2024-2025学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在我国传统的祥瑞纹样中、云纹有着流动飘逸的曲线和回转交错的结构，是生动，灵性，精神以及样瑞的载体和象征．下列四个云纹纹样中，是轴对称图形的是
A． B．C． D．
2．（3分）某计算机完成一次基本运算的时间为0.000000001秒，将0.000000001用科学记数法表示为
A．B．C．D．
3．（3分）六边形的内角和为
A．B．C．D．
4．（3分）下列运算正确的是
A．B．C．D．
5．（3分）已知等腰三角形的两边的长分别为3和6，则它的周长为
A．9B．12C．15D．12或15
6．（3分）下列分式变形正确的是
A．B．C．D．
7．（3分）如图，在△中，，是的中点，，则的大小为
A．B．C．D．
8．（3分）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，，点在上，点在上，若添加一个条件可使△△，则添加的这个条件不可以是
A．B．C．D．
10．（3分）如图，小华同学用四个边长为的正方形，两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是
①；
②；
③；
④．
A．①②B．②③C．①③D．②④
二、填空题（本题共18分。每小题3分）
11．（3分）若分式有意义，则的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式： ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点的坐标为，，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交轴正半轴于点、则点的坐标为 ．
14．（3分）方程的解为 ．
15．（3分）如图，在△中，，，为的中点，延长至点，使，连接和，则的大小为 ．
16．（3分）如图，在锐角△中，，于点，，，，其中，、、分别为线段、、上的点（均不与点，、重合），对于每一个确定的点、将△周长的最小值记为．给出下列三个结论：
①过点向、作垂线．垂足分别为，，此时△的周长即为；
②在点从点向点运动过程中，的最小值为；
③当时，点能在两个不同的位置取到相同的值．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本题共.52分，第17题4分，第18题7分，第19-21题，每小题4分，第22-23题，每小题4分，第24-25题，每小题4分，第26题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（4分）计算：．
18．（7分）（1）计算：；
（2）已知，求的值．
19．（4分）如图．在△中．，求作线段的中点．小明发现作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
垂直平分，
（填推理依据）．
．
，
，．
．
．
．
点为线段的中点．
20．（4分）先化简，再求值：，其中．
21．（4分）如图，是上一点，，，．
求证：平分．
22．（5分）秋天是北京四季中最美的季节、深秋的北京香山更是景美如画．金代诗人周昂在《香山》中用诗句“山林朝市两茫然．红叶黄花自一川”描绘了香山红叶与黄花交相辉映的自然美景．小明和小亮都是登山爱好者．金秋十月、两人相约去香山爬山赏景．挑战香炉峰，小明沿北线步道上山，小亮沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小明比小亮每小时少走，结果小明和小亮到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时．
23．（5分）如图，在△中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．
（1）求证：垂直平分；
（2）若，，，直接写出的长．
24．（6分）我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似地，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形．我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”．
例如，将分式分解：．（1）将分式分解的结果为 ；
（2）若可以分式分解为（其中、、是常数）．则 ， ；
（3）当时．判断与的大小关系，并证明．
25．（6分）在△中，，，点在上（与点，不重合）．连接．是的中点，是平面上一点，满足，连接、．
（1）如图1，．点在的延长线上．
①依题意补全图形；
②用等式表示和的数量关系，并证明；
（2）如图2，，若（1）中和的数最关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A和线段BC、点P在线段OA的垂直平分线上、对于给定的一个正数k，若点P使得△PBC是以BC为底边的等腰三角形，且∠BPC≥k°，则称点P为点A关干线段BC的k度等腰点．
（1）如图1，点A在y轴上，B（1，0），C（5，0），在P1（3，1），P2（3，2），P3（3，3）中、是点A关于线段BC的90度等腰点的是 ；
（2）如图2，D（3，3），E（m，0），F（m+2，0），若存在点D关于线段EF的90度等腰点．求m的取值范围；
（3）如图3，点M（0，2），N（0，n），点H在x轴正半轴上，满足∠OHM＝30°，点T为y轴上的动点，若存在点T关于线段NH的60度等腰点，直接写出点T的纵坐标t的取值范围（用含n的式子表示）．
2024-2025学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
10．解：由题意得，图1的面积为，
图2的面积为，
，
，
能利用图1和图2验证关系式②④，
故选：．
16．解：作点关于的对称点，
点关于的对称点，交于，交于，
连接，交于，交于，
连接，，，，，，
根据轴对称的性质可得：，，，
，，
，
，
△是等边三角形，
，
△的周长，
△的周长，
，
，
与重合时，，即最小，故①错误；故②正确；
当时，点能在两个不同的位置取到相同的值，
分别在点两侧且关于点对称，故③正确；
故答案为：②③．
解答题参考答案
17．解：原式
．
18．解：（1）
；
（2）
，
，
，
，
则原式．
19．（1）解：如图所示．
（2）证明：连接．
垂直平分，（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）．．
，，．．．．
点为线段的中点．
故答案为：；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；．
20．解：原式
，
当时，原式．
21．证明：，，
在△与中，
，△△，，
又，，平分．
22．解：设小明走完北线步道全程用了小时，则小走完南线步道全程用了小时，
由题意得：，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，，
答：小明走完北线步道全程用了小时，则小走完南线步道全程用了小时．
23．（1）证明：，，，
在△和△中，
，△△，，
，垂直平分；
（2）解：由（1）知：△△，
四边形的面积△的面积，
，，．
24．解：（1）
故答案为：；
（2）
，
可以分式分解为（其中、、是常数），
，，
，
，，
故答案为：1，3；
（3），证明如下：
，
，，，，．
25．解：（1）①如图1所示，
②，证明如下：
如图2，延长至点，使，连接，
点是的中点，，
，△△，，，
，，
，，，
，，△是等边三角形，，
，，△△，，
，；
（2）如图3，延长至，使，连接，
，，，
由②同理得：△△，，图中存在两个符合条件的点，即点和，
，，，△△，，，
设，，，，，
△中，，
，，
，，，△△，，
，
综上，的度数为或．
26．解：（1）在平面直角坐标系上依题意作图发现，
∠BP1C＞90°，∠BP2C＝90°，∠BP3C＜90°，
∴根据90°等腰点的定义，点P1和点P2是点A关于线段BC的90°$等要点，
故答案为：P1、P2；
（2）设点P为点D关于线段EF的90度等腰点，
∴点P在线段OD的垂直平分线l上，如图1．
∵E（m，0），F（m+2，0），∴EF＝2．
∵点P为点D关于线段EF的90度等腰点，∴△PEF是EF为底边的等腰三角形，且∠EPF≥90°，
∴点P在EF的垂直平分线上，且∠EPF≥90°，
如图2，点P在线段KL（不包括EF的中点Q）上，
若存在点D关于线段EF的90度等腰点，∴直线l与线段KL（不包括EF的中点Q）有公共点，
当点K在直线l上时，如图3，此时 m＝1，符合题意．
当点Q在直线l上时，如图4，此时 m＝2，△PEF不存在，舍去．
当点L在直线l上时，如图5，此时 m＝3，符合题意．
∴m的取值范围为1≤m≤3且m≠2；
（3）解：①当点T在点N下方时．
如图，点A是NH垂直平分线上与OT的垂直平分线的交点，点B的坐标是（0，﹣2），点C的坐标是（0，4），∴AE是OT的垂直平分线，△AHN、△NMD是等边三角形．
在当前状态下，如果点T继续往下移动，∠NAH必然小于60°也就不再存在点T关于线段NH的60度等腰点．
∵M（0，2），∠MHO＝30°，B（0，﹣2），∴△MHB是等边三角形，∴MH＝BH，∠MHB＝60°，
∵△ANH是等边三角形，∴NH＝AH，∠NHA＝60°，∴∠NHM+∠MHA＝60°，∠AHB+∠MHA＝60°，
∴∠NHM＝∠AHB．
在△NHM和△AHB 中，
∴△NHM≌△AHB（SAS），∴NM＝AB，∠MNH＝∠BAH，
∴在ABNH组成的“8字模型”中，∠ABO＝∠NHA，
∵△NMD、△NHA都是等边三角形，∴NM＝DM，∠NHA＝∠DMC＝60°，
∴AB＝DM，∠ABO＝∠DMC＝60°，
∵BO＝MC＝2，
在△ABO和△DMC中，
∴△ABO≌△DMC（SAS），∴AO＝DC，∠AOB＝∠DCM，
∵AE是OT的垂直平分线，∴AO＝AT，∠AOB＝∠ATB，∴DC＝AT，∠DCN＝∠ATB，
∵∠ABO＝60°，∠DNM＝60°，∴∠ABT＝120°，∠DNC＝120°，∴∠ABT＝∠DNC，
在△DCN 和△ATB 中，
∴△DCN≌△ATB（AAS），∴CN＝TB．
∵NT＝NB+TB，CB＝CN+TB，∴NT＝CB．∵CB＝6，∴NT＝6，
也就是说，当t≥n﹣6时，存在点T关于线段NH的60度等腰点．
②当t＝n 时，NH垂直平分线上与OT 的垂直平分线的交点在NH上，△NAH 不存在，舍去．
③当点T在点N上方时，与①同样的推理，可以得到当t≤n+6时，存在点T关于线段NH的60度等腰点．
综上，n﹣6≤t≤n+6，且t≠n时，存在点T关于线段NH的60度等腰点．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
D
C
B
A
C
D
D
11.矩形 12. 13. 14. 15. 16.②③