辽宁省大连市瓦房店市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份辽宁省大连市瓦房店市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．经过长期努力学习，你会成为一名工程师
B．抛出的篮球会下落
C．打开电视机，正在直播
D．从一批灯泡中任意拿一个灯泡，能正常发光
4．如图，是直径，弦交于点E，连接，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．当x＝2时，y有最小值是3C．对称轴是D．顶点坐标是（-2，3）
6．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（ ）
A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2
C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2
7．点是正五边形的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图），这个图案绕点旋转后能与自身完全重合，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在电路图上有A，B，C，3个开关和2个小灯泡，，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）
A．B．C．D．1
9．抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
10．飞机着陆后滑行的距离S（单位：m）与滑行时间t（单位；s）的函数解析式为，飞机着陆后最后3s滑行的距离为（ ）
A．B．C．D．
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．一元二次方程的根是 ．
12．如图，某水平放置圆柱形水管截面示意图，已知水管半径为10cm，水面宽，则水深为 cm．
13．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面圆的周长是，母线长，为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少 ．
14．某市在进行城市绿化工程，环卫部门要考察某种绿植在一定条件下的移植成活率，在同样条件下，对这种绿植进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：
估计这种绿植移植成活的概率是 （结果保留小数点后一位）．
15．如图，矩形的顶点在抛物线上，将矩形绕点O顺时针旋转，得到四边形，边与抛物线交于点P，则点P的坐标为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．解方程：
(1)；
(2)．
17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于原点中心对称的，并写出点的坐标：__________；
(2)画出将绕点C按顺时针方向旋转所得的．
18．某种病毒传播速度非常快，若最初有两个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有288人被感染，设每轮传染中平均一个传染了x人．
(1)经过第一轮传染后，共有__________人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案）
(2)在每轮传播中，平均一人传染了几个人？
19．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，这些球除颜色不同外质地完全相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出一个黄球的概率为__________．
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，再搅匀，再从中任意摸出1个球，用画树状图或列表的方法求出两次恰好摸出2个黄球的概率．
20．已知二次函数．
(1)求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
(2)若该函数的图象与y轴交于点，当时，则y的取值范围为__________．（直接写出答案）
21．如图，在中，，以为直径作，交于点D，点E为的中点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)当的半径是1时，，求图中阴影部分的面积．
22．夏季大连海边浴场是游泳爱好者的去处，泳衣是畅销产品，去年大连商户赵某购进一批泳装，在40天销售完毕．根据所记录的数据发现，日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的关系如图1所示，销售单价p（元/件）与销售时间x（天）之间的函数关系如图2所示．
(1)①直接写出y关于x的函数关系式__________；
②直接写出p关于x的函数关系式__________；
③求第20天的日销售量；
(2)当时，求日销售额的最大值；
(3)这批泳装数量为__________件．
23．问题初探：
如图1，在中，，，点D是斜边上的任意一点，连接，请判断之间的数量关系，并说明理由．
小明同学经过独立思考后，认为研究有共同端点的三条线段之间的数量关系，考虑学到“旋转”这一章内容，是否可以将三条线段通过旋转转化为同一个三角形中解决呢，于是有了解决这个问题的解题思路：知道，所以在图1中将绕点B逆时针旋转，得到，连接，经过推理将问题得到解决，根据小明的思路请回答：
（1）的形状是__________，的形状是__________；
（2）直接写出之间的数量关系是__________；
反思归纳：
若条件中出现不同线段共端点，可以考虑“绕相等线段共同端点旋转某三角形或以相等线段为一边构造某个三角形”，把分散的条件或结论集中到一个三角形中．
学以致用：
（3）以下2小题只能任选一小题做答：
①如图2，在四边形中，，，，若，，求的长；
②如图3，在四边形中，，，，求的长；
（4）如图4，在四边形中，，，若，．求A，C两点之间的最大距离为__________（直接写答案）
参考答案与解析
1．A
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形（在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形）的概念，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项A正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C不正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称和中心对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称和中心对称图形的性质，从而完成求解．
2．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、，是一元二次方程，符合题意；
故选D．
3．B
【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不发生的事件叫做随机事件，在一定条件下，不会发生的事件叫做不可能事件，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、经过长期努力学习，你可能会成为一名工程师，也可能不会成为一名工程师，是随机事件，不符合题意；
B、抛出的篮球会下落，是必然事件，符合题意；
C、打开电视机，可能正在直播，也可能不在直播，是随机事件，不符合题意；
D、从一批灯泡中任意拿一个灯泡，可能正常发光，也可能不正常发光，是随机事件，不符合题意；
故选B．
4．C
【分析】本题考查圆周角定理．如图，连接，证明，求出，可得结论．
【详解】解：如图，连接．

∵是直径，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．D
【分析】根据二次函数的性质对各选项进行判断．
【详解】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，有最大值3，
故、、说法错误，说法正确，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数的顶点坐标是，，对称轴直线，二次函数的图象具有如下性质：当时，抛物线的开口向上，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，取得最小值，即顶点是抛物线的最低点，当时，抛物线的开口向下，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
6．B
【分析】由题意可得门高（x﹣2）尺、宽（x﹣4）尺，对角线长为x尺，根据勾股定理可得的方程．
【详解】解：设门对角线的长为x尺，由题意得：
（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2，
故选：B．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
7．B
【分析】旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心．根据定义可知，最小旋转角等于周角除以正多边形的边数．
【详解】解：根据题意，可知这个图案是旋转对称图形，点是旋转对称中心，
这个图案的最小旋转角为；
这个图案绕点旋转后能与自身完全重合，则的最小值；
故选：B．
【点睛】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念以及最小旋转角的求法是解答此题的关键．
8．C
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况，
∴小灯泡发光的概率为：．
故选：C．
9．C
【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．
【详解】解：抛物线向右平移2个单位得，再向下平移1个单位得．
​​​​​​​故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解答本题的关键．
10．D
【分析】本题考查了二次函数的应用，求出飞机滑行的最大距离及时间是解题关键．由题意可知，当取最大值时，飞机停下来，将函数解析式化为的顶点式可知，当时，飞机停下来，滑行距离为米，再求出时的值，即可求解．
【详解】解：由题意可知，当取最大值时，飞机停下来，
，
即当时，飞机停下来，滑行距离为米，
当时，，
，
即飞机着陆后最后3s滑行的距离为，
故选：D．
11．，．
【分析】本题考查一元二次方程．利用直接开平方法即可求出答案．
【详解】解：，
，
或0．
故答案为：，．
12．4
【分析】本题考查的是垂径定理的应用．连接，根据垂径定理和勾股定理即可得到结论．
【详解】解：连接，
，
，
，
cm，
，
故水深为，
故答案为：4．
13．
【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，粮仓顶部铺上油毡的面积为圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积为底面圆周长与母线长乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：，
∴所需油毡的面积至少，
故答案为：．
14．0.9
【分析】根据移植总数的增加，成活频率稳定在0.9，所以把此频率作为这种绿植移植成活的概率．
【详解】解：这种绿植移植成活的概率为0.9；
故答案为：0.9
【点睛】本题考查了用频率估计概率，在大量重复试验下，频率在某个固定值附近摆动，把这个固定值作为概率．理解这点是解题的关键．
15．##
【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，矩形的性质，旋转的性质，先根据矩形的性质得到，再利用待定系数法求出抛物线解析式为，由旋转的性质得到，，进而推出点P的纵坐标为1，再求出当时x的值即可得到答案．
【详解】解：∵矩形的顶点的坐标为，
∴，
∵抛物线经过，
∴，
∴抛物线解析式为，
由旋转的性质可得，，
∴点F在y轴上，
∴轴，
∴点P的纵坐标为1，
在中，当时，或（舍去），
∴，
故答案为：．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：
，
或，
解得；
（2）解：
，
或，
解得
17．(1)画图见解析，
(2)画图见解析
【分析】本题主要考查了坐标坐标与图形变化—旋转和中心对称：
（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可；
（2）根据旋转方式结合网格的特点找到A、B对应点的位置，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
∴点的坐标为；
（2）解：如图所示，即为所求．
18．(1)
(2)在每轮传播中，平均一人传染了11个人
【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用：
（1）有两人最初感染了病毒，则第一轮会新感染人，再加上最初的两人即可得到答案；
（2）第一轮会新感染人，再加上第一轮感染后的人数即为第二轮感染后感染病毒的人数，据此列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵最初有两个人感染这种病毒，每轮传染中平均一个传染了x人，
∴经过第一轮传染后，共有人感染了病毒，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：在每轮传播中，平均一人传染了11个人．
19．(1)
(2)两次恰好摸出2个黄球的概率为．
【分析】此题考查的是用树状图法求概率．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次恰好摸出2个黄球的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，
搅匀后从中任意摸出1个球，摸出一个黄球的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两次恰好摸出2个黄球的结果有4种，
两次恰好摸出2个黄球的概率为．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值；
（1）求出对应的一元二次方程的根的判别式大于0，即可得出结论；
（2）先求出二次函数的解析式，利用配方法得出函数的对称轴和最小值，再分别求出和时对应的y值，即可得出答案；
【详解】（1）证明：对于二次函数，
令，即，
∵
，
∴不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）解：∵该函数的图象与y轴交于点，
∴，
∴，
∴该函数的解析式为：，
∴当时，二次函数有最小值，
∵当时，，
当时，，
∴当时，y的取值范围为：，
故答案为：．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，得出是的中位线，利用中位线的性质可证明，继而得到，据此证明即可；
（2）先求出，进而得到，则，求出，由全等三角形的性质得到，再根据进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接、，
是直径，是的中点，
∴是的中位线，
，
，，
又，
，
，
又，，
，
，
又，
，
又点在上，
为的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，求不规则图形的面积，全等三角形的性质与判定，圆周角定理等等，通过连接切点证明切线是解题的关键．
22．(1)①；②；③第20天的日销售量为60件
(2)日销售额的最大值2400元；
(3)1800
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，函数关系式以及函数自变量的取值范围．
（1）利用待定系数法确定函数关系式中即可；
（2）利用分类讨论的方法，分①当时，②当时，③当时三种情形解答：利用日销售额日销售量销售单价计算出日销售额，再利用一次函数和二次函数的性质解答即可；
（3）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：①关于的函数关系式为或，
把代入，把和代入得，，
解得，，
关于的函数关系式为；
故答案为：；
②设关于的函数关系式为，
把和代入得，
解得，
关于的函数关系式为；
故答案为：；
③把代入中，得，
答：第20天的日销售量为60件；
（2）解：设日销售额为元，
①当时，，
，
随的增大而增大，
当时，最大，最大值为（元；
②当时，，
，开口向下，
当时，随的增大而减小，
当时，最大，最大值为2400（元，
③当时，，
，开口向上，没有最大值，
当时，日销售额的最大值2400元；
（3）解：第1天到第30天的日销售量分别为：3，6，9，，90件，
共有（件），
第31天到第39天的日销售量分别为：81，72，63，，9件，
共有（件），
这批泳装数量为（件，
故答案为：1800．
23．（1）等腰直角三角形；直角三角形；（2）；（3）①6；②；（4）6
【分析】（1）由旋转的性质可得，则是等腰直角三角形，再由得到，可得是直角三角形；
（2）由根据定理得到，，则；
（3）①如图所示，将绕点D顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，证明，由勾股定理得，则；②如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，证明三点共线，得到，则
（4）将绕点顺时针旋转，得到对应的，连接，则，证出，求出的最大值可得出答案．
【详解】解：（1）由旋转的性质可得，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形；直角三角形；
（2）在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：；
（3）①如图所示，将绕点D顺时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
②如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得，，
∵，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴，
∴；
（4）解：将绕点顺时针旋转，得到对应的，连接，如图，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴当，，三点共线时，最大，
∴，两点之间的最大距离时6．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转的作出对应的辅助线是解题的关键．
移植总数
10
270
400
750
1500
3500
7000
9000
14000
成活数量
8
235
369
662
1335
3203
6335
8073
12628
成活频率
0.800
0.870
0.923
0.883
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902