湖北省襄阳市2025-2026学年高二下学期3月阶段测数学试卷含解析（word版）

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1. C 设公比为 q ,由 a2028=a2024⋅q4 ,得 q2=2 ,所以 a2026=a2024⋅q2=4
2. A 由椭圆性质知,离心率越小,越接近于圆,显然 x28+y27=1 的离心率最小.
3. B 由双曲线 C:x29−y2b2=1b>0 可知渐近线方程为 y=±b3x , 若双曲线 C 的两条渐近线的倾斜角均大于 π6 ,则 b3>33 ,即 b>3 ,而双曲线的焦距到其中一条渐近线的距离为 b ,所以取值范围是 3,+∞
4. A 由题知, a=3,b=6,c=3 ,当 P 在短轴顶点时 ΔPF1F2 的面积最大值为 32
5. D 对于 A ,由 a//b 知夹角为 0,故 A 错误;
对于 B ,可由点到平面的距离公式求得 322 ,故 B 错误;
对于 C,a,b,c 是空间的一组基底,而 a+5b+c=a+2b+3b+c ,
即 a+2b,3b+c,a+5b+c 是共面向量,故 a+b,b+c,a+2b+c 不是空间的一组基底,即 C 错误.
对于 D ,由 a 在 b 上的投影向量为 a⋅bb2=−120,1,−1=0,−12,12 ,故 D 正确.
6. C 易得气球的体积 V 与面积 S 的函数解析式为 V=S326π ,记 fS=S326π ,求导得 f′S=S4π ,当气球半径 r=1 时, S=4π,f′4π=12 . (选择性必修第二册 70 页练习第 4 题改编)
7. B 由 Sn=2an−12047 得 Sn−1=2an−1−12047n≥2,n∈N∗ ,两式相减整理得 an=2an−1n≥2,n∈N∗ ,又易得 a1=12047≠0 ,故 an 是等比数列,且 an=2n−12047 . 当 n=11 时, an1 ,所以 n=11 时, Tn 取最小值时,此时 Sn=S11=1 . (源自选择性必修第二册 40 页练习第 3 题和 41 页第 10 题)
8. D 将方程 4−x2−tx4−2t2025=1 转化为方程 4−x2−tx−4+2t=0 ,再转化为: 半圆 y=4−x2 与直线 y=tx+4−2t 有两个不同交点. 当直线与半圆相切时,有 4−2tt2+1=2,t=34 , ∴ 半圆 y=4−x2 与直线 y=tx+4−2t 有两个不同交点时. 直线 y=tx+4−2t=tx−2+4− 定过 2,4 ,由图象知直线过 −2,0 时直线的斜率 t 取最大值为 1,∴t∈34,1 .
9. AD
π2026′=0, A 选项错误;
xex′=ex−xexex2=1−xex, B 选项正确;
cs4x−5′=−4sin4x−5,C 选项正确;
x3lg2x′=3x2lg2x+x31xln2=3x2lg2x+x21ln2,D 选项错误.
10. ABD
设 A,B 两点的坐标为 Ax1,y1,Bx2,y2 ,直线 AB 的方程为 x=my+p2 .
联立方程 y2=2pxx=my+p2 ,消去 x 后整理为 y2−2pmy−p2=0 ,
显然有 Δ=4p2m2+4p2>0 ,则 y1+y2=2pm,y1y2=−p2 ,
可得 x1x2=y12y224p2=p24 .
对于 A ,由 OA⋅OB=x1x2+y1y2=p24−p2=−3p24=−12 ,解得 p=4 ; A 正确
对于 B ,因为线段 AB 的中点到准线的距离 d=AB2 ,而以线段 AB 为直径的圆的半径为 AB2 ,
所以以线段 AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切,所以 B 正确,
对于 C ,当倾斜角 θ 为锐角时, AF=p1−csθ,FB=p1+csθ ,由 AF=3FB ,
p1−csθ=3⋅p1+csθ ,解得 csθ=12 ,故直线 l 的倾斜角 θ=60∘ 或 120∘,C 错误
对于 D ,由上面知 x1+x2=my1+y2+4=8m2+4,y1+y2=8m ,线段 AB 的中点
Dx1+x22,y1+y22 即 D4m2+2,4m ,可得直线 OD 的斜率为 k=2m2m2+1 ,显然当当 m>0 时, k 方能取最大值; 故 k=2m2m2+1=22m+1m≤222=22 (当且仅当 m=22 时取等号)
此时 D4,22,D 点到准线的距离为 d=4−−2=6 ,弦长 AB=2d=12 ,故 D 正确.
11. AC
A 答案,
S11=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11=2+232+34+36+38+310=96−14 B 和 C 答案,参照教材 39 页例 12 的构造法、待定系数法求数列通项公式.
由 an+1+an=2×3n 得 an+1−3n+12=−an−3n2 ,易得 an−3n2 是等比数列,
an=3n+−1n−12 . 当 n 为偶数时, an=3n−12, B 错, C 对
D 答案, nan=n⋅3n2+−1n−1⋅n2 ,数列 n⋅3n2 用错位相减求和,数列 −1n−1⋅n2 用并项求和，分别求和再相加得到 D 答案是错误的. (选择性必修第二册 41 页第 7 题改编)
12. 97 由空间向量基本定理, λ−27+μ=1 ,所以 λ+μ=97
13. 90 圆 C 的圆心为 1,0 ,半径 r=25an ,由直线与圆相切得 an−1+an+15=25an ,即 2an=an−1+an+1 ,所以 an 为等差数列. 在等差数列 an 中, S5,S10−S5,S15−S10 成等差数列,所以 2S10−S5=S5+S15−S10 ,则 2×50−20=20+S15−50 ,即 S15=90 .
14. 1+22 如图,设直线 PA 的方程为: y=kx+2k