2024-2025学年北京市海淀区七年级（下）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年北京市海淀区七年级（下）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是
A．B．C．D．
2．（3分）如图，数轴上表示的不等式的解集是
A．B．C．D．
3．（3分）如图，直线，相交于点，，垂足为．若，则的大小为
A．B．C．D．
4．（3分）若，则下列变形一定正确的是
A．B．C．D．
5．（3分）2025年，北京市在“十四五”规划框架下，将加速推进人工智能、量子信息、人形机器人等前沿科技领域的创新发展．其中，海淀区量子产业园计划于下半年面向中学生举办“未来科技开放日”活动，预计将吸引大批学生及家长参与．为确保活动顺利开展，主办方需提前完成多项调研与检测工作，以下工作最适合采用全面调查的是
A．开始活动前，了解海淀区初中学生中，有多少人知道“量子通信”概念
B．活动当天，对进入展区的人员进行安全检查
C．活动当天，统计到访的中学生对“天工人形机器人”展区的喜爱程度
D．活动结束后，了解参观者对展区讲解内容的满意程度
6．（3分）已知是方程的一个解，则的值为
A．B．C．6D．8
7．（3分）在平面直角坐标系中，长方形的边均与某坐标轴平行．已知，是该长方形的两个顶点坐标，则下列各点中可以是该长方形顶点的是
A．B．C．D．
8．（3分）下列命题中，假命题是
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．的算术平方根是
C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．如果，，那么
9．（3分）将图1中的5个边长为1的小正方形，剪拼成图2中的大正方形．在数轴上，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数为
A．B．或C．5D．5或
10．（3分）近年来，中国的新能源汽车产业蓬勃发展，为经济发展注入了强劲动力．通过对规模以上工业企业（即年主营业务收入2000万及以上的工业企业）工业生产报表按月进行全面调查月份数据免报），如图统计了2024年3月年3月期间规模以上工业新能源汽车的相关数据，其中条形图为新能源汽车每月的日均产量，折线图为每月日均产量的同比增速，同比增速．由图判断，下列描述中所有正确的是
①2024年3月年3月期间，新能源汽车的产量保持同比增长，发展态势良好；
②2024年的四个季度中，第四季度为新能源汽车的生产旺季；
③2023年11月的新能源汽车日均产量低于2023年12月的新能源汽车日均产量．
A．①②B．②③C．①③D．①②③
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）5的平方根是 ．
12．（3分）剪叉式升降平台是一种垂直升降、室内外应用广泛的高空作业专用设备．为确保安全性，避免施工人员站立不稳，它上层的作业平台应与地面保持平行．图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行，该方法背后的数学原理是 ．
13．（3分）如果，那么的值为 ．
14．（3分）△是由△平移得到的，点在线段上．若，的长为无理数，写出一个满足题意的的长为 ．
15．（3分）小军和小明进行了一场五子棋比赛．棋盘如图如示，若坐标轴均与棋盘中的某条网格线平行，黑棋所在位置的坐标为，白棋所在位置的坐标为，则黑棋所在位置的坐标为 ．
16．（3分）根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的最新要求，考生除了素质项目1必选外，还需要从运动能力Ⅰ、运动能力Ⅱ、素质项目Ⅱ中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下：
表中的 ；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有 人．
三、解答题（本题共52分，第17题4分，18题8分，第19-22题，每小题4分，第23题5分，第24题6分，第25题6分，第26题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（4分）计算：．
18．（8分）解下列方程组：
（1）；
（2）．
19．（4分）解不等式组：．
20．（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将线段平移到．
（1）画出线段，并直接写出点的坐标；
（2）直接写出四边形的面积．
21．（4分）如图，在△中，，，．
（1）判断，的位置关系，并说明理由；
（2）若平分，，求的度数．
22．（4分）某校文创社计划参加“校园爱心义卖活动”，特制作出普通版和手绘版两种款式的明信片套装进行义卖．每套普通版的成本比每套手绘版的成本低5元，5套普通版的成本与4套手绘版的成本共110元．
（1）求出每套普通版和每套手绘版明信片的成本价；
（2）现决定将普通版、手绘版明信片套装的销售单价分别定为12元和20元．如果共售出100套，且普通版明信片不少于20套，那么总利润最高是多少元？
23．（5分）某校七至九年级开展“每周课外阅读情况”调查，对学生某一周课外阅读时间（单位：小时）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
．七年级一班50名学生该周课外阅读时间如下：
．七年级二班50名学生该周课外阅读时间的频数分布直方图如图1（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组；
．七至九年级学生人数扇形统计图2；
．七至九年级学生共2000人．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）①补全上面的频数分布直方图；
②该校七年级学生共 人；
（2）每班将该周课外阅读时间按从高到低的顺序排在前（含的学生授予“班级阅读之星”称号，若七年级小明同学该周课外阅读时间在七年级一班不能被授予“班级阅读之星”称号，但在七年级二班可以被授予“班级阅读之星”称号，则他的阅读时间满足 ；（填符合要求的序号）

（3）小亮同学分析数据时发现，七年级一班、二班该周课外阅读时间小于2小时的人数均占班级人数的，因此他估计全校该周课外阅读时间小于2小时的人数约为400人，你同意小亮同学的说法吗？说明理由．
24．（6分）如图，△和过点的直线满足，，是线段上的动点，过点作直线与平行．
（1）如果，那么 ；
（2）设的角平分线是射线，的角平分线是射线．
①如果射线，交于点，求；
②如果射线，有公共点，直接写出的取值范围．
25．（6分）对于的不等式（其中，我们称不等式“”是它的“逆不等式”，不等式“”是它的“否不等式”．
（1）对于不等式，它的“逆不等式”是 ；它的“逆不等式”和“否不等式”解集的公共部分是 ；
（2）对于的不等式（其中，
①若它的“逆不等式”和“否不等式”有相同的解集，求，的数量关系；（用等式表示）
②若存在唯一的负整数，使得它的“逆不等式”和“否不等式”同时成立，直接写出的取值范围．
26．（7分）对于平面直角坐标系中的四个点，，，，如果可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，则称，，，是“坐标相合”的．已知，，，．
例如，如图，对于点，，，，可作长方形，因此，，，是“坐标相合”的．
（1）下列四个点中，与，，是“坐标相合”的点是 ；（填出所有满足要求的点的序号）
①；②；③；④．
（2）设是坐标平面上的动点，且，，，是“坐标相合”的，求的取值范围；
（3）从下列①，②两问中选择一个解答．
①在坐标平面内，是否存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
②在坐标平面内，是否存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的？若存在，直接写出这五个点的坐标；若不存在，说明理由．
2024-2025学年北京市海淀区七年级（下）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
9．解：由题意，
以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数为．
故选：．
10．解：根据图中信息推断，
2024年3月年3月期间，新能源汽车的产量保持同比增长，发展态势良好，故①说法正确；
2024年的四个季度中，第四季度为新能源汽车的生产旺季，故②说法正确；
2023年11月的新能源汽车日均产量低于2023年12月的新能源汽车日均产量，故③说法正确；
所以描述中所有正确的是①②③．
故选：．
16．解：由题意得某班所有男生的人数为人，选择1分钟跳绳的人数为17人，
选择实心球的人数为人；
已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合，而选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，
对应的组合可能为：篮球，1分钟跳绳；篮球，实心球；足球，1分钟跳绳；足球，实心球；
在选择篮球的16人中，已经确定2人选择游泳，
因此剩余的14人需要选择健身长拳；
而在选择1分钟跳绳的17人中，选择排球而非篮球的人有2人；
选择游泳而非健身长拳的人有2人；
因此选择1分钟跳绳的剩余的人；
要使选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合的人数最多，
则在已经确定选择篮球、健身长拳的14人中，尽可能多的选择跳绳，而1分钟跳绳的名额剩余13人，
在上述14人中有13人选择1分钟跳绳即为所求，选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有13人，
故答案为：13；13．
解答题参考答案
17．解：原式．
18．解：（1），
①②得：，解得：，
将代入①得：，解得：，
故原方程组的解为；
（2）原方程组整理得，
①②得：，解得：，
将代入①得：，解得：，
故原方程组的解为．
19．解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为．
20．解：（1）如图，线段即为所求．
由图可得，点的坐标为．
（2）四边形的面积为．
21．解：（1），理由如下：
，
，
，
，
；
（2）由（1）知，
，，
平分，
，
，
，
，，
，
．
22．解：（1）设每套普通版明信片的成本价是元，每套手绘版明信片的成本价是元，
根据题意得：，解得：．
答：每套普通版明信片的成本价是10元，每套手绘版明信片的成本价是15元；
（2）（元，（元，，
每套普通版明信片的销售利润低，
售出普通版明信片越少，总利润越大，
总利润最高为（元．
答：总利润最高是440元．
23．解：（1）①第3组的学生人数为：（人，
补全直方图如下：
②（人，
该校七年级学生共700人．
故答案为：700；
（2）观察表格可发现，七年级一班阅读时间在4小时以上的学生有25人，是全班同学的，
而在七年级二班阅读时间在4小时以上的学生有人，少于全班同学的，
小明的阅读时间满足．
故选：；
（3）不同意小亮同学的说法，因为样本不具有代表性，不能反映出八年级和九年级的情况．
24．解：（1），，
，
，
，
，；
故答案为：85；
（2）①如图所示，过点作，过点作，
，，
，
的角平分线是射线，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
的角平分线是射线，
，
，
；
②如图所示，当点和点重合时，
由①可得，，
，
，
，
，
，
如图所示，当点和点重合时，
，的角平分线是射线，
，
综上所述，如果射线，有公共点，的取值范围为．
25．解：（1）由题意，不等式为，
它的“逆不等式”是，它的“否不等式”是．
它的“逆不等式”和“否不等式”解集的公共部分满足，即．
．
故答案为：；．
（2）①由题意，不等式为，
其的“逆不等式”为和“否不等式”为．
又它们有相同的解集，
当，时，，；当，时，，，两种情况符合题意．
，即．
．
又，异号，，
且．
②由题意，设，
存在唯一的负整数，使得它的“逆不等式” 和“否不等式” 同时成立，
当，时，，；当，时，，，符合题意．
或．
存在唯一的负整数，
或．
或．
或．
26．解：（1）①与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点；
②与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点；
③与，，可以作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，且，，，分别落在该长方形的四条边上，，，，均不与长方形的顶点重合，与，，是“坐标相合”的点；
④与，，作一个长方形，其边均与某条坐标轴垂直，由于轴，则，必定在长方形一条边上，与，，，分别落在该长方形的四条边上矛盾，与，，不是“坐标相合”的点；
故答案为：①②③；
（2），两点的纵坐标相同，且，，，是“坐标相合”的，
，必须恰好落在某长方形的左右两条边上，
点在该长方形的上边界上，点在该长方形的下边界上，
，解得；
（3）选择①，不存在．理由如下：假设存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的，所以，，，和，，，均是“坐标相合”的，
同（2）的分析可知，必须恰好落在某长方形的左右两条边上，所以在，，，中需要落在长方形的上边界上，即在直线上方；在，，，中需要落在长方形的下边界上，即在直线下方，相互矛盾．
所以不存在点，使得，，，，中任意四点都是“坐标相合”的．选择②，不存在．理由如下：假设存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的．
设这五点，，，，，，，，，，根据“坐标相合”的定义可知：，，，，中的最小数和最大数不等，不妨设最小数为，最大数为，且．
考察，，，若，中至少有一点在某长方形的水平边上，不妨设为因为，，，是“坐标相合”的，所以位于该长方形左侧竖直边的点的横坐标小于与是最小数矛盾．类似的，若在某长方形的水平边上，则位于该长方形右侧竖直边的点的横坐标大于与是最大数矛盾．
所以，别在长方形的左、右侧竖直边上，，在两条水平边上，不妨设在下水平边上，在上水平边上，如图所示，即，；
考察，，，，同可知：与矛盾．
综上所述，不存在五个点，满足任意四个点都是“坐标相合”的．运动能力Ⅰ
人数
运动能力Ⅱ
人数
素质项目Ⅱ
人数
篮球
16
健身长拳
26
1分钟跳绳
17
足球
12
游泳
4
实心球
排球
2
阅读时间（小时）
学生人数
10
15
18
7
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
C
B
B
B
A
B
D
11. 12.内错角相等，两直线平行 13.5 14.（答案不唯一）
15. 16.13；13