湖北省华中师范大学第一附属中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学模拟练习试题（Word版附解析）

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一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分。每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的。
1．已知函数 f（x）＝x3﹣3ax﹣1，曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与 x 轴平行，
则 a＝（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1
2．已知函数 f（x）的导函数为 f′（x），且满足 f（x）＝2f′（e）x+lnx，则 f′（e）＝
（ ）
A． B．﹣e C． D．e
3．记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a5＝7，a10＝2，则 S14＝（ ）
A．49 B．63 C．70 D．126
4．若函数 f（x）＝x2﹣ax+lnx 在区间（1，e）上单调递增，则 a 的取值范围是（ ）
A．[3，+∞） B．[3，e2+1] C．（﹣∞，3] D．[e2+1，3]
5．已知数列{an}满足 ，a1＝1，则 a2025＝（ ）
A．4047 B．4048 C．4049 D．4050
6．定义在[0，+∞）上的函数 f（x）≠0 恒成立，其导函数为 f′（x），若 f（x）﹣（x+1）
f'（x）ln（x+1）＜0，则（ ）
A．2f（1）＞f（3）＞0 B．2f（1）＜f（3）＜0
C．2f（3）＞f（1）＞0 D．2f（3）＜f（1）＜0
7．已知函数 f（x）＝ax2+（a﹣2）x﹣lnx，若 f（x）有两个零点，则 a 的取值范围是（ ）
A．（0，1） B． C．（1，e） D．
8．设 a＝0.1e0.1，b ，c＝﹣ln0.9，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．已知公差为 d 的等差数列{an}中，其前 n 项和为 Sn，且 a2＝0，S7＝a4+12，则（ ）
A．d＝1 B．an＝n﹣2 C．a4+a10＝a12 D．Sn＝n2﹣3n
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10.已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）≥0 恒成立 B．f（x）只有一个零点
C．f（x）在 处得到极大值 D．f（x）是（0，+∞）上的增函数
11．已知函数 f（x）＝ex（x2﹣x+1），则下列选项正确的有（ ）
A．函数 f（x）极小值为 1
B．函数 f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增
C．当 x∈[﹣2，2]时，函数 f（x）的最大值为 3e2
D．当 时，方程 f（x）＝k 恰有 3 个不等实根
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分。
12．已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比为 q，若 S4＝15，S2＝3，则 q＝ ．
13．若函数 在区间（a﹣4，a）上存在最小值，则实数 a 的取值范
围 ．
14．若关于 x 的方程 ln2x﹣mxlnx 0 有 4 个不同的实数解，则实数 m 的取值范围
是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题 13 分）在等差数列{an}中，a5＝20，a2+a7＝37．
（1）求 an；
（2）若 ，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，求 S99．
2
16．（本小题 15 分）已知函数 f（x）＝2x3+3ax2+3bx+1 且在 x＝1 及 x＝2 处取得极值．
（1）求 a，b 的值；
（2）求函数 y＝f（x）在[0，3]的最大值与最小值．
17．（本小题 15 分）已知函数 ．
（1）当 时，求函数 f（x）的单调区间；
（2）若 对 x∈（0，+∞）恒成立，求实数 a 的取值范围．（e 是自然对数的底数）．
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18．（本小题 17 分）已知函数 f（x）＝lnx，过点（a1，f（a1））作曲线 y＝f（x）的切线，
交 y 轴于点（0，a2），若 a2＞0，则过点（a2，f（a2））作曲线的切线，交 y 轴于点（0，a3），
以此类推，得到数列{an}．
（1）当正整数 n≥2，试求出 an 与 an﹣1 的关系式；
（2）当正整数 n≥2．
①证明：an﹣an﹣1≤﹣2；
②是否存在正整数 k（k≥3），使得 a1，a2，…，ak 依次成等差数列？若存在，求出 k 的所
有取值；若不存在，试说明理由．
19．（本小题 17 分）已知 f（x）＝（x﹣1）ex ax2．
（1）当 a＝e 时，求 f（x）的极值；
（2）若 f（x）有 2 个不同零点，求 a 以的取值范围；
（3）对∀x＞1，求证：f（x） ax2+x+1+ln（x﹣1）．
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