江西省赣州市2026年高三下学期摸底考试数学试卷含答案（word版+pdf版）

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1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 每小题只有一个选项符合要求
1. 已知集合 A=x∈N∗ xx−5≤0,B={x∈Zx−1∣≤2} ，则 A∩B=
A. {0,1,2} B. {0,1,2,3} C. {1,2,3} D. {1,2,3,4}
2. 复数 z 满足 z+1⋅i=1−2i ( i 为虚数单位),则 z 的共轭复数的虚部是
A. -3 B. -3i C. 1 D. i
3. 若函数 fx=x9x−1axa>0且a≠1 为偶函数，则 a=
A. 2 B. 3C. 13 D. 9
4. 已知椭圆 C:x24+y23=1 的左右焦点分别为 F1,F2 ,点 P 在椭圆 C 上,若 △PF1F2 的面积为 1,则 PF1⋅PF2 =
A. −23 B. 23 C. −83 D. 83
5. 已知函数 fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,若过点 F1 的直线 l 与圆 x2+y2=a2 相切于点 Q,l 与双曲线 C 的右支交于点 P ,且 F1P=4F1Q ,则双曲线 C 的离心率为
A. 2B. 43 C. 54 D. 53
8. 在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中, AB=2,AD=AA1=1 ，点 M 在四边形 A1B1CD 内(含边界)移动，且满足 ∠MD1D=∠AD1D ,则点 M 到直线 A1C 距离的最小值为
A. 13 B. 33 C. 235 D. 34
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知圆 C:x2+y2=4 ，过直线 l:x+y−4=0 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 A ， B ，则
A. 圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 21+2
B. 四边形 PACB 面积的最小值为 4
C. PA⋅PB 的最小值为 8
D. 当点 P 坐标为 1,3 时,直线 AB 的方程为 x+3y−4=0
10. 设 A,B 是一个试验中的两个事件,且 PA=12,PB=712,PAB+AB=512 ,则下列结论正确的是
A. PAB=13 B. PA+B=512 C. PB∣A=23 D. PB∣A+PA∣B=1
11. 我们把方程 xex=1 的实数解称为欧米加常数,记为 Ω.Ω 和 e 一样,都是无理数, Ω 还被称为在指数函数中的“黄金比例”. 下列有关 Ω 的结论正确的是
A. Ω∈0.5,1 B. eΩlnΩ+1=0
C. Ω=uuuΩ ,其中 u=1e D. 函数 fx=e1x+xlnxx+1 的最小值为 fΩ
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分
12. 若 x+1x−25=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6 ,则 a5= _____.
13. 若函数 fx=ax−x2a>0且a≠1 有 3 个零点，则实数 a 的取值范围是_____.
14. 一自动运动的小车连续运行 n 次,每次以相同概率随机选择向前或向后运动,记未连续出现 2 次向后运动的概率为 Pnn∈N∗ ,则 P2027−P2026P2024 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. (本小题 13 分) 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 3sinC−csC=2c−ab .
(1)若 tanC=−53 ，求 tanA 的值.
(2)若 a+c=3+33 ， △ABC 的内切圆的面积为 π ，求 △ABC 的面积.
16. (本小题 15 分)
已知抛物线 C:x2=2y ，过点 P0,2 作直线 l 与抛物线 C 相交于 A ， B 两点， O 为坐标原点.
(1)证明: OA⊥OB ；
(2)若存在异于点 P 的定点 T ，使得 PA⋅TB=PB⋅TA 恒成立，请求出点 T 的坐标，并求出 △TAB 面积的最小值.
17. (本小题 15 分)
如图，在三棱锥 P−ABD 中， PA⊥ 平面 ABD,∠BAC=90∘,AB=AC=1 ，且 C 为 BD 的中点.
(1)求二面角 C−AP−D 的余弦值；
(2)若 ∠PCB=60∘ ，在线段 PB,PC 上各取一点 E,F ，设 PEPB=PFPC=λλ∈0,1 ，若平面 AEF⊥ 平面 PBC ,求 λ 的值.

18. (本小题 17 分)
已知函数 fx=eax−xx∈R .
(1)讨论函数 fx 的单调性.
(2)设函数 gx=fx−ama>0,m∈R ，若存在唯一实数 a 使函数 gx 的最小值为 0，求实数 m 的取值范围.
19. (本小题 17 分)
现有一种不断分裂的 M 细胞,在每个分裂周期中,一个 M 细胞以 23 的概率分化成一个新的 M 细胞,以 13 的概率分裂成两个新的 M 细胞,分裂后原来的 M 细胞消失,新的 M 细胞在下一个分裂周期里会继续分裂. 设初始状态下有 1 个 M 细胞, n 个分裂周期后, M 细胞的数目为 Xn .
(1)求 X2 的分布列和数学期望.
(2)求概率 PXn=2 .
(3) 证明: PXn=3