2024-2025学年辽宁省大连市瓦房店市九年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年辽宁省大连市瓦房店市九年级（上）期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣3）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（3，4）D．（3，﹣4）
3．（3分）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“水涨船高”，④“瓜熟蒂落”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
4．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠B＝25°，则∠CAD的度数是（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
5．（3分）若点M（a﹣2，﹣3）与点N（3，1﹣b）关于原点成中心对称，则a+b的值是（ ）
A．3B．﹣3C．5D．7
6．（3分）已知圆锥的底面积为16πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（ ）
A．18πcm2B．18cm2C．24cm2D．24πcm2
7．（3分）一个不透明的袋子中装有3个红球，2个黄球，5个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是黄球的概率为（ ）
A．12B．13C．15D．110
8．（3分）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有216人患了流感，设每轮传染中平均每人传染的人数为x人，则可列方程（ ）
A．x+x•x＝216B．x﹣x（1﹣x）＝216
C．1+x+x（1+x）＝216D．1﹣x﹣（1﹣x）（1﹣x）＝216
9．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5B．x＞5C．﹣1＜x且x＞5D．x＜﹣1或x＞5
10．（3分）如图，△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝90°，AB＝4cm，BC与EF在直线l上，开始时C点与E点重合，让△ABC沿直线l向右平移，直到B点与F点重合为止．设△ABC与△DEF的重叠部分（即图中阴影部分）的面积为ycm2，CE的长度为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）方程（3x+1）（2x﹣1）＝x2+2化为一般形式为 ．
12．（3分）在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是 ．
13．（3分）抛物线y＝ax2+bx+2经过点（2，4），则3b+6a＝ ．
14．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD为直径，且满足∠ABC＝120°，AD＝6，则CD的长为 ．
15．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过A1点作A1A2∥AO交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥AO交抛物线于点A4…，依次进行下去，则点A2025的坐标为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（10分）解方程
（1）3x2﹣8x+4＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣1），B（﹣2，2），C（﹣2，﹣3）．
（1）作出△ABC关于原点对称的△DEF；
（2）直接写出点D，E，F的坐标；
（3）点C绕点O旋转180°后与点F重合，求它所经过的路径长．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣4）x+2﹣k＝0（其中k为常数）．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）若该方程有一个根为2，求k的值及该方程的另一个根．
19．（8分）计算．
现有红、黄两个不透明的盒子，各装有三个小球，红盒子中的三个小球上分别标记数字4，5，6；黄盒子中的三个小球分别标记数字6，7，9，这六个小球除标记的数字外，其余全相同．
（1）将红盒子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球标记的数字是偶数的概率为 ；
（2）分别将红、黄两个盒子中的小球摇匀，然后从红、黄盒子中各随机摸出一个小球，请利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为11的概率．
20．（8分）某商场试经营某种新产品，进价为每件50元，在试销阶段发现，当售价为每件70元时，每天销售量是200件，如调整价格，每件降低1元，就可多售出20件．
（1）求销售该新产品获得的利润y（元）与售价为每件x（元）之间的函数关系式；
（2）请你帮助商场经理策划这种新产品售价为每件多少元时，每日盈利可达到4500元？
（3）若商场规定该新产品售价为每件不低于67元且不高于70元，则销售该新产品的最大利润是多少？
21．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，过F点作FG⊥AB，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）若BG＝1，AE＝3，求BF的长．
22．（12分）数学兴趣小组活动中，老师要求学生探究如下问题：
如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转得到矩形AGFE，当点E落在BD上时停止旋转，EF交AB于点H．
（1）连接BF，请判断BC和BF是否在同一条直线上，并说明理由．
（2）求证：AH＝FH．
23．（13分）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如（1，1），（2024，2024）⋯都是“平衡点”．
（1）直接写出函数y＝x2图象上的“平衡点”坐标 ．
（2）若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“平衡点”(32，32)，且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c−34（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，求m的取值范围．
（3）设关于x的函数y＝x2+m的图象上有且只有一个“平衡点”为点A，关于x的函数y＝x2﹣2nx﹣2x+4n+2（n为常数且n＞1）的图象上有两个“平衡点”分别为点B，点C，点B在点C的左侧，且BC＝2AB，求m，n的值．
2024-2025学年辽宁省大连市瓦房店市九年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
10．解：∵△ABC和△DEF是全等的等腰直角三角形，
∴△ABC与△DEF的重叠部分也是等腰直角三角形，
当△ABC沿直线ɭ 自点E向右平移到点F，即0≤x≤4时，
△ABC与△DEF的重叠部分的面积y=12x2，
当4≤x≤8时，△ABC与△DEF的重叠部分的面积y=12（x﹣8）2，
则y与x之间的函数图象大致是C．
故选：C．
15．解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直线A1A2为y＝x+2，
解y=x+2y=x2得x=−1y=1或x=2y=4，
∴A2（2，4），
∴A3（﹣2，4），
∵A3A4∥OA，
∴直线A3A4为y＝x+6，
解y=x+6y=x2得x=−2y=4或x=3y=9，
∴A4（3，9），
∴A5（﹣3，9）
…，
∴A2025（﹣1013，10132），
故答案为：（﹣1013，10132）．
解答题参考答案
16．解：（1）3x2﹣8x+4＝0，
（3x﹣2）（x﹣2）＝0，
∴3x﹣2＝0或x﹣2＝0，
∴x1=23，x2＝2；
（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）2，
（2x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝0，
（2x﹣1+x﹣3）（2x﹣1﹣x+3）＝0，
∴3x﹣4＝0或x+2＝0，
∴x1=43，x2＝﹣2．
17．解：（1）如图，△DEF即为所求．
（2）由图可得，D（﹣2，1），E（2，﹣2），F（2，3）．
（3）由勾股定理得，OC=22+32=13，
∴它所经过的路径长为180π×13180=13π．
18．（1）证明：∵Δ＝（k﹣4）2﹣4（2﹣k）
＝k2﹣8k+16﹣8+4k
＝k2﹣4k+8
＝（k﹣2）2+4，
∵（k﹣2）2≥0，
∴Δ＞0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根为x1＝2，
∴4+2（k﹣4）+2﹣k＝0，
∴k＝2，
∴方程为x2﹣2x＝0，
∴x1+x2＝2，
∴x2＝2，
∴另一个根为0．
19．解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中摸出的这个小球标记的数字是偶数的结果有：4，6，共2种，
∴摸出的这个小球标记的数字是偶数的概率为23．
故答案为：23．
（2）列表如下：
共有9种等可能的结果，其中摸出的这两个小球标记的数字之和为11的结果有：（4，7），（5，6），共2种，
∴摸出的这两个小球标记的数字之和为11的概率为29．
20．解：（1）y＝（x﹣50）[200+20（70﹣x）]
＝（x﹣50）（1600﹣20x）
＝﹣20x2+2600x﹣80000；
（2）﹣20x2+2600x﹣80000＝4500，
整理得：x2﹣130x+4225＝0，
（x﹣65）2＝0，
∴x1＝x2＝65．
答：这种新产品售价为每件65元时，每日盈利可达到4500元；
（3）∵y＝﹣20x2+2600x﹣80000，
∴抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为：直线x=−b2a=65，
∵67≤x≤70，
∴当x＝67时，y最大，y最大＝（67﹣50）（1600﹣20×67）＝17×260＝4420．
答：销售该新产品的最大利润是4420元．
21．（1）证明：如图，连接OF，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵OF＝OC，
∴∠C＝∠OFC，
∴∠OFC＝∠B，
∴OF∥AB，
∵FG⊥AB，
∴FG⊥OF，
又∵OF是半径，
∴GF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接OE，OF，
∵GF是⊙O的切线，
∴∠OFG＝90°，
∵FG⊥AB，
∴∠EGF＝90°，
∵AB与⊙O相切于点E，
∴∠OEG＝90°，
∴四边形OEGF是长方形，
∵OE＝OF，
∴四边形OEGF是正方形，
∴OE＝EG＝GF＝OF＝OC，
设⊙O的半径为r，则AB＝BG+EG+AE＝1+r+3＝4+r＝AC，
∴OA＝AC﹣OC＝4+r﹣r＝4，
在Rt△AOE中，AE＝3，OA＝4，
∴OE=OA2−AE2=7=FG，
在Rt△BFG中，BG＝1，FG=7，
∴BF=BG2+FG2=1+7=22．
22．解：（1）BC和BF是在同一条直线上；
证明：∵矩形AGFE是由矩形ABCD旋转得到的，
∴EF＝AB，AE＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠ABE+∠ADB＝90°，
∠AED+∠FEB＝90°，
∵AE＝AD，
∴∠ADB＝∠AED，
∴∠ABE＝∠FEB，
在△ABE和△FEB中，
AB=EF∠ABE=∠FEBBE=BE，
∴△ABE≌△FEB（ASA），
∴∠AEB＝∠FBE，
即∠AEF+∠FEB＝∠FBA+∠ABE，
∴∠FBA＝90°，
∵∠FBA+∠ABC＝90°+90°＝180°，
∴BC和BF是在同一条直线上；
（2）由（1）得，EF＝AB，∠ABE＝∠FEB，
∴HE＝HB，
∵EF﹣HE＝AB﹣HB，
∴AH＝FH．
23．解：（1）令y＝x2＝x得：x＝0或1，
故“平衡点”坐标为（0，0）或（1，1），
故答案为：（0，0）或（1，1）；
（2）联立y＝x和y＝ax2+4x+c得：x＝ax2+4x+c，
则Δ＝9﹣4ac＝0①，
将（32，32）代入y＝ax2+4x+c得：32=94a+4×32+c＝0②，
联立①②并解得：a＝﹣1，c=−94，
则y＝ax2+4x+c−34=−x2+4x﹣3，
该函数的对称轴为直线x＝2，
当x＝0时，y＝﹣3，当x＝2时，y＝1，当x＝m时，y＝﹣m2+4m﹣3，
当m≤2时，则函数在x＝0时取得最小值﹣3，在x＝m时，取得最大值1，
即y＝﹣m2+4m﹣3＝1，
则m＝2；
当m＜2时，
抛物线在x＝2时取得最大值1，在x＝0或m处取得最小值﹣3，
即m﹣2＜2﹣0，即m＜4，
当m＝4时，x＝m和x＝0关于x＝2对称，故m＝4也成立，
即2＜m≤4，
即2≤m≤4；
（3）令y＝x2+m＝x，则Δ＝1﹣4m＝0，则m=14，
即x2+14=x，则x=12，即点A（12，12）；
令y＝x2﹣2nx﹣2x+4n+2＝x，
解得：x＝2或2n+1，
即点B、C的坐标分别为：（2，2）、（2n+1，2n+1），
∵BC＝2AB，则（2n+1﹣2）2+（2n+1﹣2）2＝4[2×（2−12）2]，
解得：n＝2（不合题意的值已舍去），
故m=14，n＝2．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
B
B
D
C
C
D
C
11.5x2﹣x﹣3＝0 12. 23 13. 3 14. π 15. （﹣1013，10132）
6
7
9
4
（4，6）
（4，7）
（4，9）
5
（5，6）
（5，7）
（5，9）
6
（6，6）
（6，7）
（6，9）