广东省广东省名校联考2025-2026学年下学期高三高考一模数学试卷含答案

这是一份广东省广东省名校联考2025-2026学年下学期高三高考一模数学试卷含答案，共14页。试卷主要包含了 考生必须保证答题卡的整洁， 已知曲线 C等内容，欢迎下载使用。
注意事项:1. 答卷前，考生务必将自己所在的市(县、区)、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上, 将条形码横贴在每张答题卡的 “条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动, 先画掉原来的答案, 然后再写上新答案; 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4. 考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1. 已知集合 A={2,a},B={−2,b} ，若 A=B ，则 a+b=
A. -2 B. 0 C. 2 D. 4
2. 在 1−x4+1−x5 的展开式中,含 x2 的项的系数是
A. -4 B. 4 C. -16 D. 16
3. 已知 i 为虚数单位,复数 z=cs75∘+isin75∘cs15∘+isin15∘ ,则 z=
A. 1 B. 2 C. 2 D. 6
4. 正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y2=3x 的图象上,则这个正三角形的边长为
A. 3 B. 3 C. 23 D. 6
5. 已知数据 x1,x2,x3 的平均数为 1,方差为 2,则数据 x1,x2,x3,2x1−1,2x2−1 , 2x3−1 的方差为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

已知右图是一个边长为 3 的九宫格 (由 9 个边长为 1 的小正方形构成)，九宫格中有 16 个节点(如图加黑的 16 个点)，从这 16 个点中任选互不相同的三个点 A,B,C ,则 AB⋅AC 的最大值为
A. 12 B. 13
C. 15 D. 18

7. 如图,正方体 ABCD−A1B1C1D1 的棱长为 4,P 为正方形 BCC1B1 的中心, Q 为棱 DD1 的中点,过点 A,P,Q 的平面将正方体分成上、下两部分, 则较小的部分体积大小为
A. 16 B. 18
C. 643 D. 24
8. 已知曲线 C:x2−y⋅3x2−y=81 ，则曲线 C 上的点到原点距离的最小值为
A. 112 B. 2 C. 22 D. 22
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列四个函数中,以 2π 为最小正周期,且在区间 π2,π 上单调递减的是
A. y=−sinx
B. y=1+csx
C. y=−tanx
D. y=csx2
10. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯定理,随机事件 A,B 存在如下关系: PA∣B=PAPB∣APB . 张同学每天的运动计划包括两种主要方式: 室内健身和户外运动. 张同学第一天选择室内健身的概率为 23 ,选择户外运动的概率为 13 . 如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为 12 ; 如果第一天选择户外运动,那么第二天选择室内健身的概率为 23 . 则张同学
A. 第二天去室内健身的概率为 59
B. 第二天去户外运动的概率为 29
C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 25
D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 34
11. 在半径为定值的球 O 的表面上有四个不共面的点 A,B,C,D ,且 AB 为球 O 的直径,已知 ∠AOC 和 ∠COD 的大小,若再添加一个条件,则在确保四面体 ABCD 存在的情况下，使得四面体 ABCD 体积有唯一值的条件可以是
A. AD 的长 B. ∠BCD 的大小
C. CD 与平面 ABC 所成角的大小 D. 二面角 C−AB−D 的大小
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 请把答案填在答题卡的相应位置上.
12. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 a5=3 ,则 S9= _____.
13. 如图, 月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形, 已知围成该月牙形的两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐标原点 O 和点 C ,月牙尖的坐标分别为 A−1,2,B2,−1 ,则圆 C 的标准方程为_____.

14. 如图, O 为坐标原点, F1,F2 为椭圆 C:x24+y2=1 的两个焦点,过 F1,F2 分别作椭圆 C 的切线 l 的垂线,垂足分别为 H1,H2 . 当 OH1⊥OH2 时, △OH1H2 的面积为_____.

四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 第 15 题 13 分, 第 16、17 题 15 分, 第 18、19 题 17 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内, 超出指定区域的答案无效.
15. (本小题满分 13 分)
如图,平面 ABEF⊥ 平面 ABCD ,四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形, ∠BAD= ∠FAB=90∘,AD=2BC,AF=2BE .
(1)求证: C ， D ， E ， F 四点共面；
(2)设 AB=2,BC=BE=1 ，求平面 ADE 与平面 CDE 夹角的余弦值.

16. (本小题满分 15 分)
设函数 fx=ex−a ,已知 x=0 是函数 y=xfx 的极值点.
(1)求a的值；
(2)设函数 gx=x−fxxfx ，证明: gx>−1 .
17. (本小题满分 15 分)
设 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且 A≤B ，记 m=sinA+csAtanBsinC+csCtanB .
(1)若 A,B,C 成等差数列，求 m 的最小值；
(2)若 a,b,c 成等比数列，求 m 的取值范围.
18. (本小题满分 17 分)
设双曲线 C:x2a2−y2b2=1a,b>0 的离心率为 2,其左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F2 的直线 l 与双曲线 C 的右支交于点 M,N . 当 MN 与 x 轴垂直时, MN=6 .
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)求 MF2⋅NF2 的最小值；
(3)记 △F1MN 的内切圆 ⊙P 与双曲线 C 的一个公共点为 Q ，双曲线 C 的左顶点为 A ,证明: ∠APQ=2∠F2PQ .
19. (本小题满分 17 分)
甲社区有 n 个女生和 n 个男生,且每个女生都认识所有男生; 乙社区有 n 个女生 g1,g2,⋯,gn 和 2n−1 个男生 b1,b2,⋯,b2n−1 ,其中女生 gii=1,2,⋯,n 认识男生 bjj=1,2,⋯,2i−1 ,但不认识其他男生. 现从甲社区和乙社区分别选出 mm=1,2,⋯,n 队选手参加社区比赛,每队选手均为 2 人.
(1)若 n=3,m=1 ，求所有参赛队伍的参赛选手性别相同的概率；
(2)若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的 m 队的不同的选法种数为 Anm 和 Bnm .
(i) 求 Anm ,并证明: 当 2≤m≤n−1 时, Anm=An−1m+2n−mAn−1m−1 三者之间的递推公式, 并说明理由;
(ii) 若乙社区将选出的 m 个男生和 m 个女生按男、女搭配随机组队,求组队结果满足参赛要求的概率.
2026 年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试 (一) 数学参考答案
一、单项选择题
二、多项选择题
三、填空题
12. 27 13.x−12+y−12=5 14.2
四、解答题
15(1)方法一:因为 CE=BE−BC ， 1 分
且 AD=2BC,AF=2BE , 2 分
所以 DF=AF−AD=2BE−2BC=2BE−BC=2CE , 3 分
所以 EC//DF , 4 分
又因为点 C,D,E,F 不在同一条直线上,
所以 EC//DF , 5 分
所以 C,D,E,F 四点共面. 6 分
方法二: 如图 1,因为 AD=2BC,AF=2BE ,
所以 AD//BC ,且 AD=2BC,AF//BE ,且 AF=2BE , 1 分
延长 AB,DC 交于点 P1 ,延长 AB,FE 交于点 P2 , 2 分
因为 BCAD=P1BP1A=12,BEAF=P2BP2A=12 , 3 分
所以点 P1,P2 为同一点,记为点 P , 4 分
即 FE 与 DC 交于点 P ,
故直线 FE 与 DC 共面, 5 分
所以 C,D,E,F 四点共面. 6 分

图 1

图 2
(2)因为平面 ABEF⊥ 平面 ABCD ，平面 ABEF∩ 平面 ABCD=AB,FA⊂ 平面 ABEF ， FA⊥AB ,
所以 FA⊥ 平面 ABCD , 7 分
又因为 AD⊥AB ,
所以,如图 2,以点 A 为坐标原点, AB,AD,AF 所在的直线分别为 x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系，
则 A0,0,0,D0,2,0,E2,0,1,C2,1,0 ,
AD=0,2,0,DE=2,−2,1,EC=0,1,−1 , 8 分
设平面 ADE 的法向量为 n1=x1,y1,z1 ,
则 n1⋅AD=0,n1⋅DE=0, 即 2y1=0,2x1−2y1+z1=0, 解得 y1=0,z1=−2x1,
取 x1=1 ,则 n1=1,0,−2 , 10 分
设平面 CDE 的法向量为 n2=x2,y2,z2 ,
则 n2⋅DE=0,n2⋅EC=0, 即 2x2−2y2+z2=0,y2−z2=0, 解得 x2=12z2,y2=z2,
取 z2=2 ,则 n2=1,2,2 , 11 分
所以 cs=n1⋅n2n1n2=1−45⋅3=55 , 12 分
所以平面 ADE 与平面 CDE 夹角的余弦值为 55 . 13 分
16. 【详解】(1) 因为 fx=ex−a ,
所以 y=xfx=xex−ax ,
y′=ex−a+xex, 3 分
因为 x=0 是函数 y=xfx 的极值点,
所以 y′x=0=1−a=0 ,解得 a=1 . 5 分
当 a=1 时， y′=ex−1+xex=x+1ex−1 ，
方法一:当 x>0 时，
因为 x+1>1,ex>1 ,
所以 x+1ex>1 ,即 y′>0 ,函数 y=xfx 单调递增; 6 分
当 x