辽宁省鞍山市普通高中2024-2025学年高一下学期3月第一次月考 数学试卷（含解析）

这是一份辽宁省鞍山市普通高中2024-2025学年高一下学期3月第一次月考 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时间：90分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解指数不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得.
【详解】由，解得，所以，
又，
所以.
故选：C
2. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，结合平面向量共线的性质，以及向量的坐标运算法则，即可求解．
【详解】，
则，解得，
故，
．
故选：A．
3. 已知数据，且满足，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，有可能变大的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 极差D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】根据极差，中位数以及方差的定义即可排除BCD，举反例即可求解A.
【详解】由于，所以原来的极差为，新数据的极差为，故极差变小，
原来和新数据的中位数均为，故中位数不变，
去掉，后，数据波动性变小，故方差变小，
因此可能变大的是平均数，比如，原数据的平均数为6.6，去掉1和12后，
新数据的平均数为，但，故A正确.
故选：A
4. 如图所示，在中，，若，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析】计算到，得到答案.
【详解】.
故选：.
【点睛】本题考查了向量的基本定理的应用，意在考查学生的计算能力.
5. 已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用充分不必要条件的定义转化为集合间的基本关系，结合一元二次不等式的解法计算即可.
【详解】由“”是“”的充分不必要条件，得A是B的真子集.
又，则必有，即，所以.
故选:D.
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求函数定义域，研究其奇偶性及的符号即可判断.
【详解】因为定义域为且，，
所以为奇函数，则图象关于原点对称，故排除B项、D项，
又，故排除C项.
故选：A.
7. 已知函数是定义在的奇函数，且在上单调递增，若，则实数t的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】运用奇函数性质可得及单调性性质求解即可.
【详解】因为是定义在的奇函数，且在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
所以，
所以，解得，
故t范围为.
故选：D.
8. 已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将，，的零点转化为函数，，与交点横坐标，做出图像即可得出结论．
【详解】令，，，
得，，，
则为函数与交点横坐标，
为函数与交点横坐标，
为函数与交点横坐标，
在同一直角坐标系中，分别做出，，和的图像，如图所示，

由图可知，，
故选：B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 事件与不互斥
C. 事件与相互独立D. 事件与不一定相互独立
【答案】BC
【解析】
【分析】利用对立事件概率和为可判断错误；根据互斥事件不可能同时发生，可判断正确；根据相互独立事件的定义和性质，可以判断正确，错误.
【详解】故错误；
又所以事件与不互斥，故正确；
则事件与相互独立，故正确；
因为事件与相互独立，所以事件与一定相互独立，故错误.
故选：
10. 下列结论中正确的是 （ ）
A. 若幂函数的图象经过点，则
B. 函数且的图象必过定点
C. 函数的单调增区间是
D. 若幂函数，则对任意、，都有
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用幂函数的定义可判断A选项；利用可判断B选项；利用复合函数法可判断C选项；利用作差法可判断D选项.
【详解】对于A选项，设幂函数的解析式为，
由题意可得，解得，则，A错；
对于B选项，因为，
所以，函数且的图象必过定点，B对；
对于C选项，因为内层函数的增区间为，减区间为，
外层函数为减函数，故函数的增区间为，C对；
对于D选项，幂函数，对任意的，则，
则对任意、，
，
，
所以，
，
所以，，可得，
所以，，D对.
故选：BCD.
11. PM2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为日均值在以下，空气质量为一级，在，空气质量为二级，超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：），则下列说法正确的是（ ）
A. 这10天日均值的80%分位数为60
B. 从日均值看，前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差
C. 从日均值看，前5天的日均值的方差小于后5天日均值的方差
D. 这10天中日均值的平均值是50
【答案】BC
【解析】
【分析】A由百分位数的定义求80%分位数；B、C求出前后5天的极差、方差判断；C由平均值求法求10天中日均值的平均值即可.
【详解】由图知：从小到大为，而，
所以分位数为，A错误；日均值的平均值，D错误；
前5天极差为，后5天极差为，B正确；
前5天平均值为，后5天平均值为，
所以前5天的日均值的方差，后5天日均值的方差，C正确；
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数在上单调递增，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义以及单调性得出，进而得出.
【详解】由题意可知，，解得，即，
故答案为：
13. 2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩难求甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙，丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】先算出甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案.
【详解】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩概率为，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率.
同理，丙购买不到冰墩墩的概率.
所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，
于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率.
故答案为：.
14. 已知函数（且）的图像过定点，正实数，满足，则的最小值为______.
【答案】12
【解析】
【分析】先求出函数的定点，然后得到，然后利用基本不等式求解即可.
【详解】函数的图像过定点，所以，，即，
所以，
当且仅当，时等号成立.
故答案为：12
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂及根式运算法则进行计算；
（2）利用对数运算性质计算出答案.
【小问1详解】
原式=；
【小问2详解】
原式.
16. 设集合U=R，；
（1）求：，；
（2）设集合，若，求a的取值范围．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）首先解指数不等式和对数不等式得集合A，B，然后由集合运算法则计算；
（2）求出，由是的子集，按是否为空集分类讨论．
【详解】（1），
，
，，，
（2），
（i） 时，；
（ii）时， ，解得.
综上：．
【点睛】本题考查集合的运算，考查集合的包含关系．掌握集合的运算法则是解题关键，在解决集合包含关系时，要注意空集是任何集合的子集，因此可能要分类讨论．
17. 为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了名住户，将他们上周体育锻炼的时间（单位：时）按照、、、、分成组，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中的值并估计样本数据的第百分位数；
（2）按分层随机抽样的方法从上周体育锻炼时间在、的住户中选取人，再从这人中任意选取人，求这人上周体育锻炼时间都不低于小时的概率.
【答案】（1），第百分位数为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值，再利用百分位数的定义可求得该样本数据的第百分位数；
（2）分析可知，按分层随机抽样的方法选取人，上周体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、，体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.
【小问1详解】
解：，解得.
设样本数据的第百分位数为，
因为样本数据在的频率为，
样本数据在的频率为，
则，所以，解得，
故估计样本数据的第百分位数为.
【小问2详解】
解：上周体育锻炼时间在频数为，
上周体育锻炼时间在的频数为，
按分层随机抽样的方法选取人，
则上周体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、，
体育锻炼时间在的住户被抽取人，记为、、，
所以从这人中随机抽取人的情况有、、、、、、、、
、，共种，
其中，事件“所抽取的人上周体育锻炼时间都不低于小时”包含的情况有、
、，共种，
则所求的概率.
18. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解.
（2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以．
【小问2详解】
因为， ，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
19. 若函数在区间上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在区间上的“美好函数”.
（1）函数；；中，哪个函数是在区间上的“美好函数”？并说明理由；
（2）已知函数.
①函数是在区间上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在区间上的“美好函数”，求的值.
【答案】（1）和是在区间上的“美好函数”，理由见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据新定义，利用函数单调性求最值，逐个判断即可；
（2）①由函数是“美好函数”，求出函数最大最小值，列出方程求解即可；
②对函数换元后转化为二次函数，分类讨论求最大最小值，列出方程求解.
【小问1详解】
因为函数在区间上单调递减，所以，，
所以，故是在区间上的“美好函数”；
因为函数在区间上单调递增，所以，，
所以，故不是在区间上的“美好函数”；
因为在区间上单调递增，所以，，
所以，故是在区间上的“美好函数”.
【小问2详解】
①有题知.
因，所以.
令，则，
当时，函数在区间上单调递增，
此时，，所以有；
当时，函数在区间上单调递减，
此时，，所以有
综上所述，；
②由题可知，函数.
因为，所以.
令，则，.
可知此时，函数的对称轴为且开口向上
当，即时，函数在上单调递减，
此时，，
因为函数是在区间上的“美好函数”，
所以有，整理得，无解；
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
又，故此时，
因为函数是在区间上的“美好函数”，
所以有，解得（舍去）；
当，即时，函数在上单调递增，
此时，，
因为函数是在上的“美好函数”，
所以有，解得.
综上所述：.
【点睛】关键点点睛：本题主要理解运用新定义，转化为求函数最大值与最小值差为5的问题，涉及指数函数单调性，二次函数分类讨论，对运算能力要求较高.