湖北省楚天协作体2025-2026学年高一下学期3月阶段测试数学试卷（Word版附解析）

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合题目要求的．
1. 已知 ，则 是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
【答案】B
【解析】
【详解】 ，故 是第二象限角.
2. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由 ， ，
所以
3. 已知函数 ，则 单调递减区间是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】令 ，得 ，
故 的单调递减区间是 .
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4. 若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】若 ，如 满足，此时 ，故充分性不满足，
若 ，而 ，则 ，故 ，
当且仅当 时等号成立，则 ，必要性成立，
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件.
5. 已知某扇形的弧长为 1，面积为 2，则该扇形圆心角的弧度数为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【详解】设该扇形半径为 r，圆心角为 ，则 ，解得 .
6. 已知幂函数 （ 为常数）具有性质：（1）定义域为 ，（2）图象关于 轴对
称，则 的可能取值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】由幂函数 的性质知其为偶函数且 ，
对于 A， ， ，为奇函数，故 A 错误；
对于 B， ， ，定义域为 ，
且 ，故 为偶函数，故 B 正确；
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对于 C， ， ，即 ，定义域为 ，故 C 错误；
对于 D， ， ，即 ，定义域为 ，故 D 错误．
7. 函数 与 图象的交点个数为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据偶函数的性质，再画出两个函数的图象判断.
【详解】两个函数都是偶函数，所以两个函数图象的交点也关于 轴对称，
的最大值为 1， ， ， ， ，
如图可知，当 时，两个函数的图象有 3 个交点，根据对称性可知， 时，两个函数的图象也有 3
个交点，所以共有 6 个交点.
8. 已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数与指、对数函数的性质，计算即可.
【详解】由 的单调性可知 时， ，
时， ，
要满足题意需 ，即 ，
解之得 .
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二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知实数 满足 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数单调性判断选项 A、B、D 选项，用作差法判断 C 选项
【详解】选项 A、幂函数 在 上单调递增，由 可得 ，A 成立；
选项 B、幂函数 在 上单调递增，由 可得 ，B 不成立；
选项 C、 ，
因为 ，所以 ，分母 ，因此差小于 ，即 ，C 成立；
选项 D、函数 在 上是严格单调递减的，因为 ，所以 ，D 不成立.
10. 已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则（ ）
A. 当 时， B. 在 上单调递增
C. 的值域为 D. 有 2 个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于 A：根据奇函数定义求函数解析式；对于 B：根据函数解析式结合指数函数单调性分析判断；
对于 C：举反例说明即可；对于 D：作出函数 的图象，结合图象判断交点个数即可.
【详解】因为 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，
当 时，则 ，可得 ，故 A 正确；
因为 在 上单调递减，可知 在 上单调递增，故 B 正确，
对于选项 C：因为 ，可知 的值域不为 ，故 C 错误；
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对于选项 D：令 ，可得 ，
作出函数 的图象，
由图象可知： 与 有 2 个交点，
所以 有 2 个零点，故 D 正确.
11. 在平面直角坐标系 中，圆心在坐标原点的单位圆与 轴正半轴、 轴正半轴分别交于点 、 ，锐
角 的终边与单位圆交于点 ，过 作 轴的垂线交 轴于点 ，延长 至点 ，使得 为 的中
点．设 的面积为 ，四边形 的面积为 ．下列命题正确的是（ ）
A. 点 的坐标是
B. 若 ，则
C. 若 ，则 或
D. 当 时， 的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意可得各点坐标，进而可得 ， ，即可判断 A；对
于 B：分析可得 ，代入运算求解即可；对于 C：整理可得 ，代入运算求解即
可；对于 D：整理可得 ，换元令 ，根据三角函数性质结合函数单调
性求值域即可.
【详解】如图，
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由题意可知： ，其中 ，则 ，
且 为 的中点，可得 ，故 A 正确；
所以 ，
.
对于选项 B：因为 ，即 .
若 ，则 ，
可得 ，即 ，故 B 错误；
对于选项 C：因为 ，
若 ，即 .
可得 ，解得 或 ，故 C 正确；
对于选项 D：因为 ，且 ，
令 ，
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且 ，则 ，可得 ，即 ，
可得 ，
设 ， ，可知 在 内单调递增，
且 ， ，可得 ，
所以 的取值范围是 ，故 D 正确.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若命题“ ”是真命题，则实数 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用存在性问题 定义，求解参数范围.
【详解】由 得 ，则 使 成立，
即 使 成立，则 .
13. 已知 ，则 的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数求出 ，利用 求解即可.
【详解】已知 ， ，
所以 ，即 ，
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则 ，
所以 .
14. 已知函数 ，若 在定义域上恒成立，则实数 的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分析两个函数 和 的性质，分 和 两个区间，讨论
函数的值域，再根据 恒成立，列式求解.
【详解】函数的定义域是
当 时， ， ，则 ，由 在区间 恒成立，则
，
当 时， ， ， ，由 在区间 恒成立，
则 ，即 ，
综上可知，
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）已知 ，求 的值（用 表示）；
（2）化简： ．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）利用已知条件将 进行合理拆分，并通过对数的运算规则进行化简.
（2）根据二倍角公式以及辅助角公式求解即可.
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【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 .
（2） .
16. （1）求函数 的最小正周期和单调区间；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值．
【答案】（1）最小正周期为 ,单调递增区间为 ，无单调递减区间.（2）最大值为
，最小值为 .
【解析】
【分析】（1）根据正切型函数的最小正周期公式即可求解周期，利用整体法结合正切函数的单调性求解单
调性，
（2）利用整体法以及正弦函数的单调性即可求解.
【详解】（1） 的最小正周期为 ,
令 ,解得 ，
故单调递增区间为 ，无单调递减区间.
（2）由于 ，所以 ，故 ,
故最大值为 ，最小值为 .
17. 动画电影《哪吒之魔童闹海》受到观众的一致好评，以 159 亿元的票房登顶中国影史票房榜．已知上映
期间孝感某电影院一个放映厅共有 350 个座位．电影票票价不分等次．根据影院的经营经验，当每张电影
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票票价不超过 30 元时，票可全售出；当每张电影票票价超过 30 元时，每提高 1 元，将有 5 张票不能售出，
为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价
定为 1 元的整数倍；②电影院放映一场电影的成本费用支出为 8000 元，放映一场电影的收入必须高于成本
支出．设每张电影票票价为 （ ，单位：元），该影院放映一场电影的净收入（除去成本费用后的收
入）为 （单位：元）．
（1）当每张电影票票价 超过 30 元时，为符合基本条件，求 的取值范围；
（2）求 的解析式；
（3）试问在符合基本条件的前提下，当每张电影票票价 为多少元时，放映一场的每张售出票的净收入最
大？并求出最大值．
【答案】（1） 且
（2）
（3）所以票价定为 60 元时，每张售出票的净收入最多为 20 元
【解析】
【分析】（1）依题意，表示每张电影票票价 超过 30 元时，放映一场电影的收入必须高于成本支出，求出
范围；
（2）根据 的范围，分别求出函数表达式；
（3）表示每张售出票 净收入，分别求出两个函数的最大值，从而综合得到答案．
【小问 1 详解】
当每张电影票票价 超过 30 元时，每提高 1 元，将有 5 张票不能售出，
则售出的票数为 ，则收入为 ，
放映一场电影的收入必须高于成本支出，
所以 ，
化简得 ，
解得 ，
因为 ，票价定为 1 元的整数倍，
所以 且 ，
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所以 的取值范围为 且 ．
【小问 2 详解】
当 且 ，净收入 ，
当 ，解得 ，所以 且 ，
当 且 时，净收入 ，
所以
【小问 3 详解】
对于 ， 且 ，每张售出票的净收入为
时，每张售出票的净收入最大为 元，
对于 ， 且 ，
每张售出票的净收入为
，
当且仅当 时，取等号，最大值为 20，
所以票价定为 60 元时，每张售出票的净收入最多为 20 元．
18. 已知定义域为 的函数 是奇函数．
（1）求 的值；
（2）求函数 的值域；
（3）若对于 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）值域为 .
（3） .
【解析】
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【分析】（1）根据 可得 ，验证即可求解，
（2）根据函数的单调性，结合不等式的性质即可求解值域，
（3）根据函数的奇偶性以及单调性，将问题转化为 对于 恒成立，由
二倍角公式以及二次函数的性质求解 的最值，即可由一元二次不等式求解.
【小问 1 详解】
的定义域为 ，且为奇函数，故 ，解得 ，
当 时，
，
故 为奇函数,所以 .
【小问 2 详解】
，
由于 ，则 ，故 ，因此 ，
故值域为 .
【小问 3 详解】
由于 为 上的单调递增函数，故 为 上的单调递减函数，
则 为 上的单调递减函数，
由 可得
，
故 对于 恒成立，
由于 ，
由于 ，故当 时，取到 最大值 2，
故 ，因此 ，解得 ，
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故 的范围为 .
19. 定义一种新运算“ ”：对于任意实数 ，都有 （ 且 ）．
（1）当 时，计算 ；
（2）对于任意实数 ，判断 与 的大小关系，并给出证明；
（3）已知关于 的不等式 恰有 5 个整数解，求 的取值范围．
【答案】（1）6 （2） ，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据“ ”的定义直接求解即可；
（2）分别根据“ ”的定义化简 和 ，再比较即可；
（3）化简 可得 ，结合二次函数的性质，判
断存在 5 个整数解时 m 所满足的不等式，解之即可．
【小问 1 详解】
由题意 ．
【小问 2 详解】
因为 ，
又 ，因此 ．
【小问 3 详解】
，
代入原不等式可得 ，
化简可得 ，
显然，若 则原不等式有无数个整数解，所以 ，也即 ，
令 ，若 恰有 5 个整数解，则该二次函数开口向下，
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有 ，解得 或 ，
且进一步 ， ，对称轴 ，
所以 较大的根 ，结合 恰有 5 个整数解，
可知整数解为 ，所以 较小的根 ，
结合二次函数图像特性可知 ，即 ，
解得 或 ，即 的取值范围为 ．
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