辽宁省鞍山市2024-2025学年高三下学期第一次月考数学试卷（含答案）

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三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13. 14.105
四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
【分析】（1）利用三角形的面积公式及余弦定理变形整理可得答案；
（2）先利用面积公式求，再利用余弦定理求，则面积可求.
解：（1）因为，
又，所以，-----------------（3分）
整理得，即，
因为，所以，
所以，则；--------------------------------（7分）
解：（2）由（1）得，得，-----------（10分）
所以，
所以，所以的周长为. --------------------------------（13分）
16.（本小题满分15分）
【分析】（1）根据题意先证平面，进而可得，根据勾股定理可得，根据线面垂直的判定定理分析证明；
（2）建系，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角.
证明：（1）因为底面，底面，则，
由题意可知：，且平面，
所以平面，且平面，可得，
不妨设，由题意可得：，
可知：，即，
且，平面，
所以直线平面.--------------------------------（7分）
解：（2）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设，

则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
可得，
设二面角为，则，
所以二面角的正弦值.-----------------------------（15分）
17.（本小题满分15分）
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第次打靶的人是小明”为事件，“第次打靶的人是小亮”为事件，
所以，
.--------------------------------（4分）
（2）设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．--------------------------------（10分）
（3）因为，，
所以当时，，
故．--------------------------------（15分）
18.（本小题满分17分）
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.
（2）利用点差法求得直线的斜率，进而求得直线的方程.
（3）联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，计算，以及AF与RQ斜率不相等，从而判断出四边形ARQF为梯形.
解（1）由题得，
将代入得：
，
椭圆E的方程为.--------------------------------（5分）
（2）设，则，
且，
两式相减得：，可得，
l方程为，即.--------------------------------（11分）
（3）由得：
，且，
，
∴，
又直线的斜率存在，AF与RQ不平行，
∴四边形ARQF为梯形.--------------------------------（17分）

19.（本小题满分17分）
（1）首先求，利用导数分析函数的单调性，并结合“最接近”直线的定义，分情况分析证明；
（2）首先设函数，再令，利用导数判断函数的单调性和最值，并结合并结合“最接近”直线的定义，分析证明.
解（1）由题意，
则当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
又，，
在区间上的最大值为，
根据函数的图象特点，可知对任意，均有
，
，
下面讨论的大小：
①若至少有一个大于等于1，则，
②若两个都小于1，则，
因为是直线，故对任意，均有，，从而，
即
由①②可知，，
当时，
，，此时等号成立.------------------------（8分）
解（2）设，再令，
，
令，，
在区间上单调递减，
而，，存在，使得，
即，
且时，，单调递增，时，，单调递减，
在区间上的最大值为，
而，，
则在区间上大于等于0，
由（1）问分析知，对定义在上的函数，
若满足，且为唯一的最大值点，
则对任意的，，时取等号，

又，
故当时，取得最小值，
在上的“最接近”直线为，
即，
化简可得，其中，
且是二次方程的根.--------------------------------（17分）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
C
B
C
D
A
B
A
BD
ACD
AD