河北省石家庄市栾城区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

这是一份河北省石家庄市栾城区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. “一片甲骨惊天下”，甲骨文发源于河南安阳，是我国目前发现最早的文字，其显著特点是图画性强．下列甲骨文图画是轴对称图形的是（ ）
A B. C. D.
2. 分式有意义的条件是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知：在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设 （ ）
A. B. C. D.
4. 如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A. 点A与点是对称点B.
C. D.
5. 如图，在中，，，在数轴上，以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，交负半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A. B. C. D. 2
6. 下列运算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 下列说法正确的有（ ）
①5是25的算术平方根；②是64的立方根；③的平方根是；④0的平方根和算术平方根都是它本身．
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
8. 如图，AC⊥BE于点C，DF⊥BE于点F，BC＝EF，如果添加一个条件后，可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF，则这个条件应该是（ ）
A. AC=DEB. ∠D=∠AC. AB=DED. ∠B=∠E
9. 如图，在一个边长为10的大正方形中，剪掉一大一小两个正方形，且较小正方形的面积为9，如果将剩余部分的纸片重新裁剪拼接成一个新正方形，则新正方形的边长最接近的整数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
10. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则顶角的度数是（ ）
A. B. C. 或D. 或
11. 如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（ ）．
A B. C. D.
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（ ）
①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（本大题共4个小题，共12分．把答案写在题中横线上）
13. 化简：____________．
14. 如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为____________．
15. 在中，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为____________．
16. 从甲地到乙地有两条公路，一条是全长的普通公路，一条是全长的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为，那么x满足的分式方程是_______．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 数学课上，王老师布置如下任务：
如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求．
根据小路设计尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝ ，( )（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠ ，( )（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
18. 计算（1）；
（2）．
19. 团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均300平方厘米．为了提升团扇的耐用性和美观度，需对扇面边缘用缎带进行包边处理，如图所示．
（1）圆形团扇的半径为_____________厘米，正方形团扇的边长为__________厘米；
（2）请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
20. 先化简，再求值：，其中，．
21. 如图，为等边三角形，与相交于点于．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）求的长．
22. 生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时装片，上周生物老师用20元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单价上涨了20%，生物老师花了30元，但只比上周多买了10斤洋葱．
（1）求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？
（2）经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共2784人，如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？
23. 阅读下列材料：
小高在学习中遇到一个有趣的问题：如何比较与的大小
请你先阅读下面的内容，然后帮助解决此问题
（1）
由此可归纳出结论： _________．
（2）根据上面的结论计算：
类似的：
__________；
（3）类比应用：__________；
（4）请你根据以上总结的结论，比较与的大小．
24. 【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：.
（1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整：
已知：中，，，，.
求证：.
证明：由图可知，
，______，
正方形边长为______，
，
即．
【深入思考】
如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E
（2）求证：，；
（3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：；
实际应用】
（4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．
参考答案
选择题、填空题答案速查
选择题、填空题解法提示
12.C. ∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠DCB+B=90°，∵∠A+∠B=90，∴∠DCB=∠A，∴①正确；
∵CE是RtABC斜边AB上的中线，∴EA=EC=EB，∴∠ACE=∠A，∴∠DCB=∠A，∴∠DCB=∠ACE，
∴②正确；∵EC=EB，∴∠B=∠BCE，∵∠A+∠B=90，∠A+∠ACD=90，∴∠B= ∠ACD，∴∠ACD= ∠BCE，
∴③正确；∵BC与BE不一定相等，∴∠BCE 与∠BEC 不一定相等，∴④不正确；综上，正确的个数为3个.
15.5 在中，∵，，，∴由勾股定理得：，
根据折叠的性质，，，，∴，
在中，设 ，则，根据勾股定理得：，解得，
∴，∴．
解答题参考答案
17.(1) 解：根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示；
(2)证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝ DB ，(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)（填推理的依据）
∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠BDC ，(等边对等角)（填推理的依据）
∴∠ACB＝2∠A．
18.解：（1）=；
（2）=．
19.解：（1）由题意得圆形团扇的半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米.
（2）∵ 圆形团扇半径为厘米，正方形团扇的边长为厘米，
∴ 圆形团扇的周长为厘米，正方形团扇的周长为厘米
∵，，
∴，
∴ 圆形团扇所用的包边长度更短．
解：
．
当，时，原式．
21.（1）证明：为等边三角形，
，，
又，
在与中，，
，
.
（2）解：由（1）得
∴，
.
（3）解：由（1）得，
，，
，
，
又，
．
22.解：（1）设上周生物老师购买洋葱的单价为元斤，则本周所买洋葱的单价为元斤，
根据题意可列方程：，
解得，
经检验：是原方程的根且符合题意．
答：上周生物老师购买洋葱的单价为0.5元斤.
（2）解：设生物老师还需再购买洋葱斤，
则有，
解得.
答：生物老师至少要再购买26斤洋葱．
23.解：（1）
以此类推可得， .
（2）
.
（3）
∵，∴.
（4）∵，
，
∴，
，
∵，
∴．
24.(1)解： ，；
（2）证明: ∵,
∴，
∵,
∴，
∴，
又, ,
∴.
∴；
(3)证明： 由题意，第一种方法：

.
第二种方法：
，
，
，
.
(4)由题意,如图,
∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为,
，
设则，
在中,
，
将代入可得，
，
，
∴小正方形的边长等于
∴风车的面积为：．
1
2
3
4
5
6
B
D
C
D
B
C
7
8
9
10
11
12
B
C
B
C
C
C
13. 14.12 15.5 16.