数学-湖北省楚天协作体2025-2026学年高三下学期开学考试试卷含答案

这是一份数学-湖北省楚天协作体2025-2026学年高三下学期开学考试试卷含答案，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合 A={x∈ℕ∣0≤x≤5},B={x∣2x−1∈A} ，则 A∩B= ( )
A. {0,1,2} B. {1,3,5} C. {1,2,3} D. {2,4,5}
2. 已知 i 为虚数单位，则 i2026−i 的虚部为( )
A. -1 B. 1 C. i D. −i
3. 已知 sinβ+csβ=−15,β∈0,π ，则 sinβ−csβ= ( )
A. 15 B. 75 C. −75 D. ±75
4. 若平面向量 a,b,c 两两的夹角相等，且 a=b=1,c=2 ，则 a+b−c= ( )
A. 3 B. 4 C. 3 或 0 D. 4 或 1
5. 若函数 fx=a−22x+1csx,a∈R 是奇函数，则 a 的值为( )
A. 2 B. -2 C. -1 D. 1
6. 已知圆 C:x2+y2−2x−4y−20=0 与直线 l:2m+1x+m+1y−7m−4=0 相交于 A,B 两点， 当 ∠ACB 最小时， m 的值为( )
A. −34 B. 34 C. 13 D. −13
7. 已知四面体 ABCD 满足 ∠ABC=90∘,∠BCD=120∘,ΔABC,ΔBCD 均为等腰三角形,若 AC=22,AD=4 ，则该四面体外接球的表面积为( )
A. 24π B. 20π
C. 28π3 D. 26π3
8. 若 x3ex1+1=2x3lnx2=1 ，则下列不等关系一定不成立的是( )
A. x3b>0 ,则 ac−a>bc−b
10. 下列说法中正确的有( )
A. 一组数据48,49,53,54,55,55,55,57的下四分位数为 51
B. 在成对样本数据分析中相关系数 r=0 ，表示两个分量之间没有线性相关关系
C. 经验回归方程为 y=0.839x+28.957,x=6 时的观测值为 34,则残差为 0.009
D. 将总体划分为两层,通过分层抽样,得到两层的样本平均数和样本方差分别为 x1,x2 和 s1​2,s2​2 ,若 x1=x2 ,则总体方差 s2=12s1​2+s2​2
11. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ， O 为坐标原点， F1 、 F2 分别是双曲线的左右焦点， P 是双曲线位于第一象限上的点， I 、 G 分别是 △PF1F2 的内心、重心，则下列说法正确的是( )
A. I 的横坐标为 a
B. 直线 PI 与双曲线相切
C. OI 的最大值是 c
D. 若 IG//x 轴,则 ∠PF2F1∈π3,π
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 设曲线 y=e2x+b 在点 0,eb 处的切线与直线 ex+2y+6=0 垂直，则 b= _____.
13. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左右焦点分别为 F1,F2 ,过右焦点 F2 且倾斜角为 π3 的直线交椭圆于 A,B 两点，满足 2AF2=F2B ，则椭圆 C 的离心率 e= _____.
14. 已知 2x+122x+123x+1⋯2nx+1=a0+a1x+a2x2+⋯+anxnn≥2,n∈N∗ ,则 a0= _____； a2= _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知 a,b,c 分别为 △ABC 的内角 A,B,C 对边, a=2 且 2csC+23sinC−b−c=0 .
(1)求 A ；
(2)已知 D 是边 BC 的中点，求 AD 的最大值.
16. (15 分)
如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧面 PAD 是正三角形，侧面 PAD⊥ 底面 ABCD ， M 是 PD 的中点.
(1)求证: AM⊥ 平面 PCD ；
(2)试问在线段 PB 上是否存在一点 N ，使得平面 AMN 与底面 ABCD 所成夹角的余弦值为 64 ，若存在求出 PNPB 的值，若不存在，请说明理由.

17. (15 分)
2026 年被业界公认为 “具身智能元年”. 得益于硬件成本的雪磨式下降和视觉一语言一动作大模型的成熟. 人工智能已经不再是概念和愿景, 而是开始真实地走进企业和家庭, 重新定义人类的工作和生活. 新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解, 举办知识竞赛活动. 活动分两轮进行, 第一轮通过后方可进入第二轮, 两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格. 已知小明、 小华、小方 3 位同学通过第一轮的概率均为 34 ,通过第一轮后通过第二轮的概率依次为 23⋅23⋅12 , 假设他们之间通过与否相互独立.
(1)求这 3 人中至多有 2 人通过第一轮的概率:
(2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；
(3)设这3人中通过第二轮的人数为 ξ ，求 ξ 的分布列及期望.
18. (17 分)
已知函数 fx=x+1lnx ，e为无理数且 e=2.71828⋯⋯
(1)求 fx 在区间 1e,e 的最值；
(2)若 fx≥ax−1 对 ∀x∈[1,+∞) 恒成立，求 a 的取值范围；
(3)对于 ∀n∈N+ ，证明: i=ni=2n−122i+10 的焦点， P 是抛物线 C 上的一点且有 FP=0,2 .
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)已知点 T3,0 ，连接 P 、 T 并延长交抛物线 C 于另外一点 Q .
(i) 若抛物线 C 上有且仅有 3 个点 M1 、 M2 、 M3 使得 △M1PQ 、 △M2PQ 、 △M3PQ 的面积均为定值 S ,求 S 的值;
(ii) 已知点 A、B 是抛物线 C 上异于 P、Q 的两点,且 PQ 是 ∠APB 的角平分线. 请问直线 AB 是否过定点 G ,若过定点,求出 G 点的坐标,若不过定点,请说明理由.
高三数学试题参考答案

三、填空题
12 题: -1 13 题: 23 14 题: a0=1:a2=22n+23−2n+2+83
12. ∵y′=2e2x+b∴y′x=0=2eb=2e−1∴b=−1
13. 设 AF2=x 则 BF2=2x ,在 ΔAF1F2,ΔBF1F2 分别由余弦定理解得: x=2b22a+c=b22a−c∴2a=3c 即 e=ca=23
14. a0=1;a2=22n+23−2n+2+83
令 x=0 ,易知 a0=1 ,
令 S=2+22+23+…+2n=2n+1−2 ,
则
a2=122S−2+22S−22+23S−23+…2nS−2n=12S2−22+24+26+…22n=12S2−4−22n+21−4 ,代入 S 化简可得 a2=22n+23−2n+2+83 .
四. 解答题
15、(1)由题意可知 acsC+3asinC−b−c=0 . 2 分
由正弦定理及 sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC 可知 3sinAsinC−sinCcsA−sinC=0 , ∵C∈0,π,∴sinC>0 ,则有 3sinA−csA=1 ,即 sinA−π6=12 , .4 分
∵A∈0,π, ∴A−π6=π6⇒A=π3 . .5 分
(2)由(1)及余弦定理可知 b2+c2−bc=4 .6 分
∴b2+c2=4+bc≥2bc∴bc≤4 ,当且仅当 b=c 时,“ = ”成立. .7 分
∵D 是 BC 的中点, ∴AB+AC=2AD , .8 分
两边平方可得 b2+c2+bc=4AD2,∴AD2=14b2+c2+bc 10 分
∵b2+c2=4+bc∴AD2=142bc+4≤3 , .12 分
所以 AD 的最大值为 3 . .13 分
16、(1)由题意可知 AM⊥PD ， CD⊥AD ， 1 分
侧面 PAD⊥ 底面 ABCD ,侧面 PAD∩ 底面 ABCD=AD,∴CD⊥ 平面 PAD , ∵AM⊂ 平面 PAD,∴CD⊥AM , 3 分
又 CD∩PD=D,CD∈ 平面 PCD,PD∈ 平面 PCD , .5 分
∴AM⊥ 平面 PCD 6 分

(2)如图，分别取 AD 、 BC 的中点 O 、 G ，连接 OA、OG、OP，已知 OA、OG、OP 两两垂直，则以 O 为坐标原点， OA、OG、OP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系
由题意可知 P0,0,3,A1,0,0,B1,2,0 ,
M−12,0,32,AP=−1,0,3,
AM=−32,0,32,PB=1,2,−3 , 7 分
设 PN=λPBλ∈0,1 ,则 PN=λ,2λ,−3λ,AN=AP+PN ,
所以 AN=λ−1,2λ,3−3λ , .8 分
设平面 AMN 的法向量为 n=x,y,z ,则 AM⋅n=0,AN⋅n=0 ,
代入数值可得 −32x+32z=0λ−1x+2λy+31−λz=0 ,
不妨令 x=λ ,则 n=λ,λ−1,3λ , 11 分
由题意可知, OP 即为平面 ABCD 的法向量,则有 OP⋅nOPn=64 ,
∴3λ3λ2+λ−12+3λ2=64 , .13 分
解得 λ=13 或 λ=−1 (舍去),所以 PNPB=13 .15 分
17、(1)记3人中通过第一轮的人数为 η ，由题意可知 η∼B3,34 ， 1 分
记 “ 3 人中至多有 2 人通过第一轮 ” 为事件 M ,则 PM=1−Pη=3=1−C33343=3764 3 分
(2)记随机选择小明、小华、小方的事件分别为 N、R、T ,通过第二轮的事件记为 D ,则由题意可知 PN=PR=PT=13PD∣N=34×23=12,
PD∣R=34×23=12, PD∣T=34×12=38, .5 分
则 PD=PND+PRD+PTD=PNPD∣N+PRPD∣R+PTPD∣T .7 分
∴PD=13×12+13×12+13×38=1124 , .8 分
(3)记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为 A、B、C ，则 PA=34×23=12,PA=1−PA=12 ， PB=34×23=12,PB=1−PB=12,PC=34×12=38,PC=1−PC=58 , 9 分
由 A、B、C 相互独立可知 Pξ=0=PABC=12×12×58=532 , 10 分
Pξ=1=PABC+PABC+PABC=12×12×38+12×12×58+12×12×58=1332, .11 分
Pξ=2=PABC+PABC+PABC=12×12×38+12×12×58+12×12×38=1132, .12 分
Pξ=3=PABC=12×12×38=332. .13 分
所以 ξ 的分布列是
则 ξ 的数学期望是 Eξ=0×532+1×1332+2×1132+3×332=4432=118 . 15 分
18、(1)由 fx=x+1lnx ，可知 f′x=lnx+1x+1,x∈1e,e ， f′′x=x−1x2 ， 1 分
易知 f′x 在 1e,1 单调递减,在 1,e 上单调递增, 2 分
∴f′xmin=f′1=2>0 ,则 fx 在 1e,e 单调递增, 3 分
所以 fxmin=f1e=−e+1e,fxmax=fe=e+1 . 5 分
(2)构造函数 gx=fx−ax−1=x+1lnx−ax−1x∈[1,+∞) ,
g′x=lnx+1x+1−a,g′1=2−a ,易知 g1=0 ,若 g′1=2−a2x−1x+1 在 1,+∞ 恒成立, .12 分
令 x=n+1n>1 ,则有 lnn+1n>2n+1n−1n+1n+1⇒lnn+1n>22n+1 恒成立, 14 分
∵ln2=lnn+1n+lnn+2n+1+lnn+3n+2+…ln2n2n−1 , 16 分
∴lnn+1n+lnn+2n+1+lnn+3n+2+…ln2n2n−1>22n+1+22n+3+…222n−2+1+24n−1 ,
即证 i=ni=2n−122i+1