2024-2025学年天津市滨海新区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年天津市滨海新区九年级（上）期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列各点中与点A（1，3）关于原点对称的是（ ）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，﹣3）D．（3，1）
3．（3分）一元二次方程5x2+2x﹣3＝0，它的一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，﹣3B．2，3C．5，﹣3D．5，2
4．（3分）⊙O的半径为6，点P到圆心O的距离为8，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定
5．（3分）下列描述的事件为必然事件的是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
B．小明一次掷出2颗质地均匀的骰子，2颗全是6点朝上
C．如果a，b都是实数，那么a+b＝b+a
D．从标号分别为1，2，3，4的4张卡片中，随机抽出1张卡片标号为0
6．（3分）若x1，x2是方程x2+x﹣6＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝﹣1B．x1+x2＝1C．x1x2＝6D．x1x2＝5
7．（3分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有实数根
D．没有实数根
8．（3分）如图，点A是半径为5的⊙O上任意一点，以点A为圆心，OA为半径画弧，交⊙O于点B，以点B为圆心，OA为半径画弧交⊙O于点C，同上述作图方法逆时针作出点D，E，F，依次连接A→B→C→D→E→F→A，则这个多边形的内角和度数为（ ）
A．720°B．540°C．120°D．60°
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD，BC，BD．若∠BCD＝25°，则∠ABD的度数为（ ）
A．25°B．65°C．75°D．90°
10．（3分）关于抛物线y＝（x﹣3）2﹣2，下列说法不正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标为（3，﹣2）
C．图象与y轴交点为（0，7）
D．当x＞0时，y的值随x值的增大而减小
11．（3分）某市2022年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到75%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则根据题意列出的方程是（ ）
A．0.64（1+x）＝0.75B．0.64（1+2x）＝0.75
C．0.64（1+x）2＝0.75D．0.64（1+2x）2＝0.75
12．（3分）一名男生推铅球，铅球出手时，铅球的高度为1.8m，铅球行进的高度y（单位：m）是水平距离x（单位：m）的二次函数，y与x之间的函数关系式为y=−15x2+85x+95（0≤x≤9）．有下列结论：
①从铅球出手到落地时水平距离为9m；
②铅球行进过程中的高度可以达到5m；
③铅球从出手到飞行至最高点的水平距离小于从最高点运动至落地的水平距离．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）将抛物线y＝﹣x2﹣1向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
14．（3分）若关于x的一元二次方程4x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 ．
15．（3分）已知圆锥的底面积为16πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是 cm2．
16．（3分）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b，a+2b，a﹣b，除正面的代数式不同外，其余均相同．将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当a＝﹣1，b＝2时，则取出的卡片上代数式的值为正数的概率为 ．
17．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，若点C，B，D在同一条直线上，CD与AE交于点F．
（Ⅰ）∠CDE＝ ；
（Ⅱ）若F为AE的中点，AC=42，则DF＝ ．
18．（3分）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均为格点，且都在同一个圆上．
（Ⅰ）圆直径的长度等于 ；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺在给定的网格中，画出圆的切线CD，并简要说明点D的位置是如何找到的．
三、解答题：（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（8分）解方程：
（Ⅰ）x2+2x﹣8＝0（配方法）；
（Ⅱ）3x2﹣4x+1＝0（公式法）．
20．（8分）一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描给“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀．
（Ⅰ）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 ；
（Ⅱ）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，然后将这张书签放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
21．（10分）在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝32°，求∠P的大小；
（Ⅱ）如图②，D为AC上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝14°，求∠P的大小．
22．（10分）如图，OA，OB为⊙O的半径，过点A作OA⊥AP，过点B作OB⊥BP，AP与BP相交于点P，连接OP交⊙O于点C，连接BC，若OA∥BC，OA＝1．
（Ⅰ）求证：△OBC为等边三角形；
（Ⅱ）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
23．（10分）如图，用一段长为46m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为28m，设矩形菜园的边AB的长为x m，面积为S m2．
（Ⅰ）用含有x的代数式表示BC为 m，x的取值范围为 ；
（Ⅱ）当该矩形菜园的面积为84m2时，求边AB的长；
（Ⅲ）当边AB的长为多少时，该矩形菜园的面积最大？最大面积是多少？
24．（10分）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（2，0），C（0，1），D（1，0），连接AB，CD，点M，N分别是CD和AB的中点，连接OM．把△OCD绕点O逆时针旋转，得ΔOC'D'，点C，D，M旋转后的对应点分别为点C'，D'，M'，连接MN，旋转角记为α（0°≤α≤360°）．
（Ⅰ）如图①，若α＝90°，则点M'的坐标为 ，M'N的长为 ；
（Ⅱ）如图②，若α＝120°，连接ON，求M'N的长；
（Ⅲ）在△OCD绕点O旋转一周的过程中，求出M'N的最大值和最小值．（直接写出结果即可）
25．（10分）已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）经过原点O，交x轴于点A（4，0），顶点B的纵坐标为4．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若点C在OB上，且C点的横坐标为12，E为线段OA上一动点（不与点O重合），在OC的右侧作平行四边形OCDE．
①当点D落在抛物线上时，求点D的坐标；
②连接BD，BE，当BD+BE取最小值时，求点D的坐标．
2024-2025学年天津市滨海新区九年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
12．解：①当y＝0时，即−15x2+85x+95=0，
解得x＝9或x＝﹣1（不合题意舍去），
∴从铅球出手到落地时水平距离为9m；正确；
②当y＝5时，即−15x2+85x+95=5，
解得x＝4，
故铅球行进过程中的高度可以达到5m；正确；
③∵铅球从出手到飞行至最高点的水平距离为4m，从最高点运动至落地的水平距离为9﹣4＝5m，
∴铅球从出手到飞行至最高点的水平距离小于从最高点运动至落地的水平距离，正确；
故选：D．
17．解：（Ⅰ）∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，得到△ADE，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∠ADE＝∠ABC，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，
∴∠ABC＝135°＝∠ADE，
∴∠CDE＝90°
故答案为：90°；
（Ⅱ）如图，过点A作AH⊥CD于H，
∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，得到△ADE，
∴AE＝AC＝42，AD＝AB，∠DAB＝90°，
∵AH⊥BD，
∴DH＝AH＝BH，
∵F为AE的中点，
∴AF＝EF＝22，
又∵∠EDF＝∠AHF，∠DFE＝∠AFH，
∴△DEF≌△HAF（AAS），
∴DF＝FH，
∴DF＝FH=12AH，
∵AH2+FH2＝AF2＝8，
∴FH=2105，
∴DF=2105，
故答案为：2105．
18．解：（Ⅰ）由题意得：AB=12+52=26；
故答案为：26；
（Ⅱ）如图所示：取格点D，连接CD，
CD即为所求．
证明：∵∠ABC＝90°，
∴AC是圆的直径，
∵AB＝CE＝5，BC＝DE＝1，∠ABC＝∠CED＝90°，
∴△ABC≌△ATP（SAS），
∴∠BAC＝∠ECD，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠ECD+∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC⊥CD，
∵AC是圆的直径，
∴CD是经过点A，B，C的圆的切线．
解答题参考答案
19．解：（Ⅰ）x2+2x﹣8＝0，
x2+2x＝8，
x2+2x+1＝8+1，
（x+1）2＝9，
∴x+1＝3或x+1＝﹣3，
∴x1＝2，x2＝﹣4；
（Ⅱ）3x2﹣4x+1＝0，
a＝3，b＝﹣4，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×3×1＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x=−b±b2−4ac2a=4±42×6，
∴x1＝1，x2=13．
20．解：（Ⅰ）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为14，
故答案为：14；
（Ⅱ）列表如下：
共有16种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种，
∴抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率为216=18．
21．解：（Ⅰ）如图①，连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵∠CAB＝32°，
∴∠COP＝2∠CAB＝64°，
∴∠P＝90°﹣∠COP＝90°﹣64°＝26°；
（Ⅱ）∵OD经过AC的中点E，
∴OD⊥AC，
∵∠CAB＝14°，
∴∠AOE＝90°﹣14°＝76°，
由圆周角定理得：∠ACD=12∠AOE=12×76°＝38°，
∵∠ACD是△CAP的外角，
∴∠P＝∠ACD﹣∠CAB＝38°﹣14°＝24°．
22．（Ⅰ）证明：在Rt△OAP和Rt△OBP中，
OA=OBOC=OC，
∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），
∴∠AOP＝∠BOP，
∵OA∥BC，
∴∠BCO＝∠AOP，
∴∠BOP＝∠BCO，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠BCO，
∴∠OBC＝∠BCO＝∠BOP，
∴△OBC为等边三角形．
（Ⅱ）∵△OBC为等边三角形，
∴∠BOP＝60°，
∴BP＝OB•tan∠BOP＝1×3=3，
∴SRt△OBP＝SRt△OAP=12OB•BP=12×1×3=32，
∴S四边形OAPB＝SRt△OBP+SRt△OAP=3，
∵∠AOB＝2∠BOP＝120°，
∴S扇形AOB=120360π×12=π3，
∴S阴影＝S四边形OAPB﹣S扇形AOB=3−π3．
23．解：（Ⅰ）∵AB的长为x m，篱笆长46m，
∴BC为（46﹣2x）m，
∵墙长为28m，
∴46−2x≤2846−2x＞0，
解得：9≤x＜23．
故答案为：（46﹣2x），9≤x＜23；
（Ⅱ）x（46﹣2x）＝84，
x（x﹣23）＝﹣42，
整理得：x2﹣23x+42＝0，
解得：x1＝2，x2＝21，
∵9≤x＜23，
∴x＝21．
答：当该矩形菜园的面积为84m2时，边AB的长为21m；
（Ⅲ）设菜园的面积为y m2，
y＝x（46﹣2x）＝﹣2x2+46x，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝11.5，
∴当x＝11.5时，y最大，y最大＝11.5×（46﹣23）＝264.5．
答：边AB的长为11.5m时，该矩形菜园的面积最大，最大面积是264.5m2．
24．解：（1）∵C（0，1），D（1，0），
∴OC＝OD＝1，
∵把△OCD绕点O逆时针旋转90°得到△OC'D'，
∴OD'＝OD＝1，OC'＝OC＝1，
∴C′（﹣1，0），D′（0，1），
∵点M是CD的中点，
∴点M'是C'D'的中点，
∴M'（−12，12），
∵点N是AB的中点，且A（0，2），B（2，0），
∴N（1，1），
∴M′N=(1+12)2+(1−12)2=102，
故答案为：(−12，12)，102；
（2）如图，过点N作NP⊥M′O交M′O的延长线于点P，
由已知可得OA＝OB＝2，点N是AB的中点，
∴ON⊥AB，ON=12AB=1222+22=2，
同理，OD'＝OC'＝1，OM'⊥C'D'，OM′=12C′D′=1212+12=22，∠BON＝∠D'OM'＝45°，
∵△OCD 绕点O逆时针旋转120°得到△OC'D'，
∴∠BOD'＝120°，
∴∠NOM'＝∠D'OM'+∠NOD'＝∠BON+∠NOD'＝∠BOD'＝120°，
∴∠NOP＝60°，
∴∠ONP＝30°，
∴OP=12ON=22，
在Rt△ONP中，NP=ON2−OP2=(2)2−(22)2=62，
在Rt△NPM′中，M′P=OM′+OP=22+22=2，
∴M′N=NP2+M2P2=64+2=142；
（3）∵点M'始终是C'D'的中点，且△OC'D'是等腰直角三角形，
∴OM′=22，
∴点M'在以点O为圆心，22为半径的⊙O上运动，
如图，连接ON交⊙O于点M1和M2，
当点M'与点M1重合时，M′N即MN有最大值；当点M'与点M2重合时，M′N即MN有最小值；
∵ON=2，
∴MN的最大值为2+22=322，最小值为2−22=22．
25．解：（Ⅰ）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k过原点和A（4，0），故对称轴为直线x＝2，
又∵顶点B的纵坐标为4，故顶点B坐标为（2，4），
故抛物线为y＝a（x﹣2）2+4，把（0，0）代入，可得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x．
（Ⅱ）①∵B（2，4），
∴直线OB的表达式为y＝2x，
∵C点的横坐标为12，
∴C（12，1），
∵在OC的右侧作平行四边形OCDE，且点D落在抛物线上，
故令y＝1，即﹣x2+4x＝1，解得：x1=2+3，x2=2−3（位于C点左侧，不合题意，舍去），
故D点坐标为（2+3，1）．
②设点E（m，0），由四边形OCDE为平行四边形可得：D（m+12，1）．
如图1所示，过点B作直线l⊥y轴，作点D关于直线l的对称点D'，由对称性可知D'（m+12，7），
连接D'E，则BD+BE＝BD'+BE≥D'E，当D'、B、E三点共线时，
BD'+BE＝D'E为最小，
由待定系数法可得直线D'E的解析式为：y＝14（x﹣m），
把B（2，4）代入y＝14（x﹣m）中，可得m=127，
故点D坐标为（3114，1）．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
A
C
C
A
D
A
B
D
C
D
13. y＝﹣x2+1 14. 2516 15. 24π 16.13 17.90° 2105 18.26 说明见解析
春
夏
秋
冬
春
（春，春）
（夏，春）
（秋，春）
（冬，春）
夏
（春，夏）
（夏，夏）
（秋，夏）
（冬，夏）
秋
（春，秋）
（夏，秋）
（秋，秋）
（冬，秋）
冬
（春，冬）
（夏，冬）
（秋，冬）
（冬，冬）