2024-2025学年河北省唐山市路北区七年级（下）期中数学试卷

这是一份2024-2025学年河北省唐山市路北区七年级（下）期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）如图，在同一平面内过点画直线的垂线，能画
A．0条B．1条C．2条D．无数条
2．（2分）在实数，，，中，有理数是
A．B．C．D．
3．（2分）下列坐标在轴的正半轴上的是
A．B．C．D．
4．（2分）如图，一条道路两侧铺设了、两条平行的管道，并有纵向管道连通，若，则
A．B．C．D．
5．（2分）25的平方根与1的差的结果为
A．4B．C．或6D．4或
6．（2分）如图是某公园跑道的部分平面图，从处到处的直线距离为，而实际沿跑道走约为，从数学知识角度考虑合理的是
A．垂线段最短B．两点之间线段最短
C．平行线间的距离相等D．两点确定一条直线
7．（2分）在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点到轴和轴的距离相等，则
A．2B．1C．D．
8．（2分）下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．（2分）如图，点表示的数为1，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为
A．B．C．D．
10．（2分）嘉嘉将一副直角三角板按如图所示摆放，，，测量，下列判断错误的是
A．B．C．D．
11．（2分）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是
A．4B．5C．6D．7
12．（2分）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．长为3，宽为2的长方形如图摆放，将其在第一象限内平移，则长方形内部（不含边界）的整点个数不可能是
A．3个B．4个C．5个D．6个
二、填空题（本大题有4个小题，共14分。13～14题各3分，15～16题每空2分）
13．（3分）化简： ．
14．（3分）如图，直线和直线相交于点，若，则 ．
15．（4分）已知正数的两个不相同的平方根分别为和．
（1） ；
（2）若和分别为点的横纵坐标，则点在第 象限．
16．（4分）如图，将梯形纸片的一角向内折叠，折痕为，点落在点处，使，．
（1） ；
（2） ．
三、解答题（本大题有8道小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：；
（2）计算：．
18．（6分）如图，直线，相交于点，，垂足为．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
19．（6分）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，．
（1）求长方形的周长；
（2）求图中两块阴影部分的面积和．
20．（6分）在平面直角坐标系中，已知点，．
（1）点是否可能与原点重合，请说明理由；
（2）若点在轴下方，且轴，，求和的值．
21．（8分）如图，三角形和三角形．
（1）将三角形平移得到三角形，连接、．
①线段与线段的位置关系是 ，线段与线段的位置关系是 ；
②求证：．
（2）若，，求证：．
22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在第三象限，用表示三角形面积．
（1）求的值；
（2）若，，求点的坐标．
23．（8分）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若，，则点就是点的“关联点”．
（1）直接写出点的“关联点”坐标；
（2）将点向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后到点，如果点的“关联点”与点互相重合，求点的坐标；
（3）设点的“关联点”为点，是否存在，使线段最小，若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由．
24．（13分）如图1，，是两个互相平行的镜面，根据镜面反射规律：若一束光线照射到镜面上，反射光线为，则一定有．光线是由镜面反射得到．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）调整后镜面的位置如图2，光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜面反射得到，若，且，求和的度数；
（3）在（2）的条件下，增添镜面，放在恰当位置，使光线的反射光线平行于镜面，直接写出镜面与镜面的夹角（夹角为锐角）．
2024-2025学年河北省唐山市路北区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
一、选择题（本大题有12个小题，每题2分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）如图，在同一平面内过点画直线的垂线，能画
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【分析】根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”即可得出答案．
【解答】解：根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直”得：在同一平面内过点画直线的垂线，只能画一条．
故选：．
【点评】此题主要考查了垂线的性质，理解过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解决问题的关键．
2．（2分）在实数，，，中，有理数是
A．B．C．D．
【分析】这几个数中，能化去根号的数即是有理数，据此判断．
【解答】解：，是有理数，
，，都不能化去根号，是无理数，
有理数有．
故选：．
【点评】本题考查了实数，有理数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
3．（2分）下列坐标在轴的正半轴上的是
A．B．C．D．
【分析】根据轴的正半轴上的点的坐标特征判断即可．
【解答】解：轴的正半轴上的点的横坐标大于0，纵坐标等于0，
在轴的正半轴上，
符合题意．
故选：．
【点评】本题考查点的坐标，掌握轴的正半轴上的点的坐标特征是解题的关键．
4．（2分）如图，一条道路两侧铺设了、两条平行的管道，并有纵向管道连通，若，则
A．B．C．D．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补进行计算，即可解答．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．（2分）25的平方根与1的差的结果为
A．4B．C．或6D．4或
【分析】根据平方根的定义求25的平方根，然后求差即可．
【解答】解：的平方根是，
的平方根与1的差为或，
即25的平方根与1的差为4或．
故选：．
【点评】本题考查了平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
6．（2分）如图是某公园跑道的部分平面图，从处到处的直线距离为，而实际沿跑道走约为，从数学知识角度考虑合理的是
A．垂线段最短B．两点之间线段最短
C．平行线间的距离相等D．两点确定一条直线
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短，即可得出答案．
【解答】解：从数学知识角度考虑合理的是两点之间线段最短．
故选：．
【点评】本题考查了线段的性质：两点之间线段最短，熟练掌握线段的性质在现实生活中的应用是关键．
7．（2分）在平面直角坐标系中，点在第二象限，且点到轴和轴的距离相等，则
A．2B．1C．D．
【分析】在第二象限，那么点的横纵坐标的符号为负，正；进而根据到轴的距离为纵坐标的绝对值．到轴的距离为横坐标的绝对值判断出具体坐标．
【解答】解：第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0；
，
点到轴和轴的距离相等，
，
，
解得．
故选：．
【点评】本题考查的是点的坐标的几何意义：点到轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到轴的距离为点的横坐标的绝对值．
8．（2分）下面是夕夕的作业纸，通过作图痕迹判断她做对了几个
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据垂线的定义判断即可．
【解答】解：由作图痕迹可知，（1）（3）正确，
她画对了2个．
故选：．
【点评】本题考查作图—基本作图，熟练掌握垂线的定义是解答本题的关键．
9．（2分）如图，点表示的数为1，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为
A．B．C．D．
【分析】首先确定的长，再根据实数与数值的关系确定点表示的数．
【解答】解：由题意得：，
，
点表示的数为．
故选：．
【点评】本题考查了实数与数轴，熟练掌握实数与数轴的关系是解题的关键．
10．（2分）嘉嘉将一副直角三角板按如图所示摆放，，，测量，下列判断错误的是
A．B．C．D．
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【解答】解：根据题意得，，
，
，
，
故、正确，不符合题意；
，
，
，
故正确，不符合题意；
根据题意得，无法证明，
故错误，符合题意；
故选：．
【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
11．（2分）如图，将长为8，宽为4的长方形纸片分割成3个三角形后，恰好拼成一个正方形，则正方形边长最接近的整数是
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据题意得到正方形的面积为，边长为，根据算术平方根的定义估算无理数的大小，再根据25与32，32与36之间距离的大小估算更接近整数．
【解答】解：长为8，宽为4的长方形的面积为，即拼成的正方形的面积为32，
因此这个正方形的边长为，
，
，
，
更接近整数6．
故选：．
【点评】本题考查估算无理数的大小，连接算术平方根的定义是正确解答的关键．
12．（2分）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．长为3，宽为2的长方形如图摆放，将其在第一象限内平移，则长方形内部（不含边界）的整点个数不可能是
A．3个B．4个C．5个D．6个
【分析】通过题意画出图形，即可求解．
【解答】解：如图所示，图1有3个整点，图2有4个整点，图3有6个整点，
故选：．
【点评】本题考查了矩形的性质，根据题意画出图形是解题的关键．
二、填空题（本大题有4个小题，共14分。13～14题各3分，15～16题每空2分）
13．（3分）化简： ．
【分析】根据相反数的定义，也可根据“负负得正”的口诀去掉括号，由此即可求解．
【解答】解：．
故本题的答案是．
【点评】此题主要考查了相反数的概念和表示方法，无理数的相反数和有理数相反数的表示方法是一样的．
14．（3分）如图，直线和直线相交于点，若，则 ．
【分析】根据对顶角相等得，又已知，即可解得的度数．
【解答】解：，，
，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握相关定义是解题的关键．
15．（4分）已知正数的两个不相同的平方根分别为和．
（1） 2 ；
（2）若和分别为点的横纵坐标，则点在第 象限．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列等式，解得值即可；
（2）首先求得点的坐标，然后判断其所在的象限．
【解答】解：（1）由题意得：，
解得，
故答案为：2；
（2）当时，，
，
点的坐标为，
点在第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查了平方根，点的坐标，熟练掌握相关定义，各象限内点的坐标特征是解题的关键．
16．（4分）如图，将梯形纸片的一角向内折叠，折痕为，点落在点处，使，．
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）根据折叠的性质求出，根据梯形的性质、平行线的性质求出，再根据平角定义求解即可；
（2）根据三角形内角和定理及折叠的性质求解即可．
【解答】解：（1）根据折叠的性质得，，
四边形是梯形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）由（1）知，，，
，
根据折叠的性质得，，
，
故答案为：．
【点评】此题考查了折叠的性质、梯形的性质，熟记折叠的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题有8道小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：；
（2）计算：．
【分析】（1）先根据有理数的乘方、算术平方根、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可；
（2）先根据绝对值、二次根式的性质计算，再合并即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18．（6分）如图，直线，相交于点，，垂足为．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【分析】（1）根据垂直定义可得，从而求出的度数，再利用邻补角的定义即可解答；
（2）根据，且，可求出，根据对顶角的性质可得，再计算即可解答．
【解答】解：（1），
，
，
；
（2），且，
，
，
．
【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．
19．（6分）如图，长方形内两个正方形的面积分别为，．
（1）求长方形的周长；
（2）求图中两块阴影部分的面积和．
【分析】（1）首先求正方形的边长，然后求长方形的周长即可；
（2）用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积和．
【解答】解：（1）两个正方形的面积分别为，，
大正方形的边长为，
小正方形的边长为，
长方形的周长为；
（2）阴影部分的面积和为．
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．
20．（6分）在平面直角坐标系中，已知点，．
（1）点是否可能与原点重合，请说明理由；
（2）若点在轴下方，且轴，，求和的值．
【分析】（1）分别求出及时的值，据此可解决问题．
（2）根据平行于轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
【解答】解：（1）能，理由如下：
令，
解得；
令，
解得，
所以当时，点坐标为，
故点能与原点重合．
（2）因为轴，，且点在轴下方，
所以，
则，
解得，
则，
所以点的坐标为，
所以，
故的值为5，的值为2．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
21．（8分）如图，三角形和三角形．
（1）将三角形平移得到三角形，连接、．
①线段与线段的位置关系是 ，线段与线段的位置关系是 ；
②求证：．
（2）若，，求证：．
【分析】（1）①由平移的性质可得答案．
②由平行线的性质可得，，可得．
（2）设交于点，由平行线的性质可得，进而可得，结合平行线的判定可得．
【解答】（1）①解：由平移得，，．
故答案为：；．
②证明：，
，
，
，
．
（2）设交于点，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查作图平移变换、平行线的判定与性质，熟练掌握平移的性质、平行线的判定与性质是解答本题的关键．
22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，点在第三象限，用表示三角形面积．
（1）求的值；
（2）若，，求点的坐标．
【分析】（1）由坐标求出、的长度即可求出面积；
（2）三角形的面积可以看成以为底点纵坐标绝对值为高，三角形的面积可以看成以为底点横坐标绝对值为高，最后根据点在第三象限，即可得到点坐标．
【解答】解：（1），，
，，
；
（2）由题得，，，
解得，，，
．
【点评】本题考查直角坐标系中的面积问题，解题的关键是以轴、轴上的边为底求三角形的面积．
23．（8分）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：若，，则点就是点的“关联点”．
（1）直接写出点的“关联点”坐标；
（2）将点向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后到点，如果点的“关联点”与点互相重合，求点的坐标；
（3）设点的“关联点”为点，是否存在，使线段最小，若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“关联点”的定义进行计算即可．
（2）根据平移时点的坐标变化规律即可解决问题．
（3）先表示出点的坐标，再根据最小求出的值即可．
【解答】解：（1）因为，，
所以点的“关联点”的坐标为．
（2）由题知，
点平移后所得点的坐标为，
则点的“关联点”坐标可表示为，，即．
因为点的“关联点”与点互相重合，
所以，，
解得，，
所以点的坐标为．
（3）存在，理由如下：
因为点坐标为，
则其“关联点” 的坐标可表示为，
所以点在直线上，点在直线上，
则当轴，即时，最小，
解得，
所以的值为．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，理解“关联点”的定义是解题的关键．
24．（13分）如图1，，是两个互相平行的镜面，根据镜面反射规律：若一束光线照射到镜面上，反射光线为，则一定有．光线是由镜面反射得到．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）调整后镜面的位置如图2，光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被镜面反射得到，若，且，求和的度数；
（3）在（2）的条件下，增添镜面，放在恰当位置，使光线的反射光线平行于镜面，直接写出镜面与镜面的夹角（夹角为锐角）．
【分析】（1）证明，即可得到结论；
（2）利用平行线的性质和三角形内角和定理进行求解即可；
（3）分两种情况画图进行解答即可．
【解答】解：（1），
理由：，
，
，，
，
，，
，
；
（2）如图，
，
，
，
，，
；
（3）如图，过点作Ⅱ，
反射光线Ⅱ，
ⅡⅡ，
，，
，
，
，
，
即此时镜面与镜面的夹角为，
如图，可知，
，
Ⅱ，
，
即此时镜面与镜面的夹角为，
综上可知，镜面与镜面的夹角（夹角为锐角）为或．
【点评】此题考查了平行线性质的应用，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和准确作图是关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/2 9:37:37；用户：林鑫；邮箱：16620973701；学号：50184040题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
B
A
C
D
B
D
C
A
A
C
题号
12
答案
C