调递增，
即，.
53、定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
解：第一步：判断单调性
当时，单调递减，，
当时，单调递减，，故在上单调递减，
第二步：确定对称轴
由，得的对称轴为，
第三步：利用结论解不等式
若对任意的，不等式恒成立，
即对，不等式恒成立，，即，
即，
故实数的最大值为.故选：C.
54、已知函数，，如果成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
解：第一步：判断奇偶性
是奇函数
第二步：判断单调性
，，在上恒成立，
在上是增函数．
第三步：利用结论解不等式
不等式可化为，
从而可知，需满足，解得．故选：A.
55、已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
解：第一步：判断奇偶性
设，，则为奇函数，且，
当时，，，则，
当时，，，则，
当时，，，则，
则当时，不等式的解集为：；
第二步：利用结论解不等式
又都是奇函数，利用奇函数的对称性可得：
当时，不等式的解集为：；
所以的解集应为．故选：C.
56、已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B． C． D．
解：第一步：判断奇偶性
，显然该函数的定义域为全体实数，
因为，所以该函数是偶函数，
第二步：判断单调性
设，
当时，单调递增，
因此函数在时单调递增，而函数是偶函数，
第三步：利用结论解不等式
所以由，两边同时平方整理得：，故选：D
57、设是上的奇函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
解：第一步：判断奇偶性
因为是上的奇函数，则，
第二步：判断单调性
由于函数在上是减函数，则该函数在上也为减函数，
，则，作出函数的大致图象如下图所示：
第三步：利用结论解不等式
由，可得，
由，可得或，此时；
由，可得或，解得.
因此，不等式的解集是.故选：B.
58、已知函数则不等式的解集为（ ）
A．(-3，0)B．C．(0，3)D．
解：第一步：判断奇偶性
因为，，所以为奇函数，
第二步：判断单调性
是增函数，是减函数，为R上的增函数，
第三步：利用结论解不等式
所以等价于，因此，即：.故选：B.
考点08：函数周期性的处理技巧
类型一：抽象函数的周期性
使用前提：函数的解析式不确定，给出抽象函数的性质，来确定函数的周期
解题步骤：
第一步：合理利用已知函数关系并进行适当地变形；
第二步：熟记常见结论，准确求出函数的周期性；
常见的结论包括：
结论1：若对于非零常数和任意实数，等式恒成立，则是周期函数，且是它的一个周期.
证明：
也可理解为：平移个单位到谷底，再平移一个单位到巅峰，再平移一个单位又到谷底，则谷底与谷底的距离为，
结论2：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.
证明：
口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究前的正负.
结论3：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.
59．设函数的定义域为，且满足，，当时，，下列结论：
①；
②当时，的取值范围为；
③为奇函数；
④方程仅有6个不同实数解．
其中正确的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据所给条件推导出的周期、对称性，结合周期性判断①，②，根据奇函数的定义判断③，画出、的部分图象，数形结合即可判断④.
【详解】依题意，当时，，
所以当时，，当时，，
函数的定义域为，有，，
即，因此有，即，
于是有，从而得函数的周期，
对于①，，故①不正确；
对于②，当时，，有，则，
当时，，，有，
，
所以当时，的取值范围为，故②正确；
对于③，因为，
所以函数为奇函数，故③正确；
对于④，因为，所以的图象关于对称，
又，即，所以的图象关于对称，
由前述说明可知的值域为，
又当时，当时，
在同一坐标平面内作出函数、的部分图象，如下图所示：
方程的实根，即是函数与的图象交点的横坐标，
观察图象知，函数与的图象有个交点，
因此方程仅有个不同实数解，故④错误.
故选：B
60．对任意的函数，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有6个不等实根，则实数的取值范围是（ ）
A．(3,5)B．(3,4)C．[3,4]D．[3,5]
【答案】A
【分析】根据条件得到函数的奇偶性和周期性，并求出在上的解析式，分和，结合函数图象，得到，求出答案.
【详解】由，知函数为偶函数，
由，知函数为周期函数，且．
又当时，，
则当时，，，
由，得，
所以，
若方程在上有6个不等实根，
则函数与图象在上有6个不同的交点，
若，函数在上与函数图象只有1个交点，不符题意，
故，如图，
由图可知，，
解得，即实数a的取值范围为．
故选：A．
61．已知函数对都有，若的图象关于直线对称，且对，当时，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是奇函数C．是周期为4的周期函数D．
【答案】D
【分析】由图象的平移可得是偶函数，从而判断B；对都有，取，可求得，进而得到成立，从而判断C；再由已知可得在上单调递减，结合偶函数的性质及周期性，从而判断D，最后判断A.
【详解】对于B，因为函数的图象关于直线对称，
所以函数的图象关于直线对称，且定义域为，
故是偶函数，故B错误；
对于C，因为函数对都有，
所以取，可得，
又是偶函数，所以，从而可得，
则，故是周期为6的周期函数，故C错误；
对于D，因为是偶函数，且是周期为6的周期函数，
所以，
，
又对，当时，都有，
所以在上单调递减，则，
即，故D正确；
对于A，由在上单调递减，，可得，故A错误.
故选：D.
62．定义在上的函数满足，，为奇函数，有下列结论：
①直线为曲线的对称轴；②点为曲线的对称中心；③函数是周期函数；④；⑤函数是偶函数.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据可得函数对称轴，可判断①；根据可得函数周期，可判断③；根据，结合对称轴和周期可得对称中心，可判断②；根据周期性和对称性求出，进而可得判断④；根据周期性和对称中心可得奇偶性判断⑤.
【详解】由知直线为曲线的对称轴，①正确；
因为，所以
所以是周期为4的周期函数，③正确；
由为奇函数有，令得，则的图象关于点对称，
又直线为曲线的对称轴，以是周期为4的周期函数
则的对称中心为，②错误；
令，则，所以，在中，令，则.
于是，，，，则，所以，④正确；
因为的图象关于点对称，因为周期为4，
所以，所以为奇函数，⑤错误.
故选：C.
63．已知是定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．-1
【答案】A
【分析】根据条件得到函数是周期为的函数，再根据条件得出，即可求出结果.
【详解】因为函数为偶函数，所以，函数的图象关于直线对称，
又函数为奇函数，所以，所以函数的图象关于对称，
所以，所以，即，
所以，则函数的一个周期为4，
令，则，所以，
令，，又，所以，
，
所以.
故选：A
64．已知是定义域为的奇函数且满足，则（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】B
【分析】根据题意，推得，得到是周期为2的周期函数，结合，即可求解.
【详解】由是定义域为的奇函数，则，且，
又由满足，即，
则有，可得，即函数是周期为2的周期函数，
故.
故选：B.
65．定义在R上的函数，满足，，，，则下列说法中错误的是（ ）
A．是函数图象的一条对称轴
B．2是的一个周期
C．函数图象的一个对称中心为
D．若且，，则n的最小值为2
【答案】D
【分析】由已知可推得关于直线对称，.又有.进而得出，即有，即可得出B项；根据的周期可得出的周期为4，结合的对称性，即可得出A项；由的对称中心，即可得出关于点对称，结合的性质，即可得出C项；根据的周期性以及对称性可得，，然后分讨论求解，即可判断D项.
【详解】由可得，所以关于直线对称，
所以关于直线对称，即关于直线对称，
所以关于直线对称，所以关于直线对称，
所以有，所以有，所以.
又由可得，，所以关于点对称，
所以.
对于B项，因为，，
所以，，所以，
所以，的周期为，故B项正确；
对于A项，由已知周期为2，所以的周期为4.
因为关于直线对称，所以是函数图象的一条对称轴，故A项正确；
对于C项，关于点对称，所以关于点对称，
所以关于点对称，所以.
又关于直线对称，所以，
所以，所以有，
所以函数图象的一个对称中心为，故C项正确；
对于D项，由C知，关于点对称，关于点对称，
所以，，，所以.
又的周期为4，所以对，.
因为，
则当时，有.
因为，所以，不满足题意；
当时，，不满足题意；
当时，，满足题意.
故n的最小值为3，D错误.
故选：D
66．已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．B．C．4D．2
【答案】B
【分析】借助赋值法可得，结合题意计算可得函数的周期，即可得解.
【详解】因为，取得，即，
又，取得.
由得，
所以函数的一个周期为，故.
故选：B.
考点09：函数对称性的处理技巧
类型一：函数自身的对称性
使用前提：单一的函数本身具有轴对称或中心对称的特征
解题步骤：
第一步：由所给的函数性质确定函数的对称性
常见函数的对称性包括：
定理1：函数的图像关于点对称的充要条件是.或或
推论1：函数的图像关于原点对称的充要条件是.
定理2：函数的图像关于直线对称的充要条件是，即.
推论2：函数的图像关于轴对称的充要条件是.
67、定义在上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是( )
A.是偶函数，也是周期函数B.是偶函数，但不是周期函数
C.是奇函数，也是周期函数D.是奇函数，但不是周期函数
解：第一步：由所给的函数性质确定函数的对称性
为偶函数，则.故函数有两条对称轴与.
第二步：结合函数的对称性确定结论
因此是以为其一个周期的周期函数，故，
即轴也是的对称轴，因此还是一个偶函数.故选A.
68、对于函数，给出如下四个结论：其中正确的结论有______个.
（1）这个函数的值域为；（2）这个函数在区间上单调递减；
（3）这个函数图象具有中心对称性；（4）这个函数至少存在两个零点.
解：，定义域：且且.
当，，
所以在单调递减，故（2）正确.
因为，，
所以关于点中心对称，故（3）正确.
，
，
所以函数在上有零点，
同理，，函数在上有零点，故（4）正确.
当时，，当时，，
且函数又有零点，所以函数的值域为，故（1）正确.故答案为：
69、函数图象的对称中心为_____
解：由题意设对称中心的坐标为，则有对任意均成立，代入函数解析式得，

整理得到：，
整理得到 对任意均成立，
所以 ，所以，.即对称中心．故答案为．
70、对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数，计算__________.
解：由题可知：，则，所以
令，则，又，
故的对称中心为，故，
令
所以
所以，则，故答案为：.
71、若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为_______．
解：因为，所以，
所以，.故答案为：.
72、已知函数,________.
解： ，故


故答案为:.
考点10：分段函数与零点问题
形如1：已知定义域为的函数，若是三个互不相同的正数，且，则的范围是？
破解：作出函数的图象，
不妨设，则，
∴，
∴，即，
∴，∴.
形如2：已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是？
破解：由题意作函数与的图象如下，
结合图象可知，，，故，，
故，
形如3：已知函数若(互不相等)，则的取值范围是？
破解：作出函数的图象，如图所示:
设，则.
因为，所以，
所以，所以，即.
当时，解得或，所以.
设，
因为函数在上单调递增，所以，即，
所以.
73．已知函数.若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解：作出函数的图象，如图，的递减区间是和，递增区间是和
因，，，是方程的四个互不相等的解，则，不妨令，
则有，是方程的两个根，必有，
，是方程的两个不等根，则，，
整理得，即，由得：或，因此有，，
则有，，而函数在上单调递减，从而得，
于是得，
所以的取值范围是.故选：D
74．，若，且，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
解：画出函数图像如下：观察图像可得，，即，且，
则，因为，所以，
即的取值范围为.故选：A.
75．已知函数，若实数，，c满足且，则的取值范为（ ）
A．B．C．D．
解：作出函数的图象如下图所示：
当时，，
由图可知，，即，解得，则，
由，即，即，可得，
因此，.故选：D.
76．已知函数，若､､均不相等且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
解：作出函数的图象如图，
不妨设，则所以，
则．故选：．
77．已知函数，若存在互不相等的正实数､､，满足，其中，则的最大值为（ ）
A．B．4C．9D．36
解：由题意，函数，作出函数的图象，如图所示：
由图可得，且有，
则，其中，
令，则，，
所以当，解得，
即当时，单调递增，时，单调递减，
则最大4值为.故选：.
78．已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
解：画出的图象如下图所示，，所以不妨设，
所以.故选：B