湖北省华中师范大学第一附属中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学模拟练习试卷（Word版附解析）

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一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分。每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的。
1．若 sinα ，则 cs2α＝（ B ）
A． B． C． D．
【解析】
∵sinα ，∴cs2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2 ．
2．已知点 O 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点，则（ C ）
A． B． C． ∥ D．
【解析】
∵四边形 ABCD 为▱ ，如图所示 ，故 ， ， ∥ ，
故 AB 错，C 对，又因为平行四边形对角线不一定相等，故 D 错．
3．如图所示的△ABC 中，点 D 是线段 AC 上靠近 A 的三等分点，点 E 是线段 AB 的中点，则
（ C ）
A． B． C． D．
【解析】
∵ 点 D 是 线 段 AC 上 靠 近 A 的 三 等 分 点 ， 点 E 是 线 段 AB 的 中 点 ， ∴
（ ）
4．设 x，y∈R，向量 （x，1）， （1，y）， （2，﹣4），且 ⊥ ， ∥ ，则|
|＝（ A ）
A． B． C． D．10
【解析】
∵ ， 且 ， ∴ x• 2+1• （ ﹣ 4） ＝ 0， 解 得 x＝ 2． 又 ∵
1
，且 ，∴1•（﹣4）＝y•2，解之得 y＝﹣2，由此可得
， ，∴ （3，﹣1），可得 ．
5．一半径为 2 米的水轮如图所示，水轮圆心 O 距离水面 1 米，已知水轮每 60 秒逆时针匀速
转动一圈，如果当水轮上点 P 从水中浮现时（图中点 P0）开始计时，则点 P 距离水面的高
度 h（米）与 t（秒）的一个函数解析式为（ D ）
A． B．
C． D．
【解析】
设点 P 距离水面的高度为 h（米）和 t（秒）的函数解析式为 h＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，
ω＞0，|φ| ），由题意，hmax＝3，hmin＝﹣1，所以 ，解得 ，
由 T 60，得ω ，所以 h＝2sin（ t+φ）+1．当 t＝0 时，h＝0，所以
2sinφ+1＝0，则 sinφ ，又因为|φ| ，所以φ ．则 h＝2sin（ t
）+1．
6．已知 ， ， ， ，则 cs（α+β）
＝（ D ）
A． B． C． D．
【解析】
因为 ， ，所以 sin（ ） ，因为 ，所以
， 又 ， 所 以 ，
．
7．设函数 ，若 f（x）的图象经过点（0，1），且 f（x）
2
在[0，π]上恰有 2 个零点，则实数ω的取值范围是（ A ）
A． B． C． D．
【解析】
由 题 意 f（ 0） ＝ 1， 可 得 ， 又 ， 可 得 ， 所 以
，由 x∈[0，π]，可得 ，由题意 f（x）
在[0，π]上恰有 2 个零点，可得 ，解得 ，即实数ω的取
值范围是 ．
8．已知向量 满足 ， ，设 与 的夹角为θ，则 csθ的最小
值为（ B ）
A． B． C． D．
【解析】
根据题意，设| |＝t，则| |＝2t，当 t≠0 时，若 ，则（ ）2＝5t2﹣2 •
9，则有 2 • 5t2﹣9，则（ ）2＝5t2+2 • 10t2﹣9，必有 10t2﹣9＞0，变
形可得| | ，则 csθ ，设
10t2﹣9＝λ，则 t2 ，又由
2
，当且仅当λ＝9 时等号成立，即 的最小值为 ，
此时 csθ的最小值为 ；综合可得：csθ的最小值为
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，下面四个结论正确的是（ BC ）
A．a＝2，A＝30°，则△ABC 的外接圆半径是 4 B．若 ，则 A＝45°
C．若 a2+b2＜c2，则△ABC 一定是钝角三角形 D．若 A＜B，则 csA＜csB
【解析】
a＝2，A＝30°，设△ABC 的外接圆半径是 R，则 2R 4，解得 R＝2，因此 A
3
不正确； ，由正弦定理可得： 1，∴tanA＝1，A∈（0°，180
°）∴A＝45°，因此 B 正确；∵a2+b2＜c2，则 csC 0，∴C 为钝角，∴△ABC
一定是钝角三角形，因此 C 正确；∵A＜B，A，B∈（0°，180°），∴csA＞csB，因此 D
不正确．
10．已知函数 ，则下列说法正确的是（ AC ）
A．f（x）的图像关于直线 对称
B．f（x）的图像的一个对称中心是
C．f（x）在区间 上单调递减
D．若 y＝af（x）+2 的最大值为 ，则 y＝af（x）+2 的最小值为
【解析】
因为 ，对于 A，
由 ，得到 ，当 k＝﹣2 时， ，所以 A
正确，对于选项 B，由 ，得到 ，所以 f（x）的对
称中心为 ，当 k＝2 时，对称中心为 ，所以 B 错误，对于 C，
由 ，得到
， 当 k＝ 0 时 ， ， 又 ， 所 以 C 正 确 ， 对 于 D， 因 为
，当 a＞0 时，由题有 ，得
到 ，此时 y＝ af（ x） +2 的最小值为 ，当 a
＜0 时，由题有 ，得到 此时 y＝af（x）+2 的
最小值为 ，所以 D 错误．
11．已知点 O 为△ABC 所在平面内一点，满足 ，（其中λ，μ∈R）（
ABD ）
A．当λ＝μ时，直线 OC 过边 AB 的中点
B．若 ，且λ＝μ＝1，则
4
C．若λ＝2，μ＝3 时，△AOB 与△AOC 的面积之比为 2：3
D．若 ，且 ，则λ，μ满足λ2+u2＝1
【解析】
对于 A，设 AB 的中点为 D，则当λ＝μ时，有 ，即得 O，
C，D 三点共线，故直线 OC 过边 AB 的中点，故 A 正确；对于 B，由于 且
λ＝μ＝1 时， ，故 O 为△ABC 的外心和重心，故△ABC 为等边三角形，
则 ∠ BAO＝ 30° ， 由 可 得 ， 故
，故 B 正确；对于 C，如图所示 ，
延长 OA 至 A′，使 OA′＝3OA，延长 OB 至 B′，使 OB′＝2OB，连接 A′B′，设其中点为 E，
连接 OE 并延长至 C′，使 EC′＝EO，连接 A′C′，B′C′，则四边形 OA′C′B′是平行四
边 形 ， 所 以 ， 而 λ ＝ 2， μ ＝ 3 时 ，
，故 ，即 C，O，C′三点共线，且 ，根据
同底等高三角形面积相等，则 S△AOC＝S△AOC′＝S△AOB′＝2S△AOB，即△AOB 与△AOC 的面积
之 比 为 1： 2， 故 C 错 误 ； 对 于 D， 因 为 ， 且 ， 由
得 ， ， 所 以
，即λ2+μ2＝1，故 D 正确。
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分。
12．若△ABC 中，AC ，A＝45°，C＝75°，则 BC＝ ．
【解析】
∵AC ，A＝45°，C＝75°，B＝180°﹣A﹣C＝60°，∴由正弦定理 ，可
得：BC ．
13．设向量 （ ，sinα）， （ ，csα ），若 ，则 sin（2α ）的
值是 ．
5
【解析】
∵向量 （ ，sinα）， （ ，csα ）， ，∴ ，∴ sinα
，
∴sin（α ） ，∴cs（2 ）＝1﹣sin2（ ） ，∴sin（2 ）＝
﹣cs（2 ） ．
14．已知函数 f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象如图所示，M，N 是直线 y＝﹣1 与曲线 y＝f
（x）的两个交点，且 ，则 f（π）的值为 ．
【解析】
由图像可知 A＝2，设 M（x1，y1），N（x2，y2），由 可得 ，令 2sin（ωx
+φ ） ＝ ﹣ 1， 可 得 ， 则
，把 代入 f（x）结合五点法可得
，所以 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题 13 分）已知向量 ，且 与 垂直．
（1）求 ；
（2）若 与 互相垂直，求实数 k 的值．
【解析】
（ 1） ， ∴ ， m＝ 0， ∴ ， 且 ， ∴
， ；
（ 2） ， 且 与 互 相 垂 直 ， ∴
，即 k＝﹣2．
6
16．（本小题 15 分）已知函数 f（x）＝sin2x﹣sin2（x ），x∈R．
（1）求 f（x）的最小正周期；
（2）求 f（x）在区间[ ， ]内的最大值和最小值．
【解析】
（1）化简可得 f（x）＝sin2x﹣sin2（x ） （1﹣cs2x） [1﹣cs（2x ）]
（1﹣cs2x﹣1 cs2x sin2x） （ cs2x sin2x） sin（2x ） ∴
f（x）的最小正周期 T π；
（2）∵x∈[ ， ]，∴2x ∈[ ， ]，∴sin（2x ）∈[﹣1， ]，∴
sin（2x ）∈[ ， ]，∴f（x）在区间[ ， ]内的最大值和最小值分别为
，
17．（本小题 15 分）记△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知（b+c）sinB＝（a
+c）（sinA﹣sinC）．
（1）求 A；
（2）若∠BAC 的角平分线 AD 与 BC 交于点 D，且 b＝2，AD＝1．求△ABC 的面积，
【解析】
（1）因为（b+c）sinB＝（a+c）（sinA﹣sinC），所以由正弦定理，可得（b+c）b＝（a+c）
（a﹣c），即 b2+c2﹣a2＝﹣bc，由余弦定理，得 ，因为 A∈（0，π），
所以 ；
（ 2） 由 题 意 及 （ 1） 知 ， ， 因 为 S△ ABC＝ S△ ABD+S△ ACD， 所 以
， 整 理 得
， 即 2c＝ 2+c， 解 得 c＝ 2， 所 以
，即△ABC 的面积为 ．
18．（本小题 17 分）如图，在边长为 1 的正三角形 ABC 中，D 为 BC 的中点， ，
过点 O 的直线交边 AB 与点 M，交边 AC 于点 N．
（1）用 ， 表示 ；
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（2）若 ， ，求 的值；
（3）求 OM2+ON2 的取值范围．
【解析】
（ 1） ∵ D 为 BC 中 点 ， ∴ ， 又 ∵ ， ∴ ， ∴
；
（2）若 ， ，∴ ， ，∴
，∵M，O，N 三点共线，∴ ，∴ ；
（ 3） 由 （ 2） 得 m+n＝ 3mn， ，
，
，由
得 ， ，令 3n﹣1＝t，得 mn ，∵ ，且
由题可知 0＜m≤1，则有 0 1，又 0＜ n≤ 1，∴ ，则 ，∴
， ，所以 OM2+ON2 的取值范围为 ．
19．（ 本 小 题 17 分 ） 已 知 O 为 坐 标 原 点 ， 对 于 函 数 f（ x） ＝ asinx+bcsx， 称 向 量
为函数 f（x）的伴随向量，同时称函数 f（x）为向量 的伴随函数．
（1）设函数 ，试求 g（x）的伴随向量 ；
（2）记向量 的伴随函数为 f（x），求当 且 时，sinx 的
值；
（3）当向量 时，伴随函数为 f（x），函数 h（x）＝f（2x），求 h（x）在区
间 上最大值与最小值之差的取值范围．
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【解析】
（1）g（x）＝sin（x ）+cs（x ） sinx csx+sinx
，所以 （ ， ）．
（2）依题意 f（x）＝sinx c0sx＝2sin（x ），由 f（x） ，得 2sin（x ）
，sin（x ） ，x∈（ ， ），x ∈（0， ），所以 cs（x ） ，
所以 sinx＝sin[（x ） ] ．
（3）f（x）的函数解析式 f（x）＝sin（x ），所以 h（x）＝sin（2x ），区间[t，t
]的长度为 ，函数 h（x）＝sin（2x ）的周期为π，若 h（x）的对称轴在区间[t，
t ]内，不妨设对称轴 x 在[t，t ]内，最大值为 1，当 h（t ）＝h（t），即
h（ ）＝h（0） 时，函数 h（x）在区间[t，t ]上的最大值与最小值之差取得最
小值为 1 ；其它的对称轴在[t，t ]内时最大值与最小值之均大于 ，
若 h（x）的对称轴不在区间[t，t ]内，则 h（x）在区间[t，t ]内单调，在两端点
处取得最大值与最小值，则最大值与最小值之差为：|h（t ）﹣h（t）|＝|sin（2t
）﹣sin（2t ）|＝|cs（2t ）﹣sin（2t ）|＝| sin（2t ）|＝|
sin（2t）| ，故函数 h（x）＝sin（2x ）在区间[t，t ]上的最大值与最小值
之差的取值范围为[ ， ]．
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