广东省梅州市2025-2026学年下学期高三高考一模数学试卷含答案

这是一份广东省梅州市2025-2026学年下学期高三高考一模数学试卷含答案，共13页。试卷主要包含了 已知椭圆 C等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1. 在复平面内,复数 1+im−2i 对应的点在第三象限,则实数 m 的取值范围是
A. −∞,−2 B. −2,0 C. 0,2 D. 2,+∞
2. 已知 an 为等差数列， a3=2,a4=6 ，则 a5+a6=
A. 36 B. 24 C. 18 D. 12
3. 为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩 X (单位:次)近似服从正态分布 N160,σ2 ,且 P120b2 B. a2>eb C. a>2b D. a>lnb
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性, 某品牌车商随机调查了甲、乙两地各 200 名消费者, 得出统计图如下:
车型与地区


题 9 图
根据此统计图, 下列结论正确的是
A. 在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多 20 人
B. 在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取 20 人，则其中新能源车主有 12 人
C. 根据小概率值 α=0.001 的独立性检验,消费者的购车类型与地域有关
D. 从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为 0.4 附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d .
10. 关于函数 fx=sinx⋅sin3x ，以下结论正确的有( )
A. fx 是轴对称图形 B. fx 的最大值为 1
C. fx 是以 π 为一个周期的周期函数 D. fx 在 0,π 上有 4 个零点
11. 如图，在四棱锥 E−ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， AD//BC ， AD⊥CD ， EC⊥ 平面 ABCD ， AD=CE=2,BC=CD=1,M、N 分别为棱 DE、CE 上的动点,设 DM=λDE0≤λ≤1 , CN=μCE0≤μ≤1 ,则

题 11 图
A. 当 μ=0 时,存在 λ ,使得 MN// 平面 ABE
B. 当 μ=0 时,存在 λ ,使得 AN⊥BM
C. 当 μ=12 ,且 AN 与 BM 相交时, λ=23
D. 三棱锥 E−BCD 的外接球在底面 ABCD 上的截痕长为 2π2
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、 广州等 6 个站点，则此趟高铁沿途需要准备_____种不同的车票.
13. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的坐标为 −1,1 ,点 Q 为圆 C:x−22+y2=2 上的动点, 则 OP⋅OQ 的最小值为_____.
14. 数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列. 初始数列 αk0 经过 n 次扩充后的新数列记为 αkn ,项数记为 Pn ,所有项的和记为 Sn . 现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和,如: 数列 {a,b,c} 经过一次扩充后得到数列 ak1={a,a+b,b,b+c,c},P1=5,S1=2a+3b+2c . 已知初始数列 ak0={−3,1,3} ,则 Pn= _____； Sn= _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 如图, F 是抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点, P 是抛物线 C 在第一象限上的一点, ∠OFP=60∘,PF=2 .

题 15 图
(1)求抛物线 C 的方程；
(2)求抛物线 C 在点 P 处的切线方程
16. (15 分)如图，在斜三棱柱 ABC−A1B1C1 中，侧面 ABB1A1⊥ 底面 ABC ， △ABC 是等腰直角三角形, AC⊥BC,△ABA1 是边长为 2 的等边三角形.

题 16 图
(1)求点 A 到平面 A1BC 的距离；
(2)求二面角 A−A1B−C 的正弦值.
17. (15 分) 在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,已知 b=33csinA+acsC .
(1)求角 A 的大小；
(2)若 D 为边 BC 上一点，满足 BD=2CD ，且 AD=2 ，求 △ABC 的面积最大值.
18.(17分)(1)求函数 fx=xlnx 在区间 13,3 上的值域；
(2)设函数 gx=12x2−ax−12−xlnx .
① 求证:当 a=0 时， gx 有唯一零点；
②若 x1,x2 分别是 gx 的两个不相等的极值点,求证: x1+x2>a+2 .
19. (17 分) (1) 一个袋子中有 30 个大小相同的球, 其中有 10 个红球、 20 个白球, 从中随机放回地逐次摸一个球作为样本,5 次摸球后停止,用 X 表示停止时摸出红球的次数. ① 求 X 的分布列和数学期望；
②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过 0.2 的概率.
(2)某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有. 当参加者选定一扇门后, 节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门, 并询问节目参加者是否更换选择.
问: 参加者这时候更换选择会更好吗? 请用概率解释. (备注: 汽车的价值要远大于羊.)
梅州市高三总复习质检(2026.3) 数学参考答案与评分意见
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 30 13. -4 14. Pn=2n+1;Sn=3n
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
解: (1) 以题意知,抛物线 C:y2=2px,p>0 的准线 l:x=−p2 , 1 分如图,过 P 作 PM⊥OF ,垂足为 M ,
过 P 作 PN⊥l ,垂足为 N , 2 分

设 Px0,y0,x0>0,y0>0 ,
由抛物线定义知, PN=x0+p2=PF=2 , 3 分
在 Rt △PMF 中, PF=2,∠PFM=60∘ ,
所以 MF=1 ,
即有 x0=p2−1 , 4 分
于是有 p2−1+p2=2 ,
解得: p=3 , 5 分
因此抛物线 C 的方程为 y2=6x . 6 分
(2)由(1)得 x0=p2−1=12 ,
代入抛物线 C 的方程得 y02=6×12=3,y0=3 ，
所以 P12,3 , .7 分
可设抛物线 C 在点 P 处的切线方程为 y−3=kx−12 , .8 分
联立方程 y−3=kx−12y2=6x , .9 分
显然切线不平行 x 轴,故其斜率 k≠0 ,
将 x=1ky−3+12 代入,消去 x ,整理得: y2−6ky+63k−3=0 ,
因为相切,有 Δ=−6k2−463k−3=0 , 10 分
即有: 36−243k+12k2=12k−32=0 , 11 分
因此 k=3 , 12 分
所以抛物线 C 在点 P 处的切线方程为 y−3=3x−12 ,即 23x−2y+3=0 . 13 分
16. (本小题满分 15 分)
解: (1) 取 AB 中点 O ,连接 CO,A1O .
由题意,易得 CO⊥AB,A1O⊥AB,A1O=3 , 2 分
法一: 因为侧面 ABB1A1⊥ 底面 ABC ,侧面 ABB1A1∩ 底面 ABC=AB ,
所以 A1O⊥ 平面 ABC . 所以 A1O 是三棱锥 A1=ABC 的高. 3 分
又因为在 RtΔA1OC 中, A1C=A1O2+OC2=2 ;
而 A1B=2,BC=2 , 4 分
所以 △A1BC 为等腰三角形,且边 BC 上的高等于 22−222=72,..5 分
所以 SΔA1BC=12×2×72=72 ， 6 分
记点 A 到平面 A1BC 的距离为 hA ,
由 VA−AABC=VA1−ABC ,得 13SΔAABC⋅hA=13SΔABC⋅A1O , 7 分即 13×72×d=13×12×2×1×3 ,
于是得 hA=2217 . .9 分
法二: 以 O 为原点,分别以 OC,OB,OA1 所在直线为 x,y,z 轴,建立坐标系 O−xyz ,
易知 O0,0,0,B0,1,0,A0,−1,0,C1,0,0,A10,0,3,B10,2,3,…3 分

所以 BA1=0,−1,3,BC=1,−1,0 , 4 分
设平面 A1BC 的法向量为 n=x1,y1,z1 ,
所以 n⋅A1B=−y1+3z1=0n⋅BC=x1−y1=0 , 6 分
令 y1=3 ,得 x1=3,z1=1 ,
得到平面 A1BC 的一个法向量 n=3,3,1,..7 分
又因为 AA1=0,1,3 ，
所以点 A 到平面 A1BC 的距离等于 AA1⋅nn=233+3+1=2217 . 9 分
(2)法一:设点 A 在平面 A1BC 上的投影为 H,A1B 的中点为 M ，连结 AM 和 HM ，

因为 △ABA1 是边长为 2 的等边三角形，
所以 AM⊥A1B ，且 AM=3 ， 11 分而 AH⊥ 平面 A1BC ,所以 HM⊥A1B , 12 分因此 ∠AMH 为二面角 A−A1B−C 的平面角, ∡13 分在 Rt△AHM 中,
sin∠AMH=AHAM=hA3=2373=277. 15 分
法二: 易知 OC=1,0,0 为平面 AA1B 的一个法向量, 11 分
又由(1)知平面 A1BC 的法向量为 n=1,1,33 ,
所以 cs=n⋅OCn⋅OC=11+1+13⋅1=217 , 13 分
因此二面角 A−A1B−C 的正弦值为 1−2172 ,即为 277 . 15 分
17. (本小题满分 15 分)
解: (1) 因为 b=33csinA+acsC ,
由正弦定理,得: 2RsinB=332RsinCsinA+2RsinAcsC , 1 分
所以 sinB=33sinCsinA+sinAcsC , .2 分
而 B=π−A+C ,
即有 sinA+C=33sinCsinA+sinAcsC , 3 分
所以 sinAcsC+csAsinC=33sinCsinA+sinAcsC , 4 分
所以 csAsinC=33sinCsinA ,
又 0g′1−lnx1 . 16 分
因为 g′x 在 1,+∞ 上单调递增,且 x2,1−lnx1∈1,+∞ ,
所以 x2>1−lnx1 , 17 分
即证得 x1+x2>a+2 .
19. (本小题满分 17 分)
解: (1) ① 每次有放回的抽取,每次抽到红球的概率为 p=13 , 1 分所以 X∼B5,13 , .2 分
即 PX=k=C5k13k1−135−k,k=0,1,2,3,4,5 , 3 分
得到 X 的分布列为
5 分
期望为 EX=np=5×13=53 , 6 分
② 依题意，样本比例为 X5 ，现要求 X5−13≤0.2 ， 7 分
得 23≤X≤83 ,即 X=1,2 , 8 分
所以用样本中红球的比例估计总体的误差绝对值不超过 0.2 的概率为
PX=1+PX=2=80243+80243=160243. 10 分
(2)记 A 表示初始选择时选得汽车的事件， B 表示更换选择后选得汽车的事件， 11 分则 PA=13,PA=23 , 12 分
所以 PB∣A=0,PB∣A=1 , 13 分
则 PB=PA⋅PB∣A+PA⋅PB∣A=13×0+23×1=23 , 14 分
因此不换门选中汽车的概率是 PA=13 , 15 分
换门选中汽车的概率是 PB=23 , 16 分
故而得结论: 当主持人开启剩余之山羊门后, 节目参加者换门更好, 因为此时其获得汽车的概率是不换门的两倍。 17 分a
0.05
0.01
0.001
xa
3.841
6.635
10.828
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
A
D
B
C
A
D
9
10
11
BCD
ACD
AC
X
0
1
2
3
4
5
P
32 243
80 243
80 243
40 243
10 243
1243